(精品)正定二次型.ppt

正定二次型正定二次型一一 正定二次型的定义正定二次型的定义1 定义定义设为实二次型，若对任何都有则称二次型是正定的正定的（负定的负定的），并称其对应的矩阵为正定矩阵正定矩阵例例是正定的不是正定的（负定矩阵）（负定矩阵）。注注为实二次型，若对任何都有则称二次型是半正定的半正定的（半负定的半负定的），并称其对应的矩阵A为半正定矩阵半正定矩阵设2 二次型的正定性与可逆线性变换二次型的正定性与可逆线性变换设有实二次型定理定理经可逆线性变换得其中则是正定的当且仅当是正定的（半负定）矩阵（半负定）矩阵。注注:可逆线性变换不改变二次型的正正(负负)定性定性.证明：证明：必要性：记为即由 可逆矩阵可知道又故是正定的。对任意的记为即由可逆矩阵可知道又故是正定的。充分性：其中对任意的二二 正定的判断方法正定的判断方法1：惯性指数判别法：惯性指数判别法为正定的当且仅当fn 元实二次型定理定理的正惯性指数推论推论矩阵A是正定的当且仅当A的全部特征值均为正例例设n 阶矩阵A是正定矩阵，证明（m为正整数）也正定矩阵注注为负定的当且仅当n 元实二次型的负惯性指数为2 主子式判别法主子式判别法（1）定义）定义设n 阶方阵方阵A的前k行和前k列所成的子式称为矩阵A的k阶主子式主子式（2）为正定的当且仅当n 元实二次型定理定理对称矩阵A的各阶主子式都大于零。注注为负定的当且仅当n 元实二次型对称矩阵A的各阶满足证明：为负定的当且仅当二次型即二次型为正定的。显然二次型的k阶主子式为故由定理可得。例例1 二次型为t满足什么条件时，二次型是正定的；t满足什么条件时，二次型是负定的；解：解：二次型矩阵为则当即时二次型是正定的当即时二次型是负定的例例2 判断二次型是否是正定的。3 定义法定义法例例3设矩阵A,B矩阵正定矩阵，证明均是正定矩阵。证明：证明：对任意的故是正定矩阵。对任意的2n维记其中为n维向量由可得或故例例4 设满足证明是正定二次型矩阵。证明：证明：故A是对称矩阵。对任意的由可得记则故是正定二次型矩阵。例例5设是正定矩阵,证明反对称矩阵,是正定矩阵,证明：证明：对任意的是正定矩阵,反对称矩阵,得故对任意的是正定矩阵,有由