中考数学高频考点突破——解直角三角形.docx

中考数学高频考点突破解直角三角形一、选择题1. 在 RtABC 中，C=90，如果 sinA=13，那么 sinB 的值是 A 223 B 22 C 24 D 23 2. 如图，在 ABC 中，C=45，AB 的垂直平分线交 AB 于点 E，交 BC 于点 D；AC 的垂直平分线交 AC 于点 G，交 BC 与点 F，连接 AD，AF，若 AC=32，BC=9，则 DF 等于 A94B72C4D323. 【测试 5 】如图，为了测得电视塔的高度 AB，在 D 处用高为 1 米的测角仪 CD，测得电视塔顶端 A 的仰角为 30，再向电视塔方向前进 100 米达到 F 处，又测得电视塔顶端 A 的仰角为 60，则这个电视塔的高度 AB（单位：米）为 A 503 B 51 C 503+1 D 101 4. 如图，在正方形 ABCD 中，BPC 是等边三角形，BP，CP 的延长线分别交 AD 于点 E，F，连接 BD，DP，BD 与 CF 相交于点 H给出下列结论，其中正确结论的个数是 BDEDPE； FPFH=233； DP2=PHPB； tanDBE=23A 4 个B 3 个C 2 个D 1 个二、填空题5. 如图，为测量河内小岛 B 到河边公路 l 的距离，在 l 上顺次取 A，C，D 三点，在 A 点测得 BAD=30，在 C 点测得 BCD=60，又测得 AC=50 米，则小岛 B 到公路 l 的距离为 米6. 如图，将 ABC 的边 AB 绕着点 A 顺时针旋转 0<<90 得到 AB，边 AC 绕着点 A 逆时针旋转 0<<90 得到 AC，联结 BC，当 +=60 时，我们称 ABC 是 ABC 的“双旋三角形”，如果等边 ABC 的边长为 a，那么它所得的“双旋三角形”中 BC= (用含 a 的代数式表示)7. 如图，在 ABC 中，AB=AC，BD=CD，CEAB 于点 E，cosB=513，则 SBEDSABC= 8. 如图，正方形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 E，正方形 EFGH 绕点 E 旋转，直线 FB 与直线 CH 相交于点 P，若 AB=2，DBP=75，则 DP2 的值是 三、解答题9. 在 ABC 中，C=90，AB=36，BC=33，解这个直角三角形10. 如图，炮台 B 在炮台 A 的正东方向 1678m 处两炮台同时发现入侵敌舰 C，炮台 A 测得敌舰 C 在它的南偏东 40 的方向，炮台 B 测得敌舰 C 在它的正南方，试求敌舰 C 与炮台 B 的距离（参考数据：sin400.643，cos400.766，tan400.839）11. 如图，同学们准备攀登附近的一个小山坡，从 B 点出发，沿坡角为 15 的坡面以 5 千米/时的速度到达 D 点，用了 10 分钟，然后沿坡比为 1:3 的坡面以 3 千米/时的速度到达坡顶 A，用了 5 分钟，求小山坡的高 AC（结果精确到 0.01 千米参考数据 sin150.2588，cos150.9659，31.732）12. 如图，AD 是 ABC 的中线，tanB=15，cosC=22，AC=2求：(1) BC 的长；(2) ADC 的正弦值13. 如图，D 是 O 上一点，点 C 在直径 BA 的延长线上，且 CD 是 O 的切线，OEAD 交 CD 的延长线于点 E，连接 EB(1) 求证：EB 是 O 的切线；(2) 若 AC=3，AD=3，求 O 的半径14. 如图，在平行四边形 ABCD 中，ACB=90，过点 D 作 DEBC 交 BC 的延长线于点 E(1) 求证：四边形 ACED 是矩形；(2) 连接 AE 交 CD 于点 F，连接 BF若 ABC=60，CE=2，求 BF 的长15. 图是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中（底盒固定在地面下），此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图的方式立在地面上，可以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位，图是其示意图经测量，钢条 AB=AC=50cm，B=47（参考数据：sin470.73，cos470.68，tan471.07）(1) 求车位锁底盒 BC 的长度(2) 若一辆汽车的底盘高度为 30cm，当车位锁上锁后，这辆汽车能否进入该车位？16. 图为搭建在地面上的遮阳棚，图、图是遮阳棚支架的示意图遮阳棚支架由相同的菱形和相同的等腰三角形构成，滑块 EF，HI 可分别沿等长的立柱 AB，DC 上下移动，AF=EF=FG=1m（结果精确到 0.1m，参考数据：31.73，sin370.60，cos370.80，tan370.75）(1) 移动滑块使 AE=EF，求 AFE 的度数和棚宽 AD 的长(2) 当 AFE 由 60 变为 74 时，棚宽 AD 是增加还是减少，增加或减少了多少？