2019版高中数学 第2章 数列章末分层突破学案 新人教B版必修5.doc

1第第 2 2 章章 数列数列章末分层突破章末分层突破自我校对无穷数列常数列通项公式法前n项和公式等比数列2等差(比)数列的基本运算在等差数列和等比数列的通项公式an与前n项和公式Sn中，共涉及五个量：a1，an，n，d(或q)，Sn，其中a1和d(或q)为基本量， “知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，d(q)，an，Sn，n的方程组，利用方程的思想求出需要的量，当然在求解中若能运用等差(比)数列的性质会更好，这样可以化繁为简，减少运算量，同时还要注意整体代入思想方法的运用.等比数列an中，已知a12，a416.(1)求数列an的通项公式；(2)若a3，a5分别为等差数列bn的第 3 项和第 5 项，试求数列bn的通项公式及前n项和Sn.【精彩点拨】 (1)由a1，a4求出公比q，写出an的通项公式.(2)列出关于b1，d的方程组，求解b1，d，进而写出bn，Sn.【规范解答】 (1)设an的公比为q，由已知得 162q3，解得q2.an2×2n12n.(2)由(1)得a38，a532，则b38，b532.设bn的公差为d，则有Error!解得Error!所以bn1612(n1)12n28.所以数列bn的前n项和Sn6n222n.n1612n28 2再练一题1.已知等差数列an的公差d1，前n项和为Sn.(1)若 1，a1，a3成等比数列，求a1；(2)若S5>a1a9，求a1的取值范围.【解】 (1)因为数列an的公差d1，且 1，a1，a3成等比数列，所以a1×(a12)，2 1即aa120，解得a11 或a12.2 1(2)因为数列an的公差d1，且S5>a1a9，所以 5a110>a8a1，2 13即a3a1101 时，anSnSn1k(cncn1)，则a6k(c6c5)，a3k(c3c2)，c38，a6 a3c6c5 c3c2c2.a24，即k(c2c1)4，解得k2，an2n.当n1 时，a1S12.综上所述，an2n(nN N).(2)nann·2n，则Tn22·223·23n·2n，2Tn1·222·233·24(n1)·2nn·2n1，两式作差得Tn222232nn·2n1.Tn2(n1)·2n1.再练一题3.已知正项数列an中，a11，点(，an1)(nN N)在函数yx21 的图象上，数an列bn的前n项和Sn2bn.(1)求数列an和bn的通项公式；(2)设cn，求cn的前n项和Tn.1 an1log2bn1【解】 (1)点(nN N)在函数yx21 的图象上，(an，an1)an1an1，数列an是公差为 1 的等差数列.a11，an1(n1)n，Sn2bn，Sn12bn1，两式相减得：bn1bn1bn，即 ，bn1 bn1 2由S12b1，即b12b1，得b11.数列bn是首项为 1，公比为 的等比数列，1 2bn.(1 2)n1(2)log2bn1log2n，(1 2)ncn ，1 nn11 n1 n1Tnc1c2cn1.(11 2) (1 21 3) (1 31 4)(1 n1 n1)1 n1n n16函数思想求解数列问题数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时，若涉及参数取值范围，最值问题或单调性时，均可考虑采用函数的思想解题.值得注意的是数列定义域是正整数集或其真子集，这一特殊性对问题结果可能造成影响.已知a12，点(an，an1)在函数f(x)x22x的图象上，其中n1,2,3，.(1)求证：数列lg(1an)是等比数列；(2)设Tn(1a1)(1a2)(1an)，求Tn及数列an的通项公式；(3)记bn，求数列bn的前n项和Sn，并说明Sn1.1 an1 an22 3Tn1【精彩点拨】 对于(1)，由条件知an1a2an，变形为an11(an1)2，两边2n取对数即可得证.对于(3)，由条件知an1a2anan(an2)，变形得2n1 an11 2，即得，所以bn2，由此Sn可求.(1 an1 an2)1 an21 an2 an1(1 an1 an1)【规范解答】 (1)证明：由已知得an1a2an，2nan11(an1)2.a12，an1>1，两边取对数得 lg(1an1)2lg(1an)，即2.lg1an1 lg1an数列lg(1an)是公比为 2 的等比数列.(2)由(1)知 lg(1an)2n1·lg(1a1)2n1·lg 3lg 32n1，1an3.(*)2n1Tn(1a1)(1a2)(1an)3·3·3··33 22 22021222n1123n12n1由(*)式得an31.2n1(3)an1a2an，an1an(an2)，2n，.1 an11 2(1 an1 an2)1 an21 an2 an1又bn，bn2，1 an1 an2(1 an1 an1)Snb1b2bn72(1 a11 a21 a21 a31 an1 an1)2.(1 a11 an1)an32n11，an132n1，又a12，Sn1.2 32n1又Tn32n1，Sn11.2 3Tn12 32n12 32n1再练一题4.已知等差数列an的首项a11，公差d>0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项. 【导学号：18082041】(1)求数列an的通项公式；(2)设bn(nN N)，Snb1b2bn，是否存在t，使得对任意的n均1 nan3有Sn>总成立？若存在，求出最大的整数t；若不存在，请说明理由.t 36【解】 (1)由题意得(a1d)(a113d)(a14d)2，整理得 2a1dd2.d>0，d2.a11.an2n1(nN N).(2)bn，1 nan31 2nn11 2(1 n1 n1)Snb1b2bn .1 2(11 2) (1 21 3)1 n1 n11 2(11 n1)n 2n1假设存在整数t满足Sn>总成立，t 36又Sn1Snn1 2n2n 2n1>0，1 2n2n1数列Sn是单调递增的.S1 为Sn的最小值，故n2，故bn3n1n2，n3.设数列bn的前n项和为Tn，则T12，T23，当n3 时，Tn3，913n2 13n7n2 23nn25n11 2所以，所以，T Tn nError!Error!