2019年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式二一般形式的柯西不等式优化练习新人教A版.doc

1二二 一般形式的柯西不等式一般形式的柯西不等式课时作业A 组 基础巩固1已知x2y2z21，则x2y2z的最大值为( )A1 B2C3 D4解析：由柯西不等式得(x2y2z)2(122222)(x2y2z2)9，所以3x2y2z3.当且仅当x 时，等号成立y 2z 2所以x2y2z的最大值为 3.答案：C2n个正数的和与这n个正数的倒数和的乘积的最小值是( )A1 BnCn2 D1 n解析：设n个正数为x1，x2，xn，由柯西不等式，得(x1x2xn)(1 x11 x21 xn)2(111)2n2.(x1 ×1 x1x2 ×1x2xn×1xn)当且仅当x1x2xn时取等号答案：C3设a、b、c为正数，则(abc)·( )的最小值为( )4 a9 b36 cA11 B121C49 D7解析：(abc)·Error!Error!2121.(4 a9 b36 c)答案：B4设a，b，c均为正数且abc9，则 的最小值为( )4 a9 b16 cA81 B9C7 D492解析：考虑以下两组向量：u，v(， ，)(2a，3b，4c)abc由(u·v)2|u|2·|v|2得2(2a·a3b·b4c·c)(abc)，(4 a9 b16 c)当且仅当，即a2，b3，c4 时取等号，a2 4b2 9c2 16可得·9(234)281，(4 a9 b16 c)所以 9.4 a9 b16 c81 9答案：B5设非负实数1，2，n满足12n1，则yn的最小值为( )2 212 222 2nA. Bn 2n1n 2n1C. Dn1 2n12n2 2n1解析：为了利用柯西不等式，注意到(21)(22)(2n)2n(12n)2n1，所以(2n1)(1 211 221 2n)(21)(22)(2n)·(1 211 221 2n)2n2，21·121 22·122 2n·12n所以yn，yn.2n2 2n12n2 2n1n 2n1等号当且仅当12n 时成立，从而y有最小值.1 nn 2n1答案：A6同时满足 2x3yz13,4x29y2z22x15y3z82 的实数x、y、z的值分别为_，_，_.解析：可令x12x，x23y3，x3z2，3则x1x2x318 且xxx108，2 12 22 3由此及柯西不等式得 182(x1x2x3)2(xxx)(121212)108×3，2 12 22 3上式等号成立的充要条件是x1x2x36x3，y1，z4.x1 1x2 1x3 1所以 3,1,4 是所求实数x，y，z的值答案：3 1 47已知实数a，b，c，d，e满足abcde8，a2b2c2d2e216，则e的取值范围为_解析：4(a2b2c2d2)(1111)(a2b2c2d2)(abcd)2，即 4(16e2)(8e)2，即 644e26416ee2.5e216e0，故 0e.16 5答案：0，16 58设a，b，c，x，y，z都是正数，且a2b2c225，x2y2z236，axbycz30，则_.abc xyz解析：由柯西不等式知：25×36(a2b2c2)·(x2y2z2)(axbycz)230225×36，当且仅当 k时取等号a xb yc z由k2(x2y2z2)225×36，解得k .5 6所以k .abc xyz5 6答案：5 69已知x，y，zR，且x2y3z4，求x2y2z2的最小值解析：由柯西不等式，得x(2)y(3)z212(2)2(3)2(x2y2z2)，即(x2y3z)214(x2y2z2)，即 1614(x2y2z2)所以x2y2z2 ，当且仅当x，即当x ，y ，z 时，8 7y 2z 32 74 76 7x2y2z2的最小值为 .8 710在ABC中，设其各边长分别为a，b，c，外接圆半径为R，4求证：(a2b2c2)36R2.(1 sin2 A1 sin2 B1 sin2 C)证明：由正弦定理知2R，a sin Ab sin Bc sin C(a2b2c2)(1 sin2 A1 sin2 B1 sin2 C)236R2.(a sin Ab sin Bc sin C)B 组 能力提升1已知x，y，zR，且xyz1，则x2y2z2的最小值是( )A1 B1 3C. D22 3解析：根据柯西不等式，x2y2z2 (121212)·(x2y2z2)1 3(1×x1×y1×z)2 (xyz)2 .1 31 31 3答案：B2若 2a>b>0，则a的最小值为( )4 2ab·bA1 B3C8 D12解析：2a>b>0，2ab>0.a (2ab)b4 2ab·b1 28 2ab·b ·3 3.1 232ab·b·8 2ab·b当且仅当 2abb，即ab2 时等号成立8 2ab·b当ab2 时，a有最小值 3.4 2ab·b答案：B3若a，b，c为正数，则·的最小值为_(a bb cc a) (b ac ba c)解析：由柯西不等式可知，( )·( )a bb cc ab ac ba c5( ···)2a bb ab cc bc aa c329.答案：94已知x，y，zR，且xyz1，则 的最小值为_1 x4 y9 z解析：利用柯西不等式由于(xyz)(1 x4 y9 z)236，(x·1xy·2yz·3z)所以 36.1 x4 y9 z当且仅当x2y2z2，1 41 9即x ，y ，z 时，1 61 31 2等号成立 的最小值为 36.1 x4 y9 z答案：365已知正数x，y，z满足xyzxyz，且不等式恒成立，求1 xy1 yz1 zx的取值范围解析：1 xy1 yz1 zx12xy12yz12zx (1× 1× 1× )1 2z xyzx xyzy xyz (121212)()1 2，1 2z xyzx xyzy xyz32故的取值范围是，)326已知函数f(x)m|x2|，mR，且f(x2)0 的解集为1,1(1)求m的值；(2)若a，b，cR，且 m，求证：a2b3c9.1 a1 2b1 3c解析：(1)因为f(x2)m|x|，所以f(x2)0 等价于|x|m，由|x|m有解，得m0，且其解集为x|mxm6又f(x2)0 的解集为1,1，故m1.(2)由(1)知 1，又a，b，cR，1 a1 2b1 3c由柯西不等式得 a2b3c(a2b3c)( )(···)29.1a12b13ca1a2b12b3c13c