2019版高中数学 第1章 解三角形 1.2 第2课时 角度问题学案 新人教B版必修5.doc

1第第 2 2 课时课时 角度问题角度问题1.能灵活运用正弦定理及余弦定理解角度问题.(重点)2.会将实际问题转化为解三角形问题.(难点)3.能根据题意画出几何图形.(易错点)基础·初探教材整理 方位角与方向角阅读教材 P14问题 4，完成下列问题.1.方位角从指北方向顺时针转到目标方向线所成的水平角.如点B的方位角为(如图 1­2­17所示).图 1­2­17方位角的取值范围：0°360°.2.方向角从指定方向线到目标方向线所成的小于 90°的水平角，如南偏西 60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转 60°.1.下列说法中正确的个数为( )(1)若P在Q的北偏东 44°，则Q在P的东偏北 44°方向；(2)如图 1­2­18 所示，该角可以说成北偏东 110°；图 1­2­182(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系，其范围均是；0， 2)(4)若点A在点C的北偏东 30°方向，点B在点C的南偏东 60°方向，且ACBC，则点A在点B北偏西 15°方向.A.1 B.2 C.3 D.4【解析】 (1)错误.因若P在Q的北偏东 44°，则Q应在P的南偏西 44°.(2)错误.因本图所标角应为方位角，可以说成点A的方位角为 110°.(3)错误.因为方向角的范围为 0°90°，而方位角的范围为 0°360°.(4)正确.【答案】 A2.某次测量中，A在B的南偏东 34°27，B在A的( )A.北偏西 34°27 B.北偏东 55°33C.北偏西 55°33D.南偏西 55°33【解析】 如图所示.【答案】 A3.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东 20°，灯塔B在观察站C的南偏东 40°，则灯塔A与灯塔B的距离为( )A.a kmB.a km3C.a kmD.2a km2【解析】 如图，可知ACB120°，ACBCa.在ABC中，过点C作CDAB，则AB2AD2asin 60°a.3【答案】 B4.某人从A处出发，沿北偏东 60°行走 3 km 到B处，再沿正东方向行走 2 km 到C3处，则A，C两地的距离为_km.【解析】 如图所示，由题意可知AB3，BC2，ABC150°.3由余弦定理得AC22742×3×2×cos 150°349，AC7.所以A，C两地的距离为 7 km.3【答案】 7小组合作型角度问题(1)如图 1­2­19，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西 40°，灯塔B在观察站南偏东 60°，则灯塔A在灯塔B的( )图 1­2­19A.北偏东 10°B.北偏西 10°C.南偏东 80°D.南偏西 80°(2)有一拦水坝的横断面是等腰梯形，它的上底长为 6 m，下底长为 10 m，高为2m，那么此拦水坝斜坡的坡比和坡角分别是( )3A.，60°B.，60°333C.，30°D.，30°333【精彩点拨】 (1)两座灯塔A、B与观察站C的距离相等，说明A与B有何大小关系？灯塔B在观察站南偏东 60°，说明CBD是多少度？(2)本小题关键是理解坡比与坡角的意义.【自主解答】 (1)由条件及图可知，AB40°，又BCD60°，所以CBD30°，所以DBA10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西 80°.(2)如图所示，横断面是等腰梯形ABCD，AB10 m，CD6 m，高DE2 m，则AE32 m，ABCD 2tan DAE，DE AE2 3234DAE60°.【答案】 (1)D (2)B测量角度问题画示意图的基本步骤：再练一题1.在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东 30°，风速是 20 km/h；水的流向是正东，流速是 20 km/h，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东_，大小为_km/h. 【导学号：18082009】【解析】 AOB60°，由余弦定理知OC2202202800cos 120°1 200，故OC20，COY30°30°60°.3【答案】 60° 203求航向的角度某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为 45°，距离为 10 n mile 的C处，并测得渔轮正沿方位角为 105°的方向，以 9 n mile/h 的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以 21 n mile/h 的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间.