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高中数学课程标准西南1本讲稿第一页，共二十一页第第2 2章章 数环与数域数环与数域n2.12.1 整数剩余类环整数剩余类环n2.22.2 整环的分式域整环的分式域n2.32.3 素域与扩域素域与扩域n2.42.4 素数的欧拉分解素数的欧拉分解n2.52.5 HamiltonHamilton四元数环四元数环n2.62.6 LagrangeLagrange平方和定理平方和定理2本讲稿第二页，共二十一页2.12.1 整数剩余类环整数剩余类环n定义定义1 1 整数剩余类运算整数剩余类运算n定理定理2 Z2 Zm m成为一个环成为一个环n例例1 1 环环Z Z2 2.3本讲稿第三页，共二十一页环同构环同构n定义定义3 3 环同态环同态 f:R f:RS S定义定义4 4 环同构环同构 f:R f:R S S例例2 2 环同态环同态 f:Z f:ZZnZn4本讲稿第四页，共二十一页剩余类环剩余类环Z Zp pn定理定理6 a6 a、b bZ Z，则，则a a、b b互素当且仅当存互素当且仅当存在在s s、t tZ Z使使sa+tb=1.sa+tb=1.n定理定理7 7 若是若是p p素数则剩余类环素数则剩余类环Z Zp p是域是域.5本讲稿第五页，共二十一页理想与剩余类环理想与剩余类环n定义定义8 8 理想理想;剩余类环剩余类环n定理定理9(9(同态基本定理同态基本定理)设有环同态设有环同态:R:RR R,则则A=rA=rR|R|=0 0=Ker=Ker(同态核同态核)是是R R的的理想理想;反之若反之若R R有理想有理想A,A,则存在则存在环同态环同态:R:RR/A=R/A=R R.6本讲稿第六页，共二十一页2.22.2 整环的分式域整环的分式域n例例 从整数环从整数环Z Z到有理数域到有理数域Q.Q.n定义定义1 1 整环整环n例例 整数环整数环Z;ZnZ;Zn是是整环当且仅当整环当且仅当n=pn=p是素数是素数.n定义定义2 2 环嵌入环嵌入7本讲稿第七页，共二十一页整环的分式域整环的分式域n定理定理3 3 每个整环都可以每个整环都可以嵌入嵌入一个域一个域(分式分式域域).).n证明证明 分分3 3步步n 第第1 1步步 定义定义2 2元集元集A,A,得商集得商集F.F.n 第第2 2步步 验证验证F F是一个域是一个域.n 第第3 3步步 整环整环R R嵌入嵌入域域F.F.8本讲稿第八页，共二十一页整环的分式域整环的分式域n定理定理4 4 如果一个非零环如果一个非零环R R含在一个域含在一个域F F中中,那么那么F F含含R R的分式域的分式域,说明分式域是包含环说明分式域是包含环的最小域的最小域.n定理定理5 5 同构的环分式域也同构同构的环分式域也同构.n例例 FxFx的分式域的分式域F(x).F(x).9本讲稿第九页，共二十一页 分式域分式域:问题思考问题思考n问题问题:n整数环与偶数环有相同的分式域整数环与偶数环有相同的分式域.n一般地一般地,问一个无零因子交换环问一个无零因子交换环R R与它的与它的子环子环S S在什么条件下有相同分式域在什么条件下有相同分式域?10本讲稿第十页，共二十一页 问题思考问题思考n典型事实观察典型事实观察:n以下的环与子环有相同分式域以下的环与子环有相同分式域:nZ Z与与nZ;ZxnZ;Zx与与Qx;Qx;n设设R R是没有零因子的交换环，是没有零因子的交换环，S S是它的子环，对是它的子环，对 RR记记 S=S=u|uS.u|uS.n猜想猜想:R R与与S S有相同分式域当且仅当每有相同分式域当且仅当每 RR都有都有 S S S S0.0.11本讲稿第十一页，共二十一页 问题思考问题思考n定理定理 无零因子交换环无零因子交换环R R与它的子环与它的子环nS S有相同分式域当且仅当每有相同分式域当且仅当每 RR都都n有有 S S