中考数学高频考点突破——实际问题与反比例函数.docx

中考数学高频考点突破实际问题与反比例函数1. 已知一艘轮船上装有 100 吨货物，轮船到达目的地后开始卸货设平均卸货速度为 v（单位：吨/小时），卸完这批货物所需的时间为 t（单位：小时）(1) 求 v 关于 t 的函数表达式(2) 若要求不超过 5 小时卸完船上的这批货物，那么平均每小时至少要卸货多少吨？2. 制作一种产品，需先将材料加热达到 60C 后，再进行操作设该材料温度为 yC，从加热开始计算的时间为 x（分钟）据了解，该材料加热时，温度 y 与时间 x 成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度 y 与时间 x 成反比例关系（如图）已知该材料在操作加工前的温度为 15C，加热 5 分钟后温度达到 60C(1) 分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y 与 x 的函数关系式(2) 根据工艺要求，当材料的温度低于 15C 时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？3. 小明要把一篇社会调查报告录入电脑当他以 100 字/分的速度录入文字时，经 240 分钟能完成录入设他录入文字的速度为 v 字/分时，完成录入的时间为 t 分(1) 求 t 与 v 之间的函数表达式；(2) 要在 3h 内完成录入任务，小明每分钟至少应录入多少个字？4. 已知蓄电池的电压为定值使用此蓄电池作为电源时，电流 I（单位：A）与电阻 R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示(1) 求这个反比例函数的表达式(2) 如果以此蓄电池为电源的用电器的电流不能超过 8A，那么该用电器的可变电阻至少是多少？5. 一艘运沙船装载着 5000m3 沙子，到达目的地后开始卸沙，设平均卸沙速度为 v（单位：m3/ 小时），卸沙所需的时间为 t（单位：小时）(1) 求 v 关于 t 的函数表达式，并用列表描点法画出函数的图象(2) 若要求在 20 小时至 25 小时内（含 20 小时和 25 小时）卸完全部沙子，求卸沙的速度范围6. 制作一种产品，需先将材料加热达到 60C 后，再进行操作，设该材料温度为 yC，从加热开始计算的时间为 xmin据了解，当该材料加热时，温度 y 与时间 x 成一次函数关系：停止加热进行操作时，温度 y 与时间 x 成反比例关系（如图）已知在操作加热前的温度为 15C，加热 5 分钟后温度达到 60C(1) 分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y 与 x 的函数关系式；(2) 根据工艺要求，当材料的温度低于 15C 时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？7. 放寒假，小明的爸爸把油箱注满油后准备驾驶汽车到距家 300km 的学校接小明，在接到小明后立即按原路返回已知小明爸爸汽车油箱的容积为 70L，请回答下列问题：(1) 写出油箱注满油后，汽车能够行使的总路程 skm 与平均耗油量 x（L/km）之间的函数关系式(2) 小明的爸爸以平均每千米耗油 0.1L 的速度驾驶汽车到达学校，在返回时由于下雨，小明的爸爸降低了车速，此时每千米的耗油量增加了一倍，如果小明的爸爸始终以此速度行使，油箱里的油是否够回到家？如果不够用，请通过计算说明至少还需加多少油8. 我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为 18C 的条件下生长最快的新品种下图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度 yC 随时间 x（小时）变化的函数图象，其中 BC 段是双曲线 y=kx 的一部分请根据图中信息解答下列问题：(1) 恒温系统在这天保持大棚内温度 18C 的时间有 小时；(2) 当 x=15 时，大棚内的温度约为多少度？9. 环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示，所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的 1.0mg/L，环保局要求该企业立即整改，在 15 天以内（含 15 天）排污达标，整改过程中，所排污水中硫化物的浓度 mg/L 与时间 x（天）的变化规律如图所示，其中线段 AB 表示前 3 天的变化规律，从第 3 天起，所排污水中硫化物的浓度 与时间 x 成反比例关系(1) 求整改过程中硫化物的浓度 与时间 x 的函数表达式（要求标注自变量 x 的取值范围）(2) 该企业所排污水中硫化物的浓度，能否在 15 天以内（含 15 天）排污达标？为什么？10. 城镇污水处理厂污染物排放标准中硫化物的排放标准为 1.0mg/L某污水处理厂在自查中发现，所排污水中硫化物浓度超标，因此立即整改，并开始实时监测据监测，整改开始第 60 小时时，所排污水中硫化物的浓度为 5mg/L；从第 60 小时开始，所排污水中硫化物的浓度 ymg/L 是监测时间 x（小时）的反比例函数，其图象如图所示(1) 求 y 与 x 的函数关系式；(2) 整改开始第 100 小时时，所排污水中硫化物浓度为 mg/L；(3) 按规定所排污水中硫化物的浓度不超过 0.8mg/L 时，才能解除实时监测，此次整改实时监测的时间至少为多少小时？