【精彩点拨】 本题中所涉及的路程在不断变化，但舰艇和渔轮相遇时所用时间相等，先设出所用时间t，找出等量关系，然后解三角形.【自主解答】 如图所示，根据题意可知AC10，ACB120°，设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h，并在B处与渔轮相遇，则AB21t，BC9t，在ABC中，根据余弦定理5得AB2AC2BC22AC·BC·cos 120°，所以 212t210281t22×10×9t× ，即1 2360t290t1000，解得t 或t(舍去).所以舰艇靠近渔轮所需的时间为 h.2 35 122 3此时AB14，BC6.在ABC中，根据正弦定理得，BC sinCABAB sin 120°所以 sinCAB，6 ×32 143 314即CAB21.8°或CAB158.2°(舍去).即舰艇航行的方位角为 45°21.8°66.8°.所以舰艇以 66.8°的方位角航行，需 h 才能靠近渔轮.2 31.测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.2.在解三角形问题中，求某些角的度数时，最好用余弦定理求角.因为余弦函数在(0，)上是单调递减的，而正弦函数在(0，)上不是一一对应，一个正弦值可以对应两个角.但角在上时，用正、余弦定理皆可.(0， 2再练一题2.某海上养殖基地A，接到气象部门预报，位于基地南偏东 60°相距 20(1) n 3mile 的海面上有一台风中心，影响半径为 20 n mile，正以每小时 10 n mile 的速度沿2某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且1 h 后开始影响基地3持续 2 h.求台风移动的方向.【解】 如图所示，设预报时台风中心为B，开始影响基地时台风中心为C，基地刚好不受影响时台风中心为D，则B、C、D在一直线上，且AD20，AC20.由题意AB20(1)，DC20，32BC(1)·10.326在ADC中，DC2AD2AC2，DAC90°，ADC45°.在ABC中，由余弦定理得cosBAC.AC2AB2BC2 2AC·AB32BAC30°，又B位于A南偏东 60°，60°30°90°180°，D位于A的正北方向，又ADC45°，台风移动的方向为向量的方向.即北偏西 45°方向.CD答：台风向北偏西 45°方向移动.探究共研型求解速度问题探究 1 某物流投递员沿一条大路前进，从A到B，方位角是 50°，距离是 4 km，从B到C，方位角是 80°，距离是 8 km，从C到D，方位角是 150°，距离是 6 km，试画出示意图.【提示】 如图所示：探究 2 在探究 1 中，若投递员想在半小时之内，沿小路直接从A点到C，则此人的速度至少是多少？【提示】 如探究 1 图，在ABC中，ABC50°(180°80°)150°，由余弦定理得AC4，则此人的最小速度为AB2BC22AB·BC·cos 150°7v8(km/h).4 71 27探究 3 在探究 1 中若投递员以 24 km/h 的速度匀速沿大路从A到D前进，10 分钟后某人以 16 km/h 的速度沿小路直接由A到C追投递员，问在C点此人能否与投递员相遇？7【提示】 投递员到达C点的时间为t1 (小时)30(分钟)，追投递员的人48 241 2所用时间由探究 2 可知t2 (小时)15 分钟；由于 30>1510，所以此人在C点能与投递员相遇.4 716 71 4如图 1­2­20 所示，一辆汽车从O点出发沿一条直线公路以 50 公里/小时的速度匀速行驶(图中的箭头方向为汽车行驶方向)，汽车开动的同时，在距汽车出发点O点的7距离为 5 公里、距离公路线的垂直距离为 3 公里的M点的地方有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机.问骑摩托车的人至少以多大的速度匀速行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了多少公里？图 1­2­20【精彩点拨】 根据已知图形构造三角形.利用余弦定理建立速度与时间的函数求解.