2019版高中数学 第一章 解三角形 1.1.2 余弦定理练习 新人教A版必修5.doc
11 1. .1 1. .2 2 余弦定理余弦定理课后篇巩固探究巩固探究A A 组 1 1.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=,b=3,A=60°,则c=( )13A.1B.2C.4D.6 解析由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A,即 13=9+c2-3c,即c2-3c-4=0,解得c=4(负值舍去). 答案 C2 2.(2017·江西临川二中期中考试)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2- c2+b2=ab,则 sin C的值为( )A.B.C.D.2 23 233来源:学&科&网Z&X&X&K解析由余弦定理,得 cos C=.因为C(0,),所以C=,sin C=.故选 C.2+ 2- 22=1 2 33 2答案 C3 3.在ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,则下列等式正确的是( )A.a=bcos C+ccos BB.a=bcos C-ccos B C. a=bsin C+csin BD.a=bsin C-csin B解析bcos C+ccos B=b·+c·=a.2+ 2- 222+ 2- 22=22 2答案 A4 4.如果将直角三角形的三边增加同样的长度,那么新三角形的形状是( ) A.锐角三角形B.直角三角形 C.钝角三角形D.由增加的长度确定 解析设直角三角形的三条边长分别为a,b,c,且a2+b2=c2,三条边均增加同样的长度m,三边长度变为a+m,b+m,c+m,此时最长边为c+m,设该边所对角为,则由余弦定理,得 cos =.因为m2>0,a+b-c>0,所以( + )2+ ( + )2- ( + )2 2( + )( + )=2+ 2( + - ) 2( + )( + )cos >0,所以为锐角,其他各角必为锐角,故新三角形是锐角三角形. 答案 A5 5.在ABC中,AB=3,BC=,AC=4,则边AC上的高为( )13A.B.C.D.33 2 23 3 23 232解析在ABC中,AB=3,BC=,AC=4,由余弦定理,得 cos A=13,A=60°.边AC上的高h=AB·sin A=3sin 2+ 2- 22·=32+ 42- 132 × 3 × 4=1 260°=.故选 B.3 3 2答案 B6 6.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=C,2b=a,则 cos A= . 3解析由B=C,得b=c=a.由余弦定理,得 cos A=3 2.2+ 2- 22=(3 2)2+(3 2)2- 22·3 2·3 2=1 3答案7 7.在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若a2-c2=2b,且 sin B=6cos Asin C,则b的值 为 . 解析由正弦定理及余弦定理,得 sin B=6cos Asin C可化为b=6··c,化简2+ 2- 22得b2=3(b2+c2-a2). a2-c2=2b,且b0,b=3. 答案 38 8.如图,在ABC中,已知点D在边BC上,ADAC于点A,sinBAC=,AB=3,AD=3,则BD2 2 32的长为 . 解析因为 sinBAC=,且ADAC,所以 sin,所以 cosBAD=.2 2 3( 2+ )=2 2 32 2 3在BAD中,由余弦定理,得BD=2+ 2- 2·=.(3 2)2+ 32- 2 × 3 2 × 3 ×2 2 3= 3答案339 9.导学号 04994004 在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边长,若(a+b+c) (sin A+sin B-sin C)=3asin B, 求角C的大小.解由题意,得(a+b+c)(a+b-c)=3ab,整理,得a2+2ab+b2-c2=3ab,即,所以2+ 2- 22=1 2cos C=,所以C=60°. 1010.在ABC中,C=2A,a+c=10,cos A=,求b.解由正弦定理,得=2cos A=2×,a+c=10,a=4,c=6. = =2 3 4=3 2由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得,解得b=4 或b=5.当b=4 时,a=4,A=B.2+ 20 12=3 4又C=2A,且A+B+C=,A=,与已知 cos A=矛盾,不合题意,舍去.当b=5 时,满足题意,故 4b=5. B B 组 1 1.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若 sin2B+sin2C-sin2A+sin Bsin C=0,则 tan A的值是( )A.B.-C.D.-3 33 333解析由题意及正弦定理,得b2+c2-a2=-bc.由余弦定理,得 cos A=-.2+ 2- 22=- 2因为 0b>a,则角C最大.cos C=-,2+ 2- 22=32+ 52- 722 × 3 × 54且 0b,a>c,即a是最长边,所以角A最大.由余弦定理,得 cos 120°=,解得a=14(a=4 舍去),所以b=10,c=6,( - 4)2+ ( - 8)2- 22( - 4)( - 8)故ABC的周长为 30. 答案 305 5.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若(a2+c2-b2)tan B=ac,则角B的度数为 .3解析由余弦定理,得 2accos B·tan B=ac,整理,得 sin B=,所以B=60°或 120°.33 2答案 60°或 120°6 6.(2017·河北冀州中学)在ABC中,BD为ABC的平分线,AB=3,BC=2,AC=,则7sinABD= . 解析因为BD为ABC的平分线,所以ABD=ABC.由余弦定理,得 cosABC=,2+ 2- 22·=32+ 22- ( 7)2 2 × 3 × 2=1 2所以 cosABC=1-2sin2ABD=, 所以 sinABD=. 答案7 7.导学号 04994005 若 2a+1,a,2a-1 为钝角三角形的三边长,求实数a的取值 范围. 解因为 2a+1,a,2a-1 是三角形的三边长,所以解得a>,此时 2a+1 最大.要使 2a+1,a,2a-1 是三角形的三边长,还需2 + 1 > 0, > 0, 2 - 1 > 0,?a+2a-1>2a+1,解得a>2.设最长边 2a+1 所对的角为,则>90°,所以 cos =<0,解得<a<8.综上可知实数a的取值范围2+ (2 - 1)2- (2 + 1)2 2(2 - 1)=( - 8) 2(2 - 1)是(2,8).
