2019版高中数学 第一章 计数原理 1.5.2 二项式系数的性质及应用（二）学案 苏教版选修2-3.doc

- 1 -1.5.21.5.2 二项式系数的性质及应用二项式系数的性质及应用( (二二) )学习目标 1.进一步理解并掌握二项式系数的性质.2.能解决二项式系数的最大、最小问题.3.会解决整除问题知识点 二项式系数的性质一般地，(ab)n展开式的二项式系数 C ，C ，C 有如下性质：0n1nn n(1)C _.m n(2)C C_.m nm1n(3)当r时，C _；n1 2r n当r时，_C .n1 2r n(4)C C C C _.0n1n2nn n特别提醒：(1)当n为偶数时，二项式系数中，以2Cnn最大；当n为奇数时，二项式系数中以1 2Cnn 和1 2Cnn+ (两者相等)最大(2)二项展开式中，偶数项的二项式系数的和与奇数项的二项式系数的和相等，即 C C C0n2nC C 2n1.4n1n3n类型一 二项式系数或系数最大项问题例 1 (12x)n的展开式中第 6 项与第 7 项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项- 2 -反思与感悟 (1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式组的方法求得跟踪训练 1 在()8的展开式中：x2 x2(1)系数的绝对值最大的项是第几项？(2)求二项式系数最大的项；(3)求系数最大的项类型二 利用二项式定理解决整除问题例 2 求证：2n2·3n5n4(nN N*)能被 25 整除- 3 -反思与感悟 利用二项式定理证明或判断整除问题，一般要进行合理变形，常用的变形方法就是拆数，往往是将幂底数写成两数的和，并且其中一个数是除数的因数，这样能保证被除式展开后的大部分项含有除式的倍数，进而可判断或证明被除数能否被除数整除，若不能整除则可求出余数跟踪训练 2 求证：51511 能被 7 整除1若(x3)n(nN N*)的展开式中只有第 6 项系数最大，则该展开式中的常数项为1 x2_2今天是星期一，今天是第 1 天，那么第 810天是星期_- 4 -3设aZ Z，且 0a13，若 512 012a能被 13 整除，则a_.4已知n展开式中的第 5 项是常数，则展开式中系数最大的项是第_项(3x1x)5已知(ab)n的二项展开式中只有第 5 项的二项式系数最大，则n_.1二项式系数的性质求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；n为偶数时，中间一项的二项式系数最大2求展开式中系数最大的项的问题，可设第r1 项的系数Tr1最大，则满足不等式Error!由不等式组解出r的值3余数及整除问题(1)求余数问题求余数的关键是将原数进行合理、科学的拆分，然后借助二项展开式进行分析若最后一项是一个小于除数的正数，则该数就是所求的余数；若是负数，则还要进行简单的加、减运算产生(2)整除问题整除问题实际上就是判断余数是否为零，因此求解整除问题可以借助于求余数问题展开思路- 5 -答案精析答案精析知识梳理知识点(1)C (2)C (3)C C (4)2nnmnmm1r1nr1n题型探究例 1 解 T6C (2x)5，T7C (2x)6，依题意有 C 25C 26n8.5n6n5n6n(12x)8的展开式中，二项式系数最大的项为T5C (2x)41 120x4.4 8设第r1 项系数最大，则有Error!解得 5r6.r5 或r6.系数最大的项为T61 792x5，T71 792x6.跟踪训练 1 解 Tr1C ·()8r·()rr8x2 x2(1)r·C ·2r·542 rx(r0,1,2，8)r8(1)设第r1 项系数的绝对值最大，则Error!Error!解得 5r6.又0r8，rN N，r5 或r6.故系数的绝对值最大的项是第 6 项和第 7 项(2)二项式系数最大的项为中间项，即第 5 项，T5C ·24·x61 120x6.4 8(3)由(1)知，展开式中第 6 项和第 7 项的系数的绝对值最大，而第 6 项的系数为负，第 7 项的系数为正，系数最大的项为T7C ·26·x116 81 792x11.例 2 证明 原式4·6n5n44·(51)n5n44·(C ·5nC ·5n1C ·5n2C )5n40n1n2nn n4(C ·5nC ·5n1C·52C·51)4C 5n40n1nn2nn1nn n4(C ·5nC ·5n1C·52)20n45n40n1nn2n- 6 -4(C ·5nC ·5n1C·52)25n.0n1nn2n以上各项均为 25 的整数倍，故 2n2·3n5n4 能被 25 整除跟踪训练 2 证明 51511(492)511C·4951C·4950·2C·49·250C·2511.0 511 5150515151易知除 C·2511 以外各项都能被 7 整除5151又 C·25112511(23)1715151(71)171C·717C·716C·7C10 171 17161717177·(C·716C·715C)，0 171 171617显然能被 7 整除，所以 51511 能被 7 整除当堂训练1210 2.一 3.12 4.9 5.8