习题2—3 (2).ppt

3 3 函数的单调性函数的单调性时间间隔时间间隔记忆保持量记忆保持量刚刚记忆完毕刚刚记忆完毕100%100%2020分钟之后分钟之后58.2%58.2%1 1小时之后小时之后44.2%44.2%8-98-9小时之后小时之后35.8%35.8%1 1天后天后33.7%33.7%2 2天后天后27.8%27.8%6 6天后天后25.4%25.4%一个月后一个月后21.1%21.1%能用图能用图形表示形表示吗？吗？德国著名心理学家艾宾浩斯研究数据德国著名心理学家艾宾浩斯研究数据 保持量（百分数保持量（百分数）天数天数1 2 3 4 5 6020406080100想一想想一想:“艾宾浩斯记忆遗忘艾宾浩斯记忆遗忘曲线曲线”从左至右是如何变化的？从左至右是如何变化的？艾宾浩斯记忆遗忘曲线的图形展示艾宾浩斯记忆遗忘曲线的图形展示1.1.了解单调函数、单调区间的概念了解单调函数、单调区间的概念.2.2.能根据函数的图像指出单调性、写出单调区间能根据函数的图像指出单调性、写出单调区间.（重点）（重点）3.3.能运用函数单调性的定义证明简单函数的单调性能运用函数单调性的定义证明简单函数的单调性.（难点）（难点）4.4.了解函数最值的概念，会求某些函数的最大值及最了解函数最值的概念，会求某些函数的最大值及最小值小值.（重点、难点）（重点、难点）能用图像上动点能用图像上动点P P（x x，y y）的横、纵坐标关系来说明）的横、纵坐标关系来说明上升或下降趋势吗？上升或下降趋势吗？xyoxyoxyo局部上升或下降局部上升或下降下降下降上上升升探究点探究点1.1.函数在区间增加（或减少函数在区间增加（或减少)Oxy以以f(xf(x)=x)=x2 2为例说明图像的变化特点：为例说明图像的变化特点：OxyxOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyxyO（-，00上上 随随x x的的增大增大而而减小减小;00，+）上）上 随随x x的的增大增大而而增大增大.对区间对区间I I内任意内任意x x1 1，x x2 2，当当x x1 1xx2 2时，都有时，都有f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2)图像在图像在区间区间I I逐渐上升逐渐上升？OxIy区间区间I I内随着内随着x x的增大，的增大，y y也增大也增大x1x2f(x1)f(x2)MN对区间对区间I I内内 x x1 1，x x2 2 ，当当x x1 1xx2 2时，都有时，都有f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2)xx1x2？Iyf(x1)f(x2)OMN任意任意区间区间I I内随着内随着x x的增大，的增大，y y也增大也增大图像在图像在区间区间I I逐渐上升逐渐上升对区间对区间I I内内 x x1 1,x,x2 2 ，当当x x1 1xx2 2时，时，有有f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2)xx1x2都都yf(x1)f(x2)OMN任意任意区间区间I I内随着内随着x x的增大，的增大，y y也增大也增大图像在图像在区间区间I I逐渐上升逐渐上升I根据以上的探究，同学们互相交流一下，试着总结出函根据以上的探究，同学们互相交流一下，试着总结出函数在区间增加的定义数在区间增加的定义.那么就说那么就说f f(x x)在这个区间上是在这个区间上是减少的减少的，A A称为称为f f(x x)的的单调减区间单调减区间.Oxyx1x2f(x1)f(x2)如果对于属于定义域如果对于属于定义域I I内内某个区间某个区间A A上上的的任意任意两个自变量的值两个自变量的值x x1 1,x x2 2，如果对于属于定义域如果对于属于定义域I I内内某个区间某个区间A A上上的的任意任意两个自变量的值两个自变量的值x x1 1,x x2 2，那么就说那么就说f f(x x)在这个区间上是在这个区间上是增加的增加的，A A称为称为f f(x x)的的单调增区间单调增区间.当当x1x2时，都有时，都有f(x1)f(x2)，当当x1 f(x2)，单调区间单调区间Oyx1x2f(x1)f(x2)x函数在区间增加（或减少函数在区间增加（或减少)你能类比函数在区间增加的研究你能类比函数在区间增加的研究方法来定义函数在区间减少吗？方法来定义函数在区间减少吗？探究点探究点2.2.