17. 如图，在 ABC 中，以 BC 为直径的圆交 AB 于点 D，ACD=ABC(1) 求证：CA 是圆的切线；(2) 若点 E 是 BC 上一点，已知 BE=6，tanABC=23，tanAEC=53，求圆的直径18. 小明在研究“利用木板余料裁出最大面积的矩形”时发现：如图（1），RtABC 是一块直角三角形形状的木板余料（B=90），以 B 为内角裁一个矩形，当 DE，EF 是中位线时，所裁矩形的面积最大若木板余料的形状改变，请你探究：(1) 如图（2），现有一块五边形的木板余料 ABCDE，A=B=C=90，AB=20cm，BC=30cm，AE=20cm，CD=10cm现从中裁出一个以 B 为内角且面积最大的矩形，求该矩形的面积；(2) 如图（3），现有一块四边形的木板余料 ABCD，经测量 AB=25cm，BC=54cm，CD=30cm，且 tanB=tanC=43，从中裁出顶点 M，N 在边 BC 上且面积最大的矩形 PQMN，求该矩形的面积19. 已知在 ABC 中，AB=AC，点 D 为 BC 边的中点，点 F 是 AB 边上一点，点 E 在线段 DF 的延长线上，BAE=BDF，点 M 在线段 DF 上，ABE=DBM(1) 如图（1），当 ABC=45 时，求证：AE=2MD(2) 如图（2），当 ABC=60 时，则线段 AE，MD 之间的数量关系为： (3) 在（2）的条件下延长 BM 到 P，使 MP=BM，连接 CP，若 AB=7，AE=27，求 tanACP 的值20. 如图 1，在四边形ABCD 中，ADBC，对角线 ACBC，AD=8cm，sinD=35，BC=3cm(1) 求 cosB 的值；(2) 点 E 为 BC 延长线上的动点，点 F 在线段 CD 上（点 F 与点 C 不重合），且满足 AFC=ADE，如图 2设 BE=x，DF=y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域；(3) 点 E 为射线 BC 上的动点，点 F 在射线 CD 上，仍然满足 AFC=ADE，当 AFD 的面积为 1cm2 时，求 BE 的长答案一、选择题1. 【答案】A2. 【答案】A3. 【答案】C【解析】设 AG=x，在 RtAEG 中， tanAEG=AGEG， EG=AG3=33x，在 RtACG 中， tanACG=AGCG， CG=xtan30=3x， 3x33x=100，解得：x=503则 AB=503+1 米故选：C4. 【答案】B【解析】 BPC 是等边三角形， BP=PC=BC，PBC=PCB=BPC=60，在正方形 ABCD 中， AB=BC=CD，A=ADC=BCD=90 ABE=DCF=30， CPD=CDP=75， PDE=15， PBD=PBCHBC=6045=15， EBD=EDP， DEP=DEB， BDEDPE；故正确； PC=CD，PCD=30， PDC=75， FDP=15， DBA=45， PBD=15， FDP=PBD， DFP=BPC=60， DFPBPH， PFPH=33， PFFH=33+3=312，故错误； PDH=PCD=30， DPH=DPC， DPHCDP， PDCD=PHPD， PD2=PHCD， PB=CD， PD2=PHPB，故正确；如图，过 P 作 PMCD，PNBC，设正方形 ABCD 的边长是 4，BPC 为正三角形， PBC=PCB=60，PB=PC=BC=CD=4， PCD=30 CM=PN=PBsin60=4×32=23， PM=PCsin30=2， DEPM， EDP=DPM， DBE=DPM， tanDBE=tanDPM=DMPM=4232=23，故正确二、填空题5. 【答案】 253 6. 【答案】 3a 【解析】 ABC 为等边三角形， AB=AC=a，BAC=60， ABC 是 ABC 的“双旋三角形”， +=60，AB=AB=a，AC=AC=a， BAC=120， B=C=30，作 AHBC 于 H，如图，则 BH=CH，在 RtABH 中，AH=12AB=12a， BH=3AH=32a， BC=2AH=3a，7. 【答案】 25169 【解析】 AB=AC， ABC 为等腰三角形， BD=CD， ADBC， ADB=90， CEAB， CEB=90， ADB=CEB， ABD=CBE， ADBCEB， ADCE=BDBE，设 BE=5a， cosB=513， BC=13a， EC=BC2BE2=13a25a2=12a，BD=CD=132a， AD12a=132a5a， AD=13a×12a2×5a=785a， SBEDSABC=12SBCESABC=12×12×5a×12a12×13a×785a=25169故答案为 251698. 