数学分析(3)复习题(共17页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上数学分析（3）复习题（全部） 上去（密码同名子）一、泰勒公式与极值问题练习题1利用二元函数的泰勒公式证明:和有, .进一步证明下面的Yongs不等式: 若, 则对有.提示: 对函数在点展开为一阶泰勒公式,再利用雅可比矩阵的半负定性. 最后取即可.2求函数的极值点和极植.提示: 见课件;类似于教材P138例6; 利用极植的必要条件和充分条件.3求二元函数在直线,轴和轴所围成的闭区域上的最大值和最小值.提示: 先求在区域内的驻点,再求函数在直线上的最值点,最后比较.4在平面上求一点,使它到三直线,及的距离平方和最小.提示: 见教材P141习题 11.二、隐函数定理及应用练习题1已知：，求和提示：利用隐式方程求导法。答案：，。2设具有连续偏导数，已知，求。提示：利用一阶全微分形式的不变性。答案：。3设函数由方程组所确定，求和。 （见教材P158习题 6）4已知：，求和。（见教材P158习题 2（3）5求球面与锥面所截出的曲线的点处的切线和法平面方程。（见教材P161例 2）6教材P163 习题 97求旋转抛物面与平面之间的最短距离。提示：点到平面的距离公式，求在约束条件下的极值。答案：，8在过点的所有平面中，求出与三个坐标平面围成立体体积最小的平面。提示：设平面方程，则体积，求的极值可转化为求的极值答案：三、含参量积分练习题1设，求和。答案：，解题过程中要说明依据。2求，见教材P178例43计算，是所围闭区域。提示：考虑积分次序。答案：24计算二次积分提示：画出积分区域，转化为二重积分，交换积分次序。答案：四、重积分及其应用练习题1计算积分。（交换积分次序）2，提示：用直线将分成两部分去绝对值。答案：3教材P236 例24计算，提示：用极坐标，答案：5计算，其中。（用极坐标计算）6计算积分，其中是所围成。 提示：用直角坐标或柱坐标，先沿着轴方向穿针。7计算，是与所围闭区域。提示：用直角坐标，先二后一最简单。也可用其它方法，如用柱坐标：8计算，由，所围提示：积分区域是球形区域的一部分，宜采用球坐标。答案：9教材P250例5。10求球体与公共部分的体积。参见课件11教材P253例112设是由曲线绕轴旋转一周形成的旋转体，质量均匀，求其重心。参见课件13求半径为的均匀半圆薄片对其径的转动惯量。参见课件五、曲线积分空间曲线的一般方程切向量所以切线方向为它正好是弧长增加的方向弧长微分向量它是切线上一段，方向与切线方向一致弧长微分单位切向量则是切向量与轴正向的夹角。因此，我们有 即为的在三个坐标轴上的投影，它有符号，符号由方向余弦确定。平面曲线的一般方程单位切向量 则是切向量与轴正向的夹角。那么，法向量为其中到成右手系（同轴到轴，见下图），我们约定这个为有向曲线的单位法向量第一型曲线积分（1）定义：，是小弧的长度（2）性质：（3）计算：（4）应用：曲线的质量（上面看作线密度），重心，转动惯量等（5）平面曲线的特殊情况（以下请自己填上） 第二型曲线积分（1）定义：，有符号，即向轴的投影， （2）性质：（3）计算：设，则 ，其中对应起点，对应起点。（4）应用：力作功两类曲线积分的联系下面的材料（两水平线中间的部分）供大家复习时参考。事实上，符号选取的规则为：当弧长增加方向与参数增加方向一致时，取正号，否则，取负号。即若起点与对应，终点与对应，则而总之，积分下限与起点的参数对应，积分上限与终点的参数对应（有可能下限大于上限）。例如，为单位上半圆周，从到（见下图），求如果用作为参数，增加的方向与弧长增加的方向相反（切线与轴夹角是钝角），当限制积分上限大于下限时取负号（弧长微分向量向轴投影是负的）。如果采用作为参数方程，增加的方向与弧长增加的方向一致，当限制积分上限大于下限时取正号。_练习题1，为在第四象限部分要求按三种方法做：答案：4方法1 直角坐标系，方法2 参数方程，方法3 极坐标，2，为点到点的直线段提示：写出直线的参数方程，然后代公式计算。答案：3计算球面上三角形围线的重心坐标（）。提示：由对称性。答案：4，是沿和所围封闭曲线正向。提示：画草图如下， （可选作参数） 或用Green公式（试一下答案是否一样）答案：5力场，问质点从原点沿直线移到曲面的第一卦限部分上哪一点做的功最大，并求最大功。提示：设是椭球面上一点，从原点沿直线移到点所作的功为， 求得，然后再根据约束条件用Lagrange乘数法求极值答案：6计算，其中，为椭圆，为的外法线向量方法1 记，外法线向量为，单位外法线向量（仍记为），（用方向导数公式）把写成参数方程，直接计算一型曲线积分得答案：方法2 设，切向量（注意，这里应取为逆时针方向，想一想为什么？）