11. 1896 年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径 y/ 米是其两腿迈出的步长之差 x/ 厘米 x>0 的反比例函数，其图象如图所示请根据图象中的信息解决下列问题：(1) 求 y 与 x 之间的函数表达式(2) 当某人两腿迈出的步长之差为 0.5 厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为 米(3) 若某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于 35 米，则其两腿迈出的步长之差最多是多少厘米？12. 为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量 y（毫克）与时间 x（分钟）成为正比例，药物燃烧后，y 与 x 成反比例（如图），现测得药物 8 分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量 6 毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题(1) 药物燃烧时，y 关于 x 的函数关系式为 ，自变量 x 的取值范围为 ，药物燃烧后，y 关于 x 的函数关系式为 (2) 研究表明，当空气中每立方米的含药量低于 1.6 毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过 分钟后，员工才能回到办公室(3) 研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于 3 毫克且持续时间不低于 10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？13. 城镇污水处理厂污染物排放标准中硫化物的排放标准为 1.0mg/L .某污水处理厂在自查中发现，所排污水中硫化物浓度超标，因此立即整改，并开始实时监测据监测，整改开始第 60 小时时，所排污水中硫化物的浓度为 5mg/L；从第 60 小时开始，所排污水中硫化物的浓度 ymg/L 是监测时间 x (小时）的反比例函数，其图象如图所示.(1) 求 y 与 x 之间的函数关系式(2) 整改开始第 100 小时时，所排污水中硫化物浓度为 mg/L .(3) 按规定所排污水中硫化物的浓度不超过 0.8mg/L 时，才能解除实时监测，此次整改实时监测的时间至少为多少小时？14. 心理学家研究发现，一般情况下，一节课 40 分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散经过实验分析可知，学生的注意力指标数 y 随时间 x（分钟）的变化规律如图所示（其中 AB，BC 分别为线段，CD 为双曲线的一部分）：(1) 分别求出线段 AB 和曲线 CD 的函数关系式；(2) 开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？(3) 一道数学竞赛题，需要讲 19 分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到 36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？15. 制作一种产品，需先将材料加热达到 60C 后，再进行操作设该材料温度为 yC，从加热开始计算的时间为 x（分钟）据了解，设该材料加热时，温度 y 与时间 x 成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度 y 与时间 x 成反比例关系（如图所示）已知该材料在操作加工前的温度为 15C，加热 5 分钟后温度达到 60C(1) 分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y 与 x 的函数关系式；(2) 根据工艺要求，当材料的温度低于 15C 时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？(3) 根据工艺要求，当材料的温度不低于 30C 时，为最佳操作时间，那么此工艺品的最佳操作时间为多久？16. 如图是某游客乘皮筏艇沿河谷漂流所经过的一段河道的示意图，其中 AB 段是线段，BC 段是反比例函数图象的一部分，y（米）表示该游客相对于最低点的高度，x（米）表示该游客到点 A 的水平距离已知 AB 段的函数表达式为 y=0.1x+600x300，请你根据图中的数据解答下列问题：(1) 求 BC 段的函数表达式并写出自变量的取值范围(2) 求点 A 与点 C 的落差（即 A，C 两点的高度差）(3) 在此段河道上，最佳观景位置相对于最低点的高度不低于 25 米，直接写出游客处于最佳观景位置时 x 的取值范围： 17. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 pkPa 是气体体积 Vm3 的反比例函数，其图象如图所示(1) 写出函数表达式；(2) 当气体体积为 2m3 时，气压是多少？(3) 当气压大于 130kPa 时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应大于多少（保留两位小数）？18. 