【答案】 5+23 【解析】如图，设 EF 交 AB 于 M，EH 交 BC 于 N，PF 交 EH 于 O，作 PTAD 于 T 交 BC 于 R因为四边形 ABCD 是正方形，所以 ACBD，AE=EB，EAM=EBN=45，因为四边形 EFGH 是正方形，所以 MEN=AEB=90，所以 AEM=BEN，所以 AEMBENASA，所以 AM=BN，EM=EN，AME=BNE，因为 AB=BC，EF=EH，所以 FM=NH，BM=CN，因为 FMB=AME，CNH=BNE，所以 FMB=CNH，所以 FMBHNCSAS，所以 MFB=NHC，因为 EFO+EOF=90，EOF=POH，所以 POH+PHO=90，所以 OPH=BPC=90，因为 DBP=75，DBC=45，所以 CBP=30，因为 BC=AB=2，所以 PB=BCcos30=3，PR=12PB=32，RC=PRtan30=12，因为 RTD=TDC=DCR=90，所以四边形 TDCR 是矩形，所以 TD=CR=12，TR=CD=AB=2， 在 RtPDT 中， PD2=DT2+PT2=122+2+322=5+23， 故答案为 5+23三、解答题9. 【答案】在 RtABC 中，C=90，AB=36，BC=33， AC=AB2BC2=362332=33， sinA=BCAB=3336=22， A=45， B=90A=4510. 【答案】因为炮台 B 在炮台 A 的正东方向，敌舰 C 在炮台 B 的正南方向，所以 ABC=90由已知，易得 ACB=40在 RtABC 中，因为 tanACB=ABBC，所以 BC=ABtanACB16780.839=2000敌舰 C 与炮台 B 的距离约为 2000m11. 【答案】如图，过点 D 作 DFBC 于点 F，作 DEAC 于点 E由题意，得 tanADE=AEDE=13=33 , ADE=30由题意，得 BD=1060×5=56，AD=560×3=14， AC=AE+EC=AE+DF=ADsin30+BDsin1514×12+56×0.25880.34千米. 答：小山坡的高 AC 约为 0.34 千米12. 【答案】(1) 如答图，过点 A 作 AHBC 于点 H在 RtACH 中，cosC=CHAC=22，AC=2，所以 CH=1所以 AH=AC2CH2=1在 RtABH 中，tanB=AHBH=15，所以 BH=5所以 BC=BH+CH=6(2) 因为 AD 是 ABC 的中线，所以 CD=12BC=3所以 DH=CDCH=2所以 AD=AH2+DH2=5在 RtADH 中，sinADH=AHAD=15=55，即 sinADC=5513. 【答案】(1) 连接 OD，如图 1 所示： CD 是 O 的切线， ODCD， ODE=90， OEAD， BOE=OAD，ADO=DOE， OA=OD， ADO=OAD， BOE=DOE，在 OBE 和 ODE 中，OB=OD,BOE=DOE,OE=OE, OBEODESAS， OBE=ODE=90， EBOB， OB 是 O 的半径， EB 是 O 的切线(2) 连接 BD，如图 2 所示：设 O 的半径为 r， AB 是 O 的直径， ADB=90，在 RtADB 中，cosBAD=ADAB=32r，在 RtODE 中，cosDOE=rOE， BAD=DOE， 32r=rOE， OE=2r23， OEAD， CADCOE， CACO=ADOE，即 33+r=32r23，整理得：2r2r3=0，解得：r=32，或 r=1（舍去）， O 的半径为 3214. 【答案】(1) 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC， CAD=ACB=90，又 ACE=90，DEBC， 四边形 ACED 是矩形(2) 四边形 ACED 是矩形， AD=CE=2，AF=EF，AE=CD， 四边形 ABCD 是平行四边形， BC=AD=2，AB=CD， AB=AE，又 ABC=60， ABE 是等边三角形， BFE=60，FBE=12ABE=30，在 RtBFE 中，BF=BE×cosFBE=4×32=2315. 【答案】(1) 过点 A 作 AHBC，垂足为 H AB=AC， BH=HC，在 RtABH 中，B=47，AB=50， BH=ABcosB=50cos4750×0.68=34， BC=2BH=68cm(2) 在 RtABH 中， AH=ABsinB=50sin4750×0.73=36.5， 36.5>30， 当车位锁上锁后，这辆汽车不能进入该车位16. 