单调性、单调函数单调性、单调函数 如果函数如果函数y=f(x)y=f(x)在定义域的某个子集上是增加的在定义域的某个子集上是增加的或是减少的或是减少的,那么就称函数那么就称函数y=f(x)y=f(x)在这个子集上具有单在这个子集上具有单调性调性.如果函数如果函数y=f(x)y=f(x)在整个定义域内是增加的或是减在整个定义域内是增加的或是减少的少的,我们分别称这个函数为增函数或减函数我们分别称这个函数为增函数或减函数,统称为统称为单调函数单调函数.（2 2）函数单调性是针对某个）函数单调性是针对某个区间区间而言的，是一个局部性质而言的，是一个局部性质;（1 1）如果函数）如果函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间I I是单调增加的或单调减少的，那么是单调增加的或单调减少的，那么就说函数就说函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间I I上具有上具有单调性单调性.在单调区间上，增函数的图像是在单调区间上，增函数的图像是上升上升的，减函数的图的，减函数的图像像是是下降下降的的.判断判断1 1：函数函数f(x)=xf(x)=x2 2 在在(-(-，+)是单调增函数是单调增函数.xyo()提醒：提醒：（2 2）函数单调性是针对某个）函数单调性是针对某个区间区间而言的，是一个局部性质而言的，是一个局部性质;（1 1）如果函数）如果函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间I I是单调增加的或单调减少的，那么是单调增加的或单调减少的，那么就说函数就说函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间I I上具有单调性上具有单调性.在单调区间上，增函数的图像是在单调区间上，增函数的图像是上升上升的，减函数的图的，减函数的图像像是是下降下降的的.判断判断2 2：定义在定义在R R上的函数上的函数f(x)f(x)满足满足f(2)f(1)f(2)f(1)，则函数，则函数f(x)f(x)在在R R上上是增函数是增函数.（3 3）x x1 1,x,x2 2取值的取值的任意性任意性.yxO12f(1)f(2)()注意：注意：xoy=2x+1y=2x+1xoy=(x-1)y=(x-1)2 2-1-112-1yxy=x3o增区间为增区间为增区间为增区间为增区间为增区间为减区间为减区间为【即时训练即时训练】yy写出下列函数的单调区间：写出下列函数的单调区间：例例1 1 说出函数说出函数 的单调区间，并指明在该区间的单调区间，并指明在该区间上的单调性上的单调性.解解:（-，0 0）和（）和（0 0，+）都是函数的单调区间，）都是函数的单调区间，在这两个区间上函数在这两个区间上函数 是减少的是减少的.图像不是连续上升或连续下降图像不是连续上升或连续下降时，相同单调区间不能合并时，相同单调区间不能合并.例例2 2 画出函数画出函数f(x)=3x+2f(x)=3x+2的图像，判断它的单调性，的图像，判断它的单调性，并加以证明并加以证明.解：解：作出作出f(x)=3x+2f(x)=3x+2的图像的图像.由图看出，函数由图看出，函数f(x)f(x)的的图像在图像在R R上是上升的，函数上是上升的，函数f(x)f(x)是是R R上的增函数上的增函数.证明：证明：设设 是是R R上的任意两个实数上的任意两个实数,且且 则则:在在R R上是增函数上是增函数.取值取值作差变形作差变形判断差值符号判断差值符号下结论下结论取值：取值：即设即设x x1 1，x x2 2是该区间内的任意两个值是该区间内的任意两个值,且且x x1 1xx2 2;作差变形：作差变形：即作差即作差f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)()(或或f(xf(x2 2)-f(x)-f(x1 1),),并用因式分解、配方、有理化等方法将差式向有利并用因式分解、配方、有理化等方法将差式向有利于判断差的符号的方向变形于判断差的符号的方向变形;定号：定号：确定差确定差f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)()(或或f(xf(x2 2)-f(x)-f(x1 1)的符号的符号,当符号不确定时当符号不确定时,可进行分类讨论可进行分类讨论;判断：判断：根据定义得出结论根据定义得出结论.