为预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”，已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量 ymg 与药物在空气中的持续时间 xmin 成正比例，燃烧后，y 与 x 成反比例（如图所示），现测得药物 10 分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为 8mg根据以上信息解答下列问题：(1) 分别求出药物燃烧时及燃烧后 y 关于 x 的函数表达式(2) 当每立方米空气中的含药量低于 1.6mg 时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，在哪个时段消毒，人员不能停留在教室里？(3) 当室内空气中的含药量每立方米不低于 3.2mg 的持续时间超过 20 分钟，才能有效杀灭某种传染病毒，试判断此次消毒是否有效，并说明理由19. 码头工人往一艘轮船上装载货物，装完货物所需时间 ymin 与装载速度 xt/min 之间的函数关系如图(1) 这批货物的质量是多少？(2) 写出 y 与 x 之间的函数表达式；(3) 轮船到达目的地后开始卸货，如果以 5t/min 的速度卸货，那么需要多少时间才能卸完货物？20. 一蓄水池每小时的排水量 Vm3/h 与排完水池中的水所用的时间 th 之间成反比例函数关系，其图象如图所示(1) 求 V 与 t 之间的函数表达式(2) 若要 2h 排完水池中的水，那么每小时的排水量应该是多少？(3) 如果每小时排水量不超过 4000m3，那么水池中的水至少要多少小时才能排完？答案1. 【答案】(1) 由题意可得：100=vt，则 v=100t(2) 不超过 5 小时卸完船上的这批货物， t5，则 v1005=20，答：平均每小时至少要卸货 20 吨2. 【答案】(1) 材料加热时，设 y=ax+15a0，由题意得 60=5a+15，解得 a=9，则材料加热时，y 与 x 的函数关系式为 y=9x+150x5停止加热时，设 y=kxk0，由题意得 60=k5，解得 k=300，则停止加热进行操作时 y 与 x 的函数关系式为 y=300xx5(2) 把 y=15 代 y=300x，得 x=20，因此从开始加热到停止操作，共经历了 20 分钟答：从开始加热到停止操作，共经历了 20 分钟3. 【答案】(1) 由题意得：vt=240×100，则 t=24000vv>0(2) 3h=180，当 t=180 时，180=24000v，解得：v=4003，由反比例函数的性质知：当 v>4003 时，t<180， v 是整数， v134，故小明每分钟至少录入 134 个字4. 【答案】(1) 设反比例函数表达式为 I=kRk0，将点 10,4 代入得 4=k10， k=40， 反比例函数的表达式为 I=40R(2) 由题可知，当 I=8 时，R=5，且 I 随着 R 的增大而减小， 当 I8 时，R5， 该用电器的可变电阻至少是 55. 【答案】(1) 由题意可得：v=5000t，列表得：v25001250625t246如图所示：(2) 当 t=20 时，v=500020=250，当 t=25 时，v=500025=200，故卸沙的速度范围是：200v2506. 【答案】(1) 当 0x5 时，设一次函数解析式为 y=kx+b，把 0,15，5,60 代入得 b=15,5k+b=60, 解得 k=9,b=15, 所以一次函数解析式为 y=9x+15；当 x>5 时，设反比例函数解析式为 y=mx，把 5,60 代入得 m=5×60=300，所以反比例函数解析式为 y=300x(2) 当 y=15 时，300x=15，解得 x=20，所以从开始加热到停止操作，共经历了 20 分钟7. 【答案】(1) 耗油量 × 行驶里程 =70 升； xy=70， y=70xx>0(2) 不够用，理由如下： 0.1×300=30（升），0.2×300=60（升）， 30+60>70 故不够用， 30+6070=20（升）答：不够用，到家至少需要 20 升油8. 【答案】(1) 8 (2) 点 B10,18 在双曲线 y=kx 上， 18=k10， 解得：k=180当 x=15 时，y=18015=12，所以当 x=15 时，大棚内的温度约为 12C【解析】(1) 恒温系统在这天保持大棚温度 18C 的时间 102=8 为小时9. 【答案】(1) 分情况讨论：当 0x3 时，设线段 AB 对应的函数表达式为 y=kx+b；把 A0,10，B3,4 代入得：b=10,3k+b=4, 解得：k=2,b=10. y=2x+10；当 x>3 时，设 y=mx，把 3,4 代入得：m=3×4=12， y=12x，综上所述：当 0x3 时，y=2x+10；当 x>3 时，y=12x(2) 能；理由如下：令 y=12x=1，则 x=12， 3<12<15，故能在 15 天以内不超过最高允许的 1.0mg/L10. 【答案】(1) 设 y 与 x 的函数关系式为 y=kxx>0， 第 60 小时时，所排污水中硫化物的浓度为 5mg/L， 5=k60，解得：k=300， y 与 x 的函数关系式为 y=300x(2) 3 (3) 当 y=0.8 时，0.8=300x，解得 x=375，答：此次整改实时监测的时间至少为 375 小时【解析】(2) 当 x=100 时，y=300100=3，故答案为：311. 