2019年高中数学第六章推理与证明6.1合情推理和演绎推理6.1.1归纳分层训练湘教版选修2-2.doc
16 61.11.1 归归 纳纳一、基础达标1某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，按这种规律往下排，那么第 36 个圆的颜色应是( )A白色 B黑色C白色可能性大 D黑色可能性大答案 A2由集合a1，a1，a2，a1，a2，a3，的子集个数归纳出集合a1，a2，a3，an的子集个数为( )An Bn1C2n D2n1答案 C解析 集合a1的子集有，a1共 2 个；a1，a2的子集有，a1，a2，a1，a2共 4 个；集合a1，a2，a3的子集共 8 个，猜测含n个元素的集合的子集有 2n个，故选C.3根据给出的数塔猜测 123 456×97 等于( )1×921112×93111123×9411111 234×951111112 345×96111111A1111110 B1111111C1111112 D1111113答案 B解析 由数塔运算积的知识易得 B.4设n是自然数，则 (n21)1(1)n的值1 8( )A一定是零 B不一定是整数2C一定是偶数 D是整数但不一定是偶数答案 C解析 当n1 时，值为 0，当n2 时，值为 0，当n3 时，值为 2，当n4 时，值为 0，当n5 时，值为 6.5已知2，3，4，若6(a，b均为实数)，2232 33383 844 154 156aba b推测a_，b_.答案 6 356设函数f(x)(x>0)，观察f1(x)f(x)，x x2x x2f2(x)ff1(x)，x 3x4f3(x)ff2(x)，x 7x8f4(x)ff3(x)，x 15x16根据以上事实，由归纳推理可得：当nN N且n2 时，fn(x)ffn1(x)_.答案 x 2n1x2n解析 先求分母中x项系数组成数列的通项公式，由 1,3,7,15，可推知该数列的通项公式为an2n1，又函数结果分母中常数项依次为 2,4,8,16，故其通项公式为bn2n.fn(x).x 2n1x2n7设Sn，写出S1，S2，S3，S4的值，归纳并1 1 × 21 2 × 31 3 × 41 nn1猜想出结果，并给出证明解 n1,2,3,4 时，S1 ，S2 ，S3 ，S4 .1 22 33 44 5猜想：Sn.n n1证明如下： ，1 nn11 n1 n1Sn(1 )( )( )( )1 21 21 31 31 41 n1 n131.1 n1n n1二、能力提升8观察下列各式：553 125,5615 625,5778 125，则 52 011的末四位数字为( )A3 125 B5 625C0 625 D8 125答案 D解析 553 125,5615 625,5778 125,58的末四位数字为 0 625,59的末四位数字为3 125,510的末四位数字为 5 625,511的末四位数字为 8 125,512的末四位数字为 0 625，由上可得末四位数字周期为 4，呈现规律性交替出现，所以 52 01154×5017末四位数字为 8 125.9(2013·湖北(理)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数如三角形数1,3,6,10，第n个三角形数为n2n.记第n个k边形数为N(n，k)nn1 21 21 2(k3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数 N(n,3)n2n1 21 2正方形数 N(n,4)n2五边形数 N(n,5)n2n3 21 2六边形数 N(n,6)2n2n.可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)_.答案 1 000解析 由N(n,4)n2，N(n,6)2n2n，可以推测：当k为偶数时，N(n，k)( 1)n2( 2)n，于是N(n,24)k 2k 211n210n，故N(10,24)11×10210×101 000.10(2013·陕西(理)观察下列等式： 12112223122232612223242104照此规律，第n个等式可为_答案 122232(1)n1n2n(n1)1n1 2解析 分n为奇数、偶数两种情况当n为偶数时，分组求和：(1222)(3242)(n1)2n2.nn1 2当n为奇数时，第n个等式n2.nn1 2nn1 2综上，第n个等式：122232(1)n1n2n(n1)1n1 211根据下列条件，写出数列中的前 4 项，并归纳猜想它的通项公式(1)a1a，an1；1 2an(2)对一切的nN N*，an>0，且 2an1.Sn解 (1)由已知可得a1a，a2，a3，a4.1 2a11 2a1 2a22a 32a1 2a332a 43a猜想an(nN N*)n1n2a nn1a(2)2an1，Sn2a11，即 2a11，S1a1a11.又 2a21，S22a21，a2a230.a1a22 2对一切的nN N*，an>0，a23.同理可求得a35，a47，猜想出an2n1(nN N*)12观察以下等式：sin230°cos260°sin 30°·cos 60° ，3 4sin240°cos270°sin 40°·cos 70° ，3 4sin215°cos245°sin 15°·cos 45° .3 4写出反映一般规律的等式，并给予证明解 反映一般规律的等式是(表述形式不唯一)：sin2cos2(30°)sin ·cos(30°) .3 45证明如下：sin2cos2(30°)sin ·cos(30°)sin2(cos ·cos 30°sin ·sin 30°)2sin ·(cos cos 30°sin ·sin 30°)sin2(cos sin )2sin ·cos sin2321 2321 2sin2 cos2 sin2sin ·cos sin ·cos sin23 41 432321 2 (sin2cos2) .3 43 4三、探究与创新13在数列an中，a11，an1，nN N，求a2，a3，a4，并猜想数列的通项公式，2an 2an并给出证明解 an中a11，a2 ，2a1 2a12 3a3 ，2a2 2a21 22 4a4 ，2a3 2a32 5所以猜想an的通项公式an(nN N)2 n1证明如下：因为a11，an1，2an 2an所以 ，1 an12an 2an1 an1 2即 ，所以数列是以1 为首项，1 an11 an1 21 an1 a1公差为 的等差数列，1 2所以1(n1) ，1 an1 2n 21 2即通项公式 an(nN)2n1