用Green公式 (当然也可直接计算这个二型曲线积分)椭圆面积。7设为球面和平面的交线，从轴正向看去，是沿逆时针方向的。试计算二型曲线积分提示：关键是写出的参数方程。把代入得，把左边二次型化标准形（不唯一）比如，得取，得曲线参数方程为答案：。请你用另一种坐标变换化标准形再做一次。六、曲面积分下面的材料（两水平线中间的部分）供大家复习时参考空间曲面的一般方程面积微分当充分小时，略去上面高阶无穷小，用切向量，所张成的平行四边形（在过点的切平面上）的面积来近似曲面的面积，从而得面积的微分易计算，所以面积微分为曲面面积面积微分向量把面积微分看作有方向的向量：大小为面积微分，方向为法线方向用方向余弦来记单位法向量（上面选定正负号后）（）则其三个分量分别是面积微分向三个坐标平面的投影的微分（有符号，由选定的方向及方向角来定）第一型曲面积分 第二型曲面积分 其中符号的确定：首先要指明曲面的正侧（向上或向下，向里或向外等），如果与指定的方向一致，取正号；否则，取负号。以上半球面为例，如果指定向上是正侧，正好与方向一致，取正号，否则取负号。再看下半球面，如果指定向下是正侧，它与方向相反，取负号，否则取正号。如果用参数方程，来表示整个球面，并指向外是正侧（上半部向上，下半部向下），结果又如何？这样外侧（看上下）始终与方向一致。故取正号，不需要再分上下两部分来分别处理了！以上只对来说明的，对，也类似特别地特别地，当曲面方程由表示时，把当作参数，你自己推导相应的公式第一型曲面积分（1）定义：，（是小面积）（2）性质：（3）计算：若则 。 类似地，还可以先把曲面投影到其它坐标面上，再化为该投影区域上的二重积分，具体要看被积函数和投影区域的情况来定。（或者利用微元法把表达出来）（4）应用：曲面的质量，重心，转动惯量等第二型曲面积分（1）定义：是小面积向平面的投影，即的第3个分量，有符号（2）性质：（3）计算：若则 ，其中若取上侧，则取“+”号，否则取“”号。类似地，对坐标的曲面积分，就要先把曲面投影到平面上，等等。（4）应用：流体速度场通过曲面的流量两类曲面积分的联系其中是单位法向量练习题1求椭圆柱面位于xoy平面上方及平面下方部分柱面的面积。提示：法一 计算曲面积分 时，先把曲面投影到平面上，投影区域为： ，此时曲面方程应为：，再化为上的二重积分计算。法二 计算曲面积分 时，把面积微元用弧微分表达，即，其中曲线为椭圆周。再利用椭圆的参数方程把该曲线积分化为定积分计算。法三 计算曲面积分 时，用曲面的参数方程：面积再由计算得答案：2求均匀球面（）的重心和对轴的转动惯量答案：重心，转动惯量：3求，为的下侧。要求（1）用二型计算（2）化一型计算（3）用Gauss公式计算。答案：04，是平面在第一卦限部分的上侧。提示：的单位法向量，化一型计算较简单。，七、Green公式与Gauss公式等练习题1（1）计算，其中分别是（i）是圆周：，逆时针；（ii）是不包含原点的光滑闭曲线，逆时针；（iii）是包含原点的光滑闭曲线，逆时针。(2) 计算，其中分别是（i），外侧（ii）为不包含原点的光滑闭曲面，外侧（iii）为包含原点的光滑闭曲面，外侧提示：（1）和（2）属同一类型（1）（i）不能直接用Green公式，此时用Green公式（ii）直接用Green公式，（iii）考虑挖去小圆（充分小）取顺时针，圆周记为2证明Green第一公式（1）其中，封闭曲面取外侧，所围立体为，是的外法线方向；（2）其中，平面封闭曲线取正向，所围的平面区域为，是的外法线方向。提示：（1）和（2）也是同一类型，但（2）要有法线与切线的转化问题，题中有些条件没说（不言自明），只证（2）3，为的上半圆周提示：添加辅助线，用Green公式。答案：4计算，其中为以为圆心，为半径的顺时针圆周。提示：分和两种情况，第一种情况可直接用Green公式，而第二种情况可考虑添加辅助线：（足够小）后在复连通域内用Green公式。5设为曲面 取上侧，计算提示：增加辅助面用Gauss公式，答案6设是曲面，取上侧，计算。 提示：可考虑增加辅助面：（足够小）取下侧，具体见课件。7有密度为1的空间流体，流速，求在单位时间内流过曲面的流量（流向外侧）。提示：用Gauss公式转化为三重积分。答案：8证明：若为封闭的简单曲面，为的外法线方向，为任一固定方向，则见P296 7，再看P232 3提示：把用内积写出，化为二型，再用Gauss公式（另一个用Green公式）9证明：其中是包围的曲面，是的外法线方向，见P2968要求：分两种情况证明（1）不含原点，（2）含原点不在边界上10计算，其中为平面被三个坐标面所截三角形的整个边界，从上向下看为逆时针方向。要求：用Stokes公式计算，答案专心-专注-专业