2019年高中数学第六章推理与证明6.3数学归纳法（2）分层训练湘教版选修2-2.doc

16.36.3 数学归纳法数学归纳法( (二二) )一、基础达标1用数学归纳法证明等式 123(n3)(nN N*)，验证n3n4 2n1 时，左边应取的项是( )A1 B12 C123 D1234答案 D解析 等式左边的数是从 1 加到n3.当n1 时，n34，故此时左边的数为从 1 加到 4.2用数学归纳法证明“2n>n21 对于nn0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取( )A2 B3 C5 D6答案 C解析 当n取 1、2、3、4 时 2n>n21 不成立，当n5 时，2532>52126，第一个能使 2n>n21 的n值为 5，故选 C.3用数学归纳法证明不等式 1 (nN N*)成立，其初始值至少应取1 21 41 2n1127 64( )A7 B8 C9 D10答案 B解析 左边1 2，代入验证可知n的最小值是 8.1 21 41 2n111 2n1121 2n14用数学归纳法证明不等式>(nN N*)的过程中，由nk递推到1 n11 n21 2n11 24nk1 时，下列说法正确的是( )A增加了一项1 2k12B增加了两项和1 2k11 2k1C增加了 B 中的两项，但又减少了一项1 k1D增加了 A 中的一项，但又减少了一项1 k1答案 C解析 当nk时，不等式左边为，当nk1 时，不等式左边为1 k11 k21 2k，故选 C.1 k21 k31 2k1 2k11 2k25用数学归纳法证明“n3(n1)3(n2)3(nN N*)能被 9 整除” ，要利用归纳假设证nk1 时的情况，只需展开_答案 (k3)3解析 假设当nk时，原式能被 9 整除，即k3(k1)3(k2)3能被 9 整除当nk1 时，(k1)3(k2)3(k3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k3)3展开，让其出现k3即可6已知数列an的前n项和为Sn，且a11，Snn2an(nN N*)依次计算出S1，S2，S3，S4后，可猜想Sn的表达式为_答案 Sn2n n1解析 S11，S2 ，S3 ，S4 ，猜想Sn.4 33 26 48 52n n17已知正数数列an(nN N*)中，前n项和为Sn，且 2Snan，用数学归纳法证明：1 anan.nn1证明 (1)当n1 时a1S1，1 2(a11 a1)a1(an>0)，a11，又1，2 110n1 时，结论成立(2)假设nk(kN N*)时，结论成立，即ak.kk1当nk1 时，ak1Sk1Sk1 2(ak11 ak1)1 2(ak1 ak)1 2(ak11 ak1)1 2(kk11kk1)1 2(ak11 ak1)k3a2ak110，2k1k解得ak1(an>0)，k1knk1 时，结论成立由(1)(2)可知，对nN N*都有an.nn1二、能力提升8k(k3，kN N*)棱柱有f(k)个对角面，则(k1)棱柱的对角面个数f(k1)为( )Af(k)k1 Bf(k)k1Cf(k)k Df(k)k2答案 A解析 三棱柱有 0 个对角面，四棱柱有 2 个对角面020(31)；五棱柱有 5 个对角面232(41)；六棱柱有 9 个对角面545(51)；.猜想：若k棱柱有f(k)个对角面，则(k1)棱柱有f(k)k1 个对角面9对于不等式n1(nN N*)，某学生的证明过程如下：当n1 时，n2n11，不等式成立121假设nk(nN N*)时，不等式成立，即k1，则nk1 时，k2k .假设nk时，不等式成立则当1 221 321 n121 21 n2nk1 时，应推证的目标不等式是_答案 >1 221 321 k21 k121 k221 21 k3解析 观察不等式中的分母变化知，> 1 221 321 k21 k121 k221 2.1 k3411求证：> (n2，nN N*)1 n11 n21 3n5 6证明 (1)当n2 时，左边 > ，不等式成立1 31 41 51 65 6(2)假设当nk(k2，kN N*)时命题成立，即> .1 k11 k21 3k5 6则当nk1 时，1 k111 k121 3k1 3k11 3k21 3k11 k11 k2 1 3k(1 3k11 3k21 3k31 k1)5 6 (1 3k11 3k21 3k31 k1)5 6 ，(3 ×1 3k31 k1)5 6 所以当nk1 时不等式也成立由(1)和(2)可知，原不等式对一切n2，nN N*均成立12已知数列an中，a1 ，其前n项和Sn满足anSn2(n2)，计算2 31 SnS1，S2，S3，S4，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法加以证明解 当n2 时，anSnSn1Sn2.1 SnSn(n2)1 Sn12则有：S1a1 ，2 3S2 ，1 S123 4S3 ，1 S224 5S4 ，1 S325 6由此猜想：Sn(nN N*)n1 n2用数学归纳法证明：(1)当n1 时，S1 a1，猜想成立2 3(2)假设nk(kN N*)猜想成立，即Sk成立，k1 k25那么nk1 时，Sk11 Sk21k1k22.k2 k3k11 k12即nk1 时猜想成立由(1)(2)可知，对任意正整数n，猜想结论均成立三、探究与创新13已知递增等差数列an满足：a11，且a1，a2，a4成等比数列(1)求数列an的通项公式an；(2)若不等式···对任意nN N*，试猜想出实数(11 2a1) (11 2a2)(11 2an)m2an1m的最小值，并证明解 (1)设数列an公差为d(d0)，由题意可知a1·a4a，即 1(13d)(1d)2，2 2解得d1 或d0(舍去)所以，an1(n1)·1n.(2)不等式等价于 · · ··，1 23 45 62n1 2nm2n1当n1 时，m；当n2 时，m；323 58而，所以猜想，m的最小值为.323 5832下面证不等式 · · ··对任意nN N*恒成立1 23 45 62n1 2n322n1下面用数学归纳法证明：证明 (1)当n1 时， ，成立1 23231 2(2)假设当nk时，不等式， · · ··成立，1 23 45 62k1 2k322k1当nk1 时， · · ····，1 23 45 62k1 2k2k1 2k2322k12k1 2k26只要证·，322k12k1 2k2322k3只要证，2k12k212k3只要证2k2，2k1 2k3只要证 4k28k34k28k4，只要证 34，显然成立所以，对任意所以，对任意n nNN* *，不等式，不等式 ·· ·· ····恒成立恒成立1 1 2 23 3 4 45 5 6 62 2n n1 1 2 2n n3 32 22 2n n1 1