利用定义证明或判断函数在指定区间上的单调性的步骤利用定义证明或判断函数在指定区间上的单调性的步骤:【提升总结提升总结】此为证明的关键点、易错点此为证明的关键点、易错点 我我们们观观察察上上图图，可可知知对对于于定定义义域域中中的的任任意意x,x,都都有有f(x)f(1),f(x)f(1),我们就说我们就说f(1)f(1)是这个函数的最大值是这个函数的最大值.探究点探究点3 3最大值最大值 一般地，对于函数一般地，对于函数y=f(x)y=f(x)，其定义域为，其定义域为D D，如果，如果存在存在x x0 0D,f(xD,f(x0 0)=M,)=M,使得对于任意的使得对于任意的x x D,D,都有都有f(x)M,f(x)M,那么，我们称那么，我们称M M是函数是函数y=f(x)y=f(x)的的最大值，最大值，即即当当x=xx=x0 0 时，时，f(xf(x0 0)是函数是函数y=f(x)y=f(x)的最大值，记作的最大值，记作y ymaxmax=f=f(x(x0 0).).例例3 3 如图如图,某地要修一个圆形的喷水池，水流在各个方向某地要修一个圆形的喷水池，水流在各个方向上以相同的抛物线路径落下，以水池的中央为坐标原点，上以相同的抛物线路径落下，以水池的中央为坐标原点，水平方向为水平方向为x x轴、竖直方向为轴、竖直方向为y y轴建立平面直角坐标系，轴建立平面直角坐标系，那么水流喷出的高度那么水流喷出的高度h(h(单位：单位：m)m)与水平距离与水平距离x(x(单位：单位：m)m)之间的函数关系式为之间的函数关系式为h=-xh=-x2 2+2x+.+2x+.求水流喷出的求水流喷出的高度高度h h的最大值是多少？的最大值是多少？解：解：由函数由函数h=-xh=-x2 2+2x+2x+的图像可知，的图像可知，显然，函数图像的顶点就是水流喷出的最高点显然，函数图像的顶点就是水流喷出的最高点.此时此时函数取得最大值函数取得最大值.对于函数对于函数h=-xh=-x2 2+2x+2x+，当当x=1x=1时，函数有最大值时，函数有最大值h hmaxmax=-1=-12 2+2+21+1+（m).m).于是水流喷出的最高高度是于是水流喷出的最高高度是 m.m.例例4 4 已知函数已知函数 ，求函数的最大值，求函数的最大值和最小值和最小值.分析：分析：由函数由函数 的图像可知，函数的图像可知，函数f(x)f(x)在区间在区间0,20,2上递增上递增.所以，函数所以，函数f(x)f(x)在区间在区间0,20,2的两个端点上分别取得最小值和最大值的两个端点上分别取得最小值和最大值.解：解：设设x x1 1,x,x2 2是区间是区间0,20,2上的任意两个实数，上的任意两个实数，且且x x1 1xx2 2，则，则由由0 x0 x1 1x0,(x0,(x1 1+1)(x+1)(x2 2+1)0,+1)0,所以所以f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)0)0 ,即即f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2)，故故f(x)f(x)在区间在区间0,20,2上是增加的上是增加的.因此，函数因此，函数 在区间在区间00，22的左端点取得最小的左端点取得最小值，右端点取得最大值，值，右端点取得最大值，即最小值是即最小值是f(0)=-2f(0)=-2，最大值是，最大值是f(2)=.f(2)=.利用其单调利用其单调性求最值性求最值1.1.若函数若函数f(x)f(x)在区间在区间a,ba,b及及(b,c(b,c上都是上都是减少的减少的,则则f(x)f(x)在区间在区间a,ca,c上的单调性为上的单调性为()()A.A.减少的减少的 B.B.增加的增加的1.1.C.C.一定不单调一定不单调 D.D.不确定不确定D D2 2已知函数已知函数 在区间在区间上是减少的，则上是减少的，则a a的取值范围是的取值范围是 .解：解：由图像可知，只需使对称轴由图像可知，只需使对称轴1-a41-a4，即，即a-3.a-3.a-3a-34.证明函数 在区间 上是增函数.证明：任取 ，且 ，则 因为得所以函数 在区间-2,+)上是增函数 增加的增加的函函数数的的单单调调性性判断判断步骤步骤定义定义判断判断方法方法求最值求最值数学数学思想思想数形结合数形结合定义法定义法(证明证明)图像法图像法减少的减少的取值取值作差变形作差变形判断符号判断符号作结论作结论应用应用 人生最终的价值在于觉醒和思考的能力，而不只在于生存。亚里士多德