2019年高中数学第四讲数学归纳法证明不等式二用数学归纳法证明不等式举例优化练习新人教.doc

1二二 用数学归纳法证明不等式举例用数学归纳法证明不等式举例课时作业A 组 基础巩固1用数学归纳法证明 1 1)时，第一步即证下述哪个不1 21 31 2n1等式成立( )A11，第一步n2，左边1 ，右边2，1 21 3即 1 成立时，起始值n0至少应取( )1 21 41 2n1127 64A7 B8C9 D10解析：1 ，1 21 41 81 161 64127 64n16，n7，故n08.答案：B3用数学归纳法证明 “Sn>1(nN)”时，S1等于( )1 n11 n21 n31 3n1A. B1 21 4C. D 1 21 31 21 31 4解析：因为S1的首项为 ，末项为 ，所以S1，故1 111 21 3 × 111 41 111 121 13选 D.答案：D4设f(x)是定义在正整数集上的函数，有f(k)满足：当“f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立” 那么下列命题总成立的是( )A若f(3)9 成立，则当k1 时，均有f(k)k2成立2B若f(5)25 成立，则当k42，因此对于任意的k4，均有f(k)k2成立答案：D5某个命题与正整数n有关，如果当nk(kN)时命题成立，那么可推得当nk1 时，命题也成立现已知当n5 时该命题不成立，那么可推得( )A当n6 时该命题不成立B当n6 时该命题成立C当n4 时该命题不成立D当n4 时该命题成立解析：与“如果当nk(kN)时命题成立，那么可推得当nk1 时命题也成立”等价的命题为“如果当nk1 时命题不成立，则当nk(kN)时，命题也不成立” 故知当n5 时，该命题不成立，可推得当n4 时该命题不成立，故选 C.答案：C6观察下列式子：1 ，1 >1,1 > ，1 >2,1 21 21 31 21 31 73 21 21 31 151 > ，由此猜测第n(nN)个不等式为( )1 21 31 315 2A1 >1 21 31 2nn1 2B1 >1 21 31 2n1n 2C1 >1 21 31 2n1n 2D1 >1 21 31 2n1n 2解析：1,3,7,15,31，的通项公式为an2n1，不等式左边应是 1 .1 21 31 2n1 ，1，2，的通项公式为bn ，1 23 25 2n 2不等式右边应是 .n 2答案：C2用数学归纳法证明不等式“>(n>2，nN)”时的过程中，由1 n11 n21 2n13 24nk到nk1 时，不等式的左边( )A增加了一项1 2k1B增加了两项，1 2k11 2k1C增加了两项，又减少了一项1 2k11 2k11 k15D增加了一项，又减少了一项1 2k11 k1解析：当nk时，左边.1 k11 k21 2k当nk1 时，左边.1 k111 k121 2k11 k21 k31 2k1 2k11 2k2故由nk到nk1 时，不等式的左边增加了两项，又减少了一项答案：C3用数学归纳法证明某不等式，其中证nk1 时不等式成立的关键一步是：>( )>，k1k2 3k2k3k1k2 3k2k3 3括号中应填的式子是_解析：由>k2，联系不等式的形式可知，应填k2.k2k3答案：k24设a，b均为正实数，nN，已知M(ab)n，Nannan1b，则M，N的大小关系为_(提示：利用贝努利不等式，令x )b a解析：令x ，M(ab)n，Nannan1b，b a(1x)n，1nx.M anN ana>0，b>0，x>0.由贝努利不等式得(1x)n>1nx.>，M>NM anN an答案：M>N5对于一切正整数n，先猜出使tn>n2成立的最小的正整数t，然后用数学归纳法证明，并再证明不等式：n(n1)·>lg(1·2·3··n)lg 3 4证明：猜想当t3 时，对一切正整数n使 3n>n2成立下面用数学归纳法进行证明当n1 时，313>112，命题成立假设nk(k1，kN)时，3k>k2成立，则有 3kk21.对nk1,3k13·3k3k2·3k>k22(k21)>3k21.(3k21)(k1)262k22k2k(k1)0，3k1>(k1)2，对nk1，命题成立由上知，当t3 时，对一切nN，命题都成立再用数学归纳法证明：n(n1)·>lg(1·2·3··n)lg 3 4当n1 时，1×(11)×>0lg 1，命题成立lg 3 4lg 3 2假设nk(k1，kN)时，k·(k1)·>lg(1·2·3··k)成立lg 3 4当nk1 时，(k1)·(k2)·lg 3 4k(k1)·2(k1)·lg 3 4lg 3 4>lg(1·2·3··k) lg 3k11 2>lg(1·2·3··k) lg(k1)21 2lg1·2·3··k·(k1)，命题成立由上可知，对一切正整数n，命题成立6已知等比数列an的首项a12，公比q3，Sn是它的前n项和求证：.Sn1 Sn3n1 n证明：由已知，得Sn3n1，等价于，即 3n2n1.(*)Sn1 Sn3n1 n3n11 3n13n1 n法一：用数学归纳法证明上面不等式成立当n1 时，左边3，右边3，所以(*)成立假设当nk时，(*)成立，即 3k2k1，那么当nk1 时，3k13×3k3(2k1)6k32k32(k1)1，所以当nk1 时，(*)成立综合，得 3n2n1 成立所以.Sn1 Sn3n1 n法二：当n1 时，左边3，右边3，所以(*)成立7当n2 时，3n(12)nC C ×2C ×22C ×2n12n>12n，所以(*)0n1n2nn n成立所以.Sn1Sn3n1n