2019年高中数学 第四讲 数学归纳法证明不等式 4.1 数学归纳法高效演练 新人教A版选修4-5.doc

14.14.1 数学归纳法数学归纳法A 级 基础巩固一、选择题1用数学归纳法证明：123(2n1)(n1)·(2n1)时，在验证 n1 成立时，左边所得的代数式为( )A1 B13C123 D1234解析：当 n1 时左边所得的代数式为 123.答案：C2设 f(n)1 (nN*)，则 f(n1)f(n)等于( )1 21 31 3n1A. B.1 3n21 3n1 3n1C. D.1 3n11 3n21 3n1 3n11 3n2解析：因为 f(n)1 ，1 21 31 3n1所以 f(n1)1 ，1 21 31 3n11 3n1 3n11 3n2所以 f(n1)f(n).1 3n1 3n11 3n2答案：D3已知 a1 ，an1，猜想 an等于( )1 23an an3A. B.3 n23 n3C. D.3 n43 n5解析：a2 ，a3 ，3a1 a133 73a2 a233 8a4 ，3a3 a331 33 9猜想 an.3 n5答案：D24一个与自然数 n 有关的命题，当 n2 时命题成立，且由 nk 时命题成立推得当nk2 时命题也成立，则( )A该命题对于 n2 的自然数 n 都成立B该命题对于所有的正偶数都成立C该命题何时成立与 k 取什么值无关D以上答案都不对解析：由题意当 n2 时成立可推得 n4，6，8，都成立，因此该命题对所有正偶数都成立答案：B5记凸 k 边形的内角和为 f(k)，则凸(k1)边形的内角和 f(k1)等于 f(k)加上( )A2 BC. D. 23 2解析：从 nk 到 nk1 时，内角和增加 .答案：B二、填空题6当 f(k)1 ，则 f(k1)f(k)_1 21 31 41 2k11 2k解析：f(k1)1 ，1 21 31 41 2k11 2k1 2k11 2（k1）所以 f(k1)f(k).1 2k11 2（k1）答案：1 2k11 2k27观察下列等式：132332，13233362，13233343102，根据上述规律，猜想 132333435363_解析：已知等式可写为：132332(12)2，13233362(123)2，13233343102(1234)2，根据上述规律，猜想132333435363(126)2212.答案：2128已知平面上有 n(nN*，n3)个点，其中任何三点都不共线，过这些点中任意两点作直线，设这样的直线共有 f(n)条，则 f(3)_，f(4)_，f(5)_，f(n1)f(n)_解析：当 nk 时，有 f(k)条直线当 nk1 时，增加的第 k1 个点与原 k 个点共连成 k 条直线，即增加 k 条直线，所以 f(k1)f(k)k.又 f(2)1，3所以 f(3)3，f(4)6，f(5)10，f(n1)f(n)n.答案：3 6 10 n三、解答题9求证：1(nN*)1 121 1231 123n2n n1证明：(1)当 n1 时，左边1，右边1，所以左边右边，等式成立2 × 1 11(2)假设当 nk(k1，kN*)时等式成立，即 1.1 121 1231 123k2k k1则当 nk1 时，11 121 1231 123k1 123k（k1）2k k11 123k（k1）.2k k12 （k1）（k2）2（k1）2 （k1）（k2）2（k1） （k1）1所以当 nk1 时，等式也成立由(1)(2)可知，对任何 nN*等式都成立10用数学归纳法证明 n35n 能被 6 整除证明：(1)当 n1 时，左边135×16，能被 6 整除，结论正确(2)假设当 nk 时，结论正确，即 k35k 能被 6 整除则(k1)35(k1)k33k23k15k5k35k3(k2k2)k35k3(k1)(k2)，因为 k35k 能被 6 整除，(k1)(k2)必为偶数，3(k1)(k2)能被 6 整除，因此，k35k3(k1)(k2)能被 6 整除即当 nk1 时结论正确根据(1)(2)可知，n35n 对于任何 nN都能被 6 整除B 级 能力提升1用数学归纳法证明等式(n1)(n2)(nn)2n×1×3××(2n1)(nN)时，从“nk 到 nk1”左端需乘以的代数式为( )A2k1 B2(2k1)C. D.2k1 k12k3 k1解析：当 nk 时，等式为(k1)(k2)(kk)2k×1×3××(2k1)当 nk1 时，左边(k1)1(k1)2(k1)k·(k1)(k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)4比较 nk 和 nk1 时等式的左边，可知左端需乘以2(2k1)（2k1）（2k2） k1答案：B2用数学归纳法证明 34n152n1(nN)能被 14 整除，当 nk1 时，对于 34(k1)152(k1)1应变形为_解析：34(k1)152(k1)134k552k381·34k125×52k181×34k181×52k156×52k181×(34k152k1)56×52k1答案：81·(34k152k1)56·52k13平面内有 n(n2，nN*)条直线，其中任意两条不平行，任意三条不过同一点，那么这 n 条直线的交点个数 f(n)是多少？并证明你的结论解：当 n2 时，f(2)1；当 n3 时，f(3)3；当 n4 时，f(4)6.因此猜想 f(n)(n2，nN*)n（n1） 2下面利用数学归纳法证明：(1)当 n2 时，两条相交直线有一个交点，又 f(2) ×2×(21)1.1 2所以 n2 时，命题成立(2)假设当 nk(k2 且 kN*)时命题成立，就是该平面内满足题设的任何 k 条直线的交点个数为 f(k) k(k1)，1 2当 nk1 时，其中一条直线记为 l，剩下的 k 条直线为 l1，l2，lk.由归纳假设知，剩下的 k 条直线之间的交点个数为 f(k).k（k1） 2由于 l 与这 k 条直线均相交且任意三条不过同一点，所以直线 l 与 l1，l2，l3，lk的交点共有 k 个，所以 f(k1)f(k)kkk（k1） 2k2k 2k（k1） 2，（k1）（k1）1 2 所以当 nk1 时，命题成立由(1)(2)可知，命题对一切 nN*且 n2 时成立