【答案】(1) AE=EF=AF=1， AEF 是等边三角形 AFE=60连接 MF 并延长交 AE 于点 K，则 FM=2FK AEF 是等边三角形， AK=12 FK=AF2AK2=32， FM=2FK=3 AD=4FM=436.926.9m(2) AFE=74， AFK=37 KF=AFcos370.80 FM=2FK=1.60 BC=4FM=6.40<6.92，6.926.40=0.520.5当 AFE 由 60 变为 74 时，棚宽 AD 是减少了，减少了 0.5m17. 【答案】(1) BC 是直径， BDC=90， ABC+DCB=90 ACD=ABC， ACD+DCB=90 BCCA CA 是圆的切线(2) 在 RtAEC 中，tanAEC=53， ACEC=53，EC=35AC在 RtABC 中，tanABC=23， ACBC=23，BC=32AC BCEC=BE，BE=6， 32AC35AC=6，解得 AC=203 BC=32×203=10，即圆的直径为 1018. 【答案】(1) 如图（1）中，延长 BA，DE 交于点 M，延长 BC，ED 交于点 N，延长 AE 交 CD 的延长线于 F，则四边形 ABCF 是矩形 AF=BC=30cm，CF=AB=20cm AE=20cm，CD=10cm， EF=DF=10cm F=90， AEM=FED=FDE=CDN=45， AM=AE=20cm，CN=CD=10cm BM=40cm，BN=40cm BMN 的内接矩形的面积的最大值 =20×20=400cm2(2) 如图（2）中， 四边形 MNPQ 是矩形，tanB=tanC=43， 可以假设 QM=PN=4k，BM=CN=3k， MN=546k， S矩形MNPQ=4k546k=24k922+486 24<0， k=92 时，矩形 MNPQ 的面积最大，最大值为 486，此时 BQ=PC=5k=452，符合题意， 矩形 MNPQ 的面积的最大值为 486cm219. 【答案】(1) 如图（1），连接 AD， AB=AC，BD=CD， ADBC又 ABC=45， BD=ABcosABC，即 AB=2BD BAE=BDM，ABE=DBM， ABEDBM AEDM=ABDB=2 AE=2MD(2) AE=2MD (3) 如图（2），连接 AD，EP， AB=AC，ABC=60， ABC 为等边三角形又 D 为 BC 中点， ADBC，DAC=30，BD=DC=12AB BAE=BDM，ABE=DBM， ABEDBM BEBM=ABDB=2，AEB=DMB EB=2BM又 BM=MP， EB=BP又 EBM=ABC=60， BEP 为等边三角形 EMBP BMD=90 AEB=90在 RtAEB 中，AE=27，AB=7 BE=AB2AE2=21， tanEAB=32 D 为 BC 中点，M 为 PB 中点， DMPC MDB=PCB EAB=PCB tanPCB=32在 RtABD 中，AD=ABsinABD=723在 RtNDC 中，ND=DCtanNCD=743 NA=ADND=743过 N 作 NHAC，垂足为 H，在 RtANH 中，NH=12AN=783， AH=ANcosNAH=218， CH=ACAH=358 tanACP=3520. 【答案】(1) ADBC， ACB=DAC ACBC， ACB=90， DAC=90 sinD=ACCD=35， cosD=ADCD=1sin2D=1352=45 AD=8，BC=3， CD=5AD4=5×84=10，AC=3CD5=3×105=6，AB=AC2+BC2=62+32=35， cosB=BCAB=335=55(2) ADBC， ADF=DCE AFC=FDA+FAD，ADE=FDA+EDC又 AFC=ADE， FAD=EDC， ADFDCE， ADCD=DFCE BE=x，DF=y，AD=8，BC=3，CD=10， CE=BEBC=x3， ADCD=DFCE，即为 810=yx3， y=8x310=4x125 点 F 与 C 点不重合， 0<DF<CD，即 0<y<10， 0<4x125<10，解得 3<x<312 即为函数的定义域故答案为：y=4x1253<x<312(3) 当点 E 在 BC 的延长线上，由（2）可得：ADFDCE， SAFDSDCE=ADDC2 SAFD=1，AD=8，CD=10，BC=3，AC=6， SDCE=SAFDADDC2=18102=2516，当点 E 在 BC 线段上时，即 SDCE=12BCBEAC=123BE×6=93BE=2516，解得：BE=11948；当点 E 在 BC 延长线上时，即 SDCE=12BEBCAC=12BE3×6=3BE9=2516，解得：BE=16948；故答案为：当点 E 在 BC 线段上时，BE=11948；当点 E 在 BC 延长线上时，BE=16948学科网（北京）股份有限公司