专题五 一元二次方程 学案-九年级中考数学一轮复习.docx

专题五 一元二次方程知识梳理讲解一：一元二次方程及其解法一、一元二次方程的定义等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.一般形式一般形式项及项的系数二次项为；二次项系数为一次项为；一次项系数为常数项为特点方程左边是关于未知数的二次整式，方程右边为01.是一元二次方程的前提为2.判断一个方程是否是一元二次方程应化简后再进行判断，如不是一元二次方程二、一元二次方程的解法使方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.一元二次方程的解法有以下四种：类别适用情况步骤直接开平方法形如的方程两边开方；移项、系数化为1，求方程的解因式分解法方程化为一般形式后，左边能够分解因式移：将方程右边化为0；分：将方程左边分解成两个一次因式积的形式；解：令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程并求解配方法所有一元二次方程化：将二次项系数化为1；移：将常数项移到等号右边；配：方程两边同时加上一次项系数一半的平方解：开平方求解公式法所有一元二次方程化：将方程化为一般形式，并确定的值；代：代入求根公式（）1.将方程化为一般形式后，若，则方程无解.2.用配方法时，将二次项系数化为1后，若一次项系数为偶数，则优先考虑运用配方法.（求解方法掌握不牢的，可以看下面的详细讲解）直接开平方法解一元二次方程1.直接开平方法：利用平方根的意义直接开平方，求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.2.方程的根（1）当时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根（2）当时，方程有两个相等的实数根（3）当时，因为对任意实数x，都有，所以方程无实数根.【注意】（1）直接开平方法只适用于能转化为或形式的方程.（2）若，则x为p的平方根，即，切记不要漏掉负的平方根.（3）因为负数没有平方根，所以关于x的一元二次方程有解的前提条件是p是非负数，即.因式分解法解一元二次方程1.因式分解法：先对方程的左边因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.2.用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）移项：将方程化为一般式；（2）分解：将方程的左边分解为两个一次式的乘积；（3）转化：令每个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是医院二次方程的解.【注意】不能随意在方程两边约去含未知数的代数式.如，若约去x，则会导致丢掉这个根.3.常见的可以用因式分解法求解的方程的类型常见类型因式分解为方程的解(a，b为常数)配方法解一元二次方程1.配方法：把方程的左边配成一个含有未知数的完全平方式、右边是一个常数的形式，进而用直接开平方法求解，这种通过配成完全平方式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.2.可化为的形式的一元二次方程的根（1）当时，方程有两个不相等的实数根；（2）当时，方程有两个相等的实数根；（3）当时，因为对任意实数x，都有，所以方程无实数根.3.用配方法解一元二次方程的一般步骤一般步骤方法示例一移移项将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边.二化二次项系数化为1左右两边同时除以二次项系数三配配方左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即四开开平方求根利用平方根的意义直接开平方【注意】配方法的依据是完全平方公式的逆用和直接开平方法，其实质是对一元二次方程进行变形，使其转化为能够直接开平方的方程形式，从而把一元二次方程转化为两个一元一次方程来解.公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式：当时，方程的实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式.2.公式法：解一个具体的一元二次方程时，把各项系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.3.用公式法解一元二次方程的步骤（1）整理方程：将方程整理为的形式，找到公式中的，要注意的符号.（2）计算根的判别式：将的值代入计算，并判断的符号.（3）求根：当时，方程有两个不相等的实数根，即；当时，方程有两个相等的实数根，即；当时，方程无实数根.【注意】公式法是解一元二次方程的通用解法，它适用于所有一元二次方程，但不一定是最高效的解法.典型例题1.（2022.山东枣庄）已知和均是以x为自变量的函数，当时，函数值分别是和，若存在实数n，使得，则称函数和是“和谐函数”.则下列函数和不是“和谐函数”的是( )A.和B.和C.和D.和【答案】B【解析】A.令，则，整理得：，解得：，函数和是“和谐函数”，故A不符合题意；B.令，则，整理得：，此方程无解，函数和不是“和谐函数”，故B符合题意；C.令，则，整理得：，解得：，函数和是“和谐函数”，故C不符合题意；D.