【自主解答】 作MI垂直公路所在直线于点I，则MI3，OM5，OI4，cosMOI .4 5设骑摩托车的人的速度为v公里/小时，追上汽车的时间为t小时，由余弦定理得(vt)252(50t)22×5×50t× ，4 5即v22 500252900900，25 t2400 t(1 t8)当t 时，v取得最小值为 30，1 8其行驶距离为vt公里.30 815 4故骑摩托车的人至少以 30 公里/小时的速度行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了公里.15 4解决实际问题应注意的问题：1首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，分析已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键最主要的一步.2将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，要正确使用正、余弦定理解决问题再练一题3.如图 1­2­21，在海岸A处，发现北偏东 45°方向，距A处(1)n mile 的B处有3一艘走私船，在A处北偏西 75°的方向，距离A处 2 n mile 的C处的缉私船奉命以 10 3n mile/h 的速度追截走私船.此时，走私船正以 10 n mile/h 的速度从B处向北偏东 30°方向逃窜，问缉私船沿着什么方向能最快追上走私船？ 【导学号：18082010】8图 1­2­21【解】 设缉私船用t h 在D处追上走私船，则有CD10t，BD10t，3在ABC中，AB1，AC2，BAC120°，3由余弦定理，得BC2AB2AC22AB·AC·cosBAC(1)2222·(1)·2·cos 120°336，BC，6且 sinABC·sinBAC· .AC BC263222ABC45°.BC与正北方向垂直.CBD90°30°120°，在BCD中，由正弦定理，得sinBCD ，BD·sinCBD CD10tsin 120°10 3t1 2BCD30°.即缉私船沿东偏北 60°方向能最快追上走私船.91.已知两座灯塔A，B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东 40°，灯塔B在观察站C的南偏东 60°，则灯塔A在灯塔B的( )A.北偏东 10°B.北偏西 10°C.南偏东 10°D.南偏西 10°【解析】 如图，因ABC为等腰三角形，所以CBA (180°80°)50°，1 260°50°10°，故答案为 B.【答案】 B2.一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为 45°，沿点A向北偏东 30°前进 100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为 30°，则水柱的高度是( )A.50 mB.100 mC.120 mD.150 m【解析】 设水柱高度是h m，水柱底端为C(图略)，则在ABC中，A60°，ACh，AB100，BCh，根据余弦定理得，(h)2h210022·h·100·cos 60°，33即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，即h50，故水柱的高度是 50 m.【答案】 A3.已知两灯塔A和B与海洋观测站C的距离都等于a km，灯塔A在观测站C的北偏东20°，灯塔B在观测站C的南偏东 40°，则灯塔A与灯塔B的距离为_km. 【导学号：18082011】【解析】 ACB120°，ACBCa，由余弦定理，得AB2a2a22a×a×cos 120°3a2，ABa.3【答案】 a3104.一轮船从A点沿北偏东 70°的方向行驶 10 海里至海岛B，又从B沿北偏东 10°的方向行驶 10 海里至海岛C，若此轮船从A点直接沿直线行驶至海岛C，则此船沿_方向行驶_海里至海岛C.【解析】 在ABC中，ABC110°10°120°.又ABBC，故CABACB30°，AC10.1021022 × 10 × 10cos 120°3故此船沿着北偏东 70°30°40°方向行驶了 10海里到达海岛C.3【答案】 北偏东 40° 1035.如图 1­2­22，某海轮以 60 海里/时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60°，向北航行 40 分钟后到达B点，测得油井P在南偏东 30°，海轮改为北偏东 60°的航向再行驶 80 分钟到达C点，求P，C间的距离.图 1­2­22【解】 因为AB40，A120°，ABP30°，所以APB30°，所以AP40，所以BP2AB2AP22AP·AB·cos 120°4024022×40×40×402×3，(1 2)所以BP40.3又PBC90°，BC80，所以PC2BP2BC2(40)280211 200，3所以所以PCPC4040海里海里. .7 7