2019年高中数学第六章推理与证明6.3数学归纳法（1）当堂检测湘教版选修2-2.doc

16.36.3 数学归纳法数学归纳法( (一一) )1若命题A(n)(nN N*)在nk(kN N*)时命题成立，则有nk1 时命题成立现知命题对nn0(n0N N*)时命题成立，则有( )A命题对所有正整数都成立B命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立C命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立D以上说法都不正确答案 C解析 由已知得nn0(n0N N*)时命题成立，则有nn01 时命题成立；在nn01 时命题成立的前提下，又可推得n(n01)1 时命题也成立，依此类推，可知选 C.2用数学归纳法证明“1aa2a2n1(a1)” 在验证n1 时，左端1a2n2 1a计算所得项为( )A1a B1aa2C1aa2a3 D1aa2a3a4答案 C解析 将n1 代入a2n1得a3，故选 C.3用数学归纳法证明 12222n12n1(nN N*)的过程如下：(1)当n1 时，左边1，右边2111，等式成立(2)假设当nk(kN N*)时等式成立，即 12222k12k1，则当nk1 时，12222k12k2k11.所以当nk1 时等式也成立由此可12k1 12知对于任何nN N*，等式都成立上述证明的错误是_答案 未用归纳假设解析 本题在由nk成立，证nk1 成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上假设条件，这与数学归纳法的要求不符4当nN N*时，Sn1 ，Tn，1 21 31 41 2n11 2n1 n11 n21 n31 2n(1)求S1，S2，T1，T2；(2)猜想Sn与Tn的关系，并用数学归纳法证明2解 (1)当nN N*时，Sn1 ，Tn.1 21 31 41 2n11 2n1 n11 n21 n31 2nS11 ，S21 ，1 21 21 21 31 47 12T1 ，T2.1 111 21 211 227 12(2)猜想SnTn(nN N*)，即1 (nN N*)1 21 31 41 2n11 2n1 n11 n21 n31 2n下面用数学归纳法证明：当n1 时，已证S1T1，假设nk时，SkTk(k1，kN N*)，即 1 ，1 21 31 41 2k11 2k1 k11 k21 k31 2k则Sk1SkTk1 2k11 2k11 2k11 2k11 k11 k21 k31 2k1 2k11 2k11 k21 k31 2k1 2k1(1 k11 2k1)1 k111 k121 2k11 2k1Tk1.由，可知，对任意nN N*，SnTn都成立在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为 1；(2)递推是关键：正确分析由nk到nk1 时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环 节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明.