令，则，整理得：，解得：，函数和是“和谐函数”，故D不符合题意；故选B.2.（2022.湖南益阳）若是方程的一个根，则此方程的另一个根是( )A.B.0C.1D.2【答案】B【解析】设另一个根是，故选B.3.（2022.云南）方程的解为_.【答案】， 【解析】原方程可化为，解得，.4.（2022.湖北荆州）一元二次方程配方为，则k的值是_.【答案】1【解析】故答案为：1.知识梳理讲解二：根的判别式、根与系数的关系一、根的判别式一元二次方程根的判别式为，通常用“”表示类别根的情况方程的根有两个不相等的实数根；有两个相等的实数根无实数根1.计算“”时，要注意的值包含它前面的符号.2.“”的作用：不解方程，直接判断根的情况；根据根的情况，确定未知系数的值（取值范围）二、根与系数的关系若的两个根为，则，1.运用根与系数的关系的前提是2.以为根，且二次项系数为1的一元二次方程是【拓展】与一元二次方程的两个根有关的几个代数式的变形：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.典型例题5.（2022.江苏淮安）若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的值可以是( )A.B.C.0D.1【答案】A【解析】该一元二次方程没有实数根，解得，故选A.6.（2022.四川巴中）对于实数a，b定义新运算：，若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围( )A.B.C.且D.且【答案】A【解析】根定义新运算，得，即，关于x的方程有两个不相等的实数根，解得：，故选A.7.（2022.内蒙古呼和浩特）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是( )A.4045B.4044C.2022D.1【答案】A【解析】把代入方程得：，即，是方程的两个实数根，则.故选A.8.（2022.四川巴中）、是关于x的方程的两个实数根，且，则k的值为_.【答案】【解析】，是方程的根，故答案是.讲解三：一元二次方程的实际应用知识梳理一、一元二次方程中常见问题及数量关系类别数量关系变化率问题原数量变化后的量（x为平均增长率/下降率，n为增长/下降次数）单/双循环问题单循环（如握手问题）：双循环（如写信问题）：面积问题（为空白部分的宽）（为阴影部分的宽）二、列一元二次方程解应用题的步骤步骤内容摘要注意事项审审清题意，明确已知和未知，找到它们之间的等量关系.等量关系往往体现在关键词句中.设设未知数，一种是直接设法，另一种是间接设法.一般要带单位.列用含有未知数的代数式表示有关的量，根据等量关系列出方程.方程两边单位要统一.解根据方程的特点，选择适当解法求出未知数的值.一般不必写出解方程的过程.检检验未知数的值是否满足所列方程，检验该值在实际问题中是否有意义.一般两个根中只有一个符合实际意义.答写出实际问题的答案.注意带上单位.典型例题9.（2022.黑龙江哈尔滨）某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为9%元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意，所列方程正确的是( )A.B.C.D.【答案】C【解析】第一次降价后，该种商品每件售价为元，第二次降价后，该种商品每件售价为元，故.10.（2022.上海）某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知5、6月的增长率相同，则增长率为_.【答案】20%【解析】设该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x，根据题意得，解得，（舍去）所以，增长率为20%.故答案为：20%.11.（2022.浙江衢州）将一个容积为的包装盒剪开铺平，纸样如图所示.利用容积列出图中x(cm)满足的一元二次方程：_（不必化简）.【答案】【解析】由题意可得：长方体的长为：15，宽为：，则根据题意，列出关于x的方程为：.故答案为：.12.（2022.四川眉山）建设美丽城市，改造老旧小区.某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同.（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；（2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元.2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%.如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？【答案】（1）20%（2）18个【解析】（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，根据题意得：，解这个方程得，经检验，符合本题要求.答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%.（2）设该市在2022年可以改造y个老旧小区，由题意得：，解得.为正整数，最多可以改造18个小区.答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区.12学科网（北京）股份有限公司