2019年高中数学第二章推理与证明章末检测新人教A版选修1-2.doc

1第二章第二章 推理与证明推理与证明章末检测时间：120 分钟 满分：150 分一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是( )ycos x(xR)是三角函数；三角函数是周期函数；ycos x(xR)是周期函数A BC D解析：显然是大前提，是小前提，是结论答案：D2用反证法证明命题“是无理数”时，假设正确的是( )23A假设是有理数2B假设是有理数3C假设或是有理数23D假设是有理数23解析：假设应为“不是无理数” ，即“是有理数” 2323答案：D3下列推理过程属于演绎推理的为( )A老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处，某医药先在猴子身上试验，试验成功后再用于人体试验B由 112,1322,13532得出 135(2n1)n2C由三角形的三条中线交于一点联想到四面体四条中线(四面体每一个顶点与对面重心的连线)交于一点D通项公式形如ancqn(cq0)的数列an为等比数列，则数列2n为等比数列解析：A 是类比推理，B 是归纳推理，C 是类比推理，D 为演绎推理答案：D4求证：lg x(x>0)(x21 4)Bsin x2(xk，kZ)1 sin xCx212|x|(xR)D.>1(xR)1 x214解析：A 项中，因为x2 x，1 4所以 lglg x；(x21 4)B 项中 sin x2 只有在 sin x>0 时才成立；1 sin xC 项中由不等式a2b22ab可知成立；D 项中因为x211，所以 0APC，求证：BAPCAP.答案：BAPCAP或BAP>CAP12. 2 ， 3 ， 4 若 6 (a，b均为实数)，2232 33383 844 154 156aba b猜想，a_，b_.解析：由前面三个等式，推测归纳被平方数的整数与分数的关系，发现规律，由三个等式知，整数和这个分数的分子相同，而分母是这个分子的平方减 1，由此推测 中：6aba6，b62135，即a6，b35.答案：6 3513观察下列等式121，12223，1222326，1222324210，照此规律，第n个等式可为_解析：观察等号左边可知，左边的项数依次加 1，故第n个等式左边有n项，每项所含的底数也增加 1，依次为 1,2,3，n，指数都是 2，符号正负交替出现，可以用(1)n1表示；等号的右边数的绝对值是左边项的底数的和，故等式的右边可以表示为(1)n1·，所以第n个式子可为：12223242(1)n1n2(1)n1·nn1 25.nn1 2答案：12223242(1)n1n2(1)n1·nn1 214. 已知圆的方程是x2y2r2，则经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程为x0xy0yr2.类比上述性质，可以得到椭圆1 类似的性质为_x2 a2y2 b2解析：圆的性质中，经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x与y分别用M(x0，y0)的横坐标与纵坐标替换故可得椭圆1 类似的性质为：过椭圆x2 a2y2 b2x2 a21 上一点P(x0，y0)的切线方程为1.y2 b2x0x a2y0y b2答案：经过椭圆1 上一点P(x0，y0)的切线方程为1x2 a2y2 b2x0x a2y0y b215若定义在区间D上的函数f(x)对于 D上的n个值x1，x2，xn，总满足 f(x1)1 nf(x2)f(xn)f，称函数f(x)为D上的凸函数；现已知f(x)(x1x2xn n)sin x在(0，)上是凸函数，则ABC中，sin Asin Bsin C的最大值是_解析：因为f(x)sin x在(0，)上是凸函数(小前提)，所以 (sin Asin Bsin C)sin(结论)，1 3ABC 3即 sin Asin Bsin C3sin. 33 32因此，sin Asin Bsin C的最大值是.3 32答案：3 32三、解答题(本大题共有 6 小题，共 75 分解答时应写出文字说明、证明过程或运算步骤)16(12 分)(2016·高考全国卷)已知数列an的前n项和Sn1an，其中0.(1)证明an是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5，求.31 32(1)证明：由题意得a1S11a1，故1，a1，故a10.1 1由Sn1an，Sn11an1得an1an1an，即an1(1)an.6由a10，0 得an0，所以.an1 an 1因此an是首项为，公比为的等比数列，1 1 1于是ann1.1 1( 1)(2)解：由(1)得Sn1n.( 1)由S5得 15，31 32( 1)31 32即5.( 1)1 32解得1.17(12 分)已知函数f(x)(x0)如下定义一列函数：f1(x)f(x)，f2(x)x x2f(f1(x)，f3(x)f(f2(x)，fn(x)f(fn1(x)，nN*，那么由归纳推理求函数fn(x)的解析式解析：依题意得，f1(x)，x x2f2(x)，x x2 x x22x 3x4x 221x22f3(x)，由此归纳可得fn(x)x 3x4 x 3x42x 7x8x 231x23(x0)x 2n1x2n18(12 分)设函数f(x)lg |x|，若 0ab，且f(a)f(b)证明：0ab1.证明：f(x)lg |x|Error!0ab，f(a)f(b)a、b不能同时在区间1，)上，又由于 0ab，故必有a(0,1)若b(0,1)，显然有 0ab1；若b(1，)，由f(a)f(b)0，有lg alg b0，7lg(ab)0，0ab1.19(12 分)已知ABC的三边长分别为a，b，c，且其中任意两边长均不相等，若 ，1 a1 b成等差数列1 c(1)比较 与 的大小，并证明你的结论；b ac b(2)求证：角B不可能是钝角解析：(1) 0，只需证b2>0，a2c2b2 2ac2acb2 2acacb2 2ac这与 cos Ba，b>c，所以 > >0， > >0，1 a1 b1 c1 b则 > ，这与 矛盾，故假设不成立1 a1 c1 b1 b2 b1 a1 c2 b所以角B不可能是钝角20(13 分)(2016·高考全国卷)设函数f(x)cos 2x(1)·(cos x1)，其中>0，记|f(x)|的最大值为A.(1)求f(x)；(2)求A；(3)证明|f(x)|2A.解：(1)f(x)2sin 2x(1)sin x.(2)解：当1 时，|f(x)|cos 2x(1)(cos x1)|2(1)832f(0)故A32.当 0 .1 41 5当 00，1 5知g(1)>g(1)>g.(1 4)又|g(1)|>0.|g(1 4)|117 8所以A.|g(1 4)|261 8综上，AError!(3)证明：由(1)得|f(x)|2sin 2x(1)sin x|2|1|.当 00，a2.4a15(2)当n2 时，4Sn1a4(n1)1，2n4an4Sn4Sn1aa4，2n12n即aa4an4(an2)2，2n12n又an>0，an1an2，当n2 时，an是公差为 2 的等差数列又a2，a5，a14成等比数列aa2·a14，即(a26)2a2·(a224)，解得a23.2 5由(1)知a11.又a2a1312，数列an是首项a11，公差d2 的等差数列an2n1.(3)证明：1 a1a21 a2a31 anan11 1 × 31 3 × 51 5 × 71 2n12n1 1 2(11 3)(1 31 5)(1 2n11 2n1)< .12(112n1)12