【答案】(1) 设 y 与 x 之间的函数关系为 y=kx，当 x=2 时，y=7，代入得：7=k2， k=14， y 与 x 之间的函数关系为 y=14xx>0(2) 28 (3) 根据题意得：y35， 14x35， x>0，解得：x0.4， x 及其中的最大值， 此人两腿迈出的步长之差最多为 0.4 厘米【解析】(2) 根据题意，x=0.5，代入得 y=28，故半径为 28 米12. 【答案】(1) y=34x；0x8；y=48xx>8 (2) 30 (3) 把 y=3 代入 y=34x，得：x=4；把 y=3 代入 y=48x，得：x=16 164=12， 这次消毒是有效的【解析】(1) 设药物燃烧时 y 关于 x 的函数关系式为 y=k1xk1>0，代入 8,6 为 6=8k1， k1=34设药物燃烧后 y 关于 x 的函数关系式为 y=k2xk2>0，代入 8,6 为 6=k28， k2=48， 药物燃烧时 y 关于 x 的函数关系式为 y=34x0x8，药物燃烧后 y 关于 x 的函数关系式为 y=48xx>8(2) 结合实际，令 y=48x 中 y1.6，得 x30，即从消毒开始，至少需要 30 分钟后员工才能进入教室13. 【答案】(1) 设 y 与 x 之间的函数关系式为 y=kx，根据题意得：k=xy=60×5=300，所以 y 与 x 之间的函数关系式为 y=300x(2) 3 (3) 当 y=0.8 时，x=3000.8=375，即此次整改实时监测的时间至少为 375 小时.【解析】(2) 当 x=100 时，y=300100=3mg/L，所以整改开始第 100 小时时，所排污水中硫化物浓度为 3mg/L .故答案为：3 .14. 【答案】(1) 设线段 AB 所在的直线的解析式为 y1=k1x+20，把 B10,40 代入得，k1=2， y1=2x+20设 C，D 所在双曲线的解析式为 y2=k2x，把 C25,40 代入得，k2=1000， y2=1000x(2) 当 x1=5 时，y1=2×5+20=30，当 x2=30 时，y2=100030=1003， y1<y2 第 30 分钟注意力更集中(3) 令 y1=36， 36=2x+20， x1=8 令 y2=36， 36=1000x， x2=10003627.8 27.88=19.8>19， 经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目15. 【答案】(1) 当 0x5 时，设函数的解析式是 y=kx+b，则 b=15,5k+b=60, 解得：k=9,b=15, 则函数的解析式是：y=9x+15； x>5 时，y=300x；(2) 把 y=15 代入 y=300x，得 15=300x，解得：x=20；经检验：x=20 是原方程的解则当材料的温度低于 15C 时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了 20 分钟；(3) 把 y=30 代入 y=300x，得 x=10，所以此工艺品的最佳操作时间为：105=5（分钟）16. 【答案】(1) 已知 AB 段的函数表达式为：y=0.1x+60，令 x=300，得 y=30+60=30， 点 B 坐标为 300,30，设 BC 段的表达式为：y=kx，将 B300,30 代入，得 k=300×30=9000， BC 段的表达式及 x 的取值范围为 y=9000x300x500(2) 由（1）可知，当 x=0 时，y=60，当 x=500 时，y=9000500=18， 6018=42（米），故点 A 与点 C 的落差为 42 米(3) 0x360 【解析】(3) 若 0x300，令 y=25， 0.1x+60=25，解得 x=350（舍去），若 300x500，令 y=25， 9000x=25，解得 x=360， 最佳观景位置时 x 的取值范围是：0x36017. 【答案】(1) p=96V(2) 48kPa(3) 0.73m318. 【答案】(1) 设正比例函数解析式为 y=k1x，反比例函数解析式为 y=k2x，将 10,8 代入解析式得：8=10k1，8=k210， k1=45，k2=80，药物燃烧时，y=45x0<x10，药物燃烧后，y=80xx>10(2) 当 y=1.6 时，燃烧时 45x=1.6，x=2，燃烧后 80x=1.6，x=50， 在第 250 分，即 48 分钟内，不能停留(3) 当 y=3.2 时，燃烧时 45x=3.2，x=4 分，燃烧后 80x=3.2，x=25 分， 共计 254=21 分 >20 分， 此次消毒是有效的19. 【答案】(1) 由题意可得，这批货物的质量是：1.5×400=600t，答：这批货物的质量是 600t(2) 设 y 与 x 的函数关系式是 y=kx，把 1.5,400 代入得：400=k1.5，解得：k=600，即 y 与 x 的函数关系式是 y=600x(3) 当 x=5 时，y=6005=120min答：需要 120min 才能卸完货物20. 【答案】(1) 设函数表达式为 V=kt，把 6,3000 代入 V=kt，得 3000=k6 k=18000，所以 V 与 t 之间的函数表达式为 V=18000t(2) 把 t=2 代入 V=18000t，得 V=9000，答：每小时的排水量应该是 9000m3(3) 把 V=4000 代入 V=18000t，得 t=4.5，根据反比例函数的性质，V 随 t 的增大而减小，因此水池中的水至少要 4.5h 才能排完学科网（北京）股份有限公司