2019年高中数学第二章2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定优化练习2.doc

12.3.12.3.1 直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定课时作业A 组 基础巩固1如果一条直线垂直于一个平面内的三角形的两边；梯形的两边；圆的两条直径；正六边形的两条边，则能保证该直线与平面垂直的是( )A B C D解析：能保证这条直线垂直于该平面内的两条相交直线，中的两直线有可能平行答案：A2.如图，BC是 RtABC的斜边，过A作ABC所在平面的垂线AP，连接PB、PC，过A作ADBC于D，连接PD，那么图中直角三角形的个数是( )A5 B6C7 D8解析：题图中直角三角形有ABC，ADC，ADB，PAD，PAC，PAB，PDC，PDB.答案：D3.如图，已知四棱锥的侧棱长与底面边长都是 2，且SO平面ABCD，O为底面的中心，则侧棱与底面所成的角为( )A75° B60°C45° D30°解析：SO平面ABCD，则SAC就是侧棱与底面所成的角，在 RtSAO中，SA2，AO，SAO45°.2答案：C4空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是( )A垂直且相交B相交但不一定垂直C垂直但不相交D不垂直也不相交解析：取BD中点O，连接AO，CO，则BDAO，BDCO，BD面AOC，BDAC，又BD、AC异面，选 C.答案：C5已知P是ABC所在平面外的一点，点P与AB、AC、BC的距离相等，且点P在ABC上的射影O在ABC内，则O一定是ABC的( )2A内心 B外心 C重心 D中心解析：如图所示，过点P作PDAB，PEAC，PFBC，分别交AB、AC、BC于点D、E、F.O是点P在平面ABC内的射影，连接OD、OE、OF.因为点P到AB、AC、BC的距离相等，且PO平面ABC，所以PDPEPF，POPOPO，又因为PODPOEPOF90°，所以ODOEOF，因为POAB，PDAB，且PDPOP.所以AB平面POD，所以ABOD.同理可证得OFBC，OEAC.又因为ODOEOF，所以点O到三角形三边的距离相等，故点O为ABC的内心，故选 A.答案：A6在三棱锥O­ABC中，三条棱OA，OB，OC两两互相垂直，且OAOBOC，M是AB的中点，则OM与平面ABC所成角的正切值大小是_解析：画出三棱锥(图略)，将OM与平面ABC所成的角放在直角三角形OMC中求解，易知tanOMC.OC OM1222答案：27已知a，b，c是三条直线，是平面若ca，cb，a，b，且_(填上一个条件即可)，则有c.解析：由直线与平面垂直的判定定理知，若c，需c垂直平面内的两条相交直线答案：abA8.如图所示，在正三棱锥A­BCD中，E，F分别为BD，AD的中点，EFCF，则直线BD与平面ACD所成的角为_解析：因为三棱锥A­BCD为正三棱锥，所以可证ABCD.又EFCF，所以ABCF，所以AB平面ACD，故可知直线BD与平面ACD所成的角为BDA45°.答案：45°9.如图，在ABC中，B90°，SA平面ABC，点A在SB和SC上的射影分别为N、M.求证：MNSC.证明：SA平面ABC，BC平面ABC，SABC.B90°，即ABBC，ABSAA，BC平面SAB.AN平面SAB，BCAN.又ANSB，SBBCB，AN平面SBC.3SC平面SBC.ANSC.又AMSC，AMANA，SC平面AMN.MN平面AMN，SCMN.10.如图所示，AB是圆柱的母线，BD是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上一点，且ABBC2，CBD45°.(1)求证：CD平面ABC；(2)求直线BD与平面ACD所成角的大小解析：(1)证明：BD是底面圆的直径，CDBC.又AB平面BCD，CD平面BCD，ABCD.ABBCC，CD平面ABC.(2)取AC的中点E，连接DE(图略)，由(1)知BECD，又E是AC的中点，ABBC2，ABC90°，BEAC，BE面ACD，直线BD与面ACD所成的角为BDE.而BE面ACD，则BEED，即BED为直角三角形又ABBC2，CBD45°，则BD2，BE，22sinBDE ，BDE30°.BE BD1 2B 组 能力提升1.如图所示，在正四棱锥S­ABCD(顶点S在底面ABCD上的射影是正方形ABCD的中心)中，E是BC的中点，P点在侧面SCD内及其边界上运动，并且总是保持PEAC.则动点P的轨迹与SCD组成的相关图形最有可能是图中的( )解析：如图所示，连接BD与AC相交于点O，连接SO，取SC的中点F，取CD的中点G，连接EF，EG，FG，因为E，F分别是BC，SC的中点，所以EFSB，EF平面SBD，SB平面SBD，所以EF平面SBD，同理可证EG平面SBD.又EFEGE，所以平面EFG平面SBD，4由题意得SO平面ABCD，ACSO，因为ACBD，又SOBDO，所以AC平面SBD，所以AC平面EFG，所以ACGF，所以点P在直线GF上答案：A2如图所示，下列五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出l平面MNP的图形的序号是_(写出所有符合要求的图形的序号) 解析：按照线面垂直的判定定理判断，关键是在平面MNP内找到两条与l垂直的相交直线答案：3.如图所示，ACB90°，平面ABC外有一点P，PC4 cm，PF，PE垂直于BC，AC于点F，E，且PFPE2 cm，那么PC与平面ABC所3成角的大小为_解析：过P作PO垂直于平面ABC于O，连接CO，则CO为ACB的平分线连接OF，可证明CFO为直角三角形，CO2，2RtPCO中，cosPCO，22PCO45°.答案：45°4.如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形已知AD2，PA2，PD2，求证：AD平面PAB.2证明：在PAD中，由题设PA2，AD2，PD2，可得2PA2AD2PD2，于是ADPA.在矩形ABCD中，ADAB，又PAABA，所以AD平面PAB.5.如图所示，已知 RtABC所在平面外一点S，且SASBSC，D为斜边AC上的中点(1)求证：SD平面ABC.(2)若ABBC，求证：BD平面SAC.证明：(1)因为SASC，D为AC的中点，所以SDAC.连接BD，在 RtABC中，有ADDCDB，5所以SDBSDA，所以SDBSDA，所以SDBD.又ACBDD，所以SD平面ABC.(2)因为ABBC，D是AC的中点，所以BDAC.又由(1)知 SDBD，所以 BD 垂直于平面 SAC 内的两条相交直线，所以 BD平面 SAC.