S S00.12本讲稿第十二页，共二十一页2.32.3 素域与扩域素域与扩域n复习和问题复习和问题:n从任何整环可以获得分式域从任何整环可以获得分式域n反过来反过来,任意一个域可以通过什么一般的任意一个域可以通过什么一般的途径而获得呢途径而获得呢?n答答:域扩张的方法域扩张的方法13本讲稿第十三页，共二十一页 素素域定义域定义n两个已知的域两个已知的域:Q:Q与与ZpZpn特点特点:最小域最小域n问题问题:是否还有其他最小域是否还有其他最小域?14本讲稿第十四页，共二十一页 素素域定义域定义n定义定义1 1 素素域域n定理定理2 (2 (无零因子环的特征无零因子环的特征)n 设设R R是一个没有零因子的环是一个没有零因子的环,则则n(1)na=0,0(1)na=0,0a aR Rn=0,n=0,这时记这时记charR=0.charR=0.或者或者n(2)(2)存在素数存在素数p p使每使每pa=0,pa=0,这时记这时记charR=pcharR=p.15本讲稿第十五页，共二十一页 素素域与扩域域与扩域n定理定理3 3 设设F F是素域是素域,则则n (1)char F=0,F(1)char F=0,F Q,Q,或者或者n (2)char F=p,F(2)char F=p,F Zp.Zp.n注注 由定理由定理3 3知道知道,任一个域或者是任一个域或者是Q Q的扩的扩 域或者是一个域或者是一个p p元域元域ZpZp的扩域的扩域.16本讲稿第十六页，共二十一页 素素域与扩域域与扩域n定理定理4 4 域上的域上的n n次多项式最多有次多项式最多有n n个根个根.n证明证明 利用带余除法利用带余除法17本讲稿第十七页，共二十一页 2.42.4 素数的欧拉分解素数的欧拉分解n本节证明下面的欧拉定理：本节证明下面的欧拉定理：n定理定理2.4.3(2.4.3(欧拉欧拉)奇素数奇素数p p在复整数环在复整数环Z(i)Z(i)中有非平中有非平凡因子当且仅当凡因子当且仅当p p1(4)1(4)18本讲稿第十八页，共二十一页素数的欧拉分解素数的欧拉分解n定理定理1(Fermat)1(Fermat)设设p p是素数是素数,p,p a a则则a ap-1p-11(p)1(p)n证证 记记b=a-1b=a-1n则则a ap p(b+1)(b+1)p pb bp p+1+1(a-1)(a-1)p p+1+1n (a-2)(a-2)p p+2+2a(p)a(p)n故故a ap-1p-11(p).1(p).19本讲稿第十九页，共二十一页素数的欧拉分解素数的欧拉分解n定理定理2(Wilson)2(Wilson)设设p p是素数是素数,则则(p-1)!(p-1)!-1(p).1(p).n证证 由定理由定理1,1,2,3,1,1,2,3,p-1(p),p-1(p)是方程是方程nx xp-1p-1-1-10(p)0(p)的根的根,由定理由定理2.3.32.3.3此方程仅有此方程仅有这这p-1p-1个根个根,由根与系数关系由根与系数关系(p-1)!(p-1)!-1(p).1(p).20本讲稿第二十页，共二十一页 欧拉定理欧拉定理n定理定理3(3(欧拉欧拉)奇素数奇素数p p在复整数环在复整数环Z(i)Z(i)中有非平凡中有非平凡因子当且仅当因子当且仅当p p1(4).1(4).n证由本节第一段的说明证由本节第一段的说明,只需证方程只需证方程n有解有解.若有解则若有解则x x、y y一奇一偶一奇一偶,p,p1(4).1(4).n现设现设p p1(4),1(4),记记a=(p-1)/2!a=(p-1)/2!由由WilsonWilson定理定理n记记b=b=p,则则 .整数集整数集x-ay|xx-ay|x、y=0.by=0.bn有有x x1 1-ay-ay1 1x x2 2-ay-ay2 2,取取x=xx=x1 1-x-x2 2,y=y,y=y1 1-y-y2 2,则则 n 于是于是 .21本讲稿第二十一页，共二十一页
