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高中数学正弦定理课件本讲稿第一页，共五十六页本讲稿第二页，共五十六页v11正弦定理本讲稿第三页，共五十六页本讲稿第四页，共五十六页本讲稿第五页，共五十六页v二、解三角形v1解三角形时常用的结论v(1)在ABC中，AB_；(即在一个三角形中大边对大角)v(2)abc，bca，_；(即在一个三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边)v(3)内角和定理：ABC中，ABC_.本讲稿第六页，共五十六页v2正弦定理的应用v利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：v(1)已知两角和任意一边，求其他_和_；v(2)已知两边和其中一边的对角，求_，从而进一步求出其他的边和角v对于第(1)类，其解是唯一确定的，一般先由三角形内角和为180求得_，再利用正弦定理求其余两边；v对于第(2)类，其解不一定唯一，由于三角形的形状不能唯一确定，因而会出现_三种情况本讲稿第七页，共五十六页v友情提示：在ABC中，如果已知边a，b和角A，解的情况讨论如下：v一般地，已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解、一解和无解三种情况vA为锐角，如下图：vabsinAabsinAbsinAababv_解_解_解_解本讲稿第八页，共五十六页vA为直角或钝角，如下图v_解_解_解_解本讲稿第九页，共五十六页v归纳列表如下：本讲稿第十页，共五十六页本讲稿第十一页，共五十六页v1.正弦定理的推导方法v对正弦定理的推导，我们可以从几何的角度进行推导如图，以ABC的顶点A为原点，边AC所在的射线为x轴的正半轴，建立直角坐标系 本讲稿第十二页，共五十六页本讲稿第十三页，共五十六页本讲稿第十四页，共五十六页v另外，我们也可以从ABC的外接圆来进行推导，如图v当ABC为直角三角形时，如图所示，其外接圆的圆心O位于RtABC的斜边AB上，R为外接圆的半径本讲稿第十五页，共五十六页本讲稿第十六页，共五十六页本讲稿第十七页，共五十六页本讲稿第十八页，共五十六页本讲稿第十九页，共五十六页本讲稿第二十页，共五十六页本讲稿第二十一页，共五十六页本讲稿第二十二页，共五十六页本讲稿第二十三页，共五十六页本讲稿第二十四页，共五十六页v2已知两边与其中一边的对角时，怎样确定三角形解的个数？v利用数形结合和三角函数知识来分析例如：已知ABC的两边a，b和角A解三角形时，有以下方法：v方法一：可以作图，利用数形结合加以说明如下表所示：本讲稿第二十五页，共五十六页本讲稿第二十六页，共五十六页本讲稿第二十七页，共五十六页v具体解题时，作出已知角A，边长b，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，与射线AB的公共点(除去顶点A)的个数即为三角形解的个数本讲稿第二十八页，共五十六页本讲稿第二十九页，共五十六页本讲稿第三十页，共五十六页v分析：从方程的观点看，正弦定理有三个等式，可视为三个方程，每个方程都含有四个量，知其三个量，便可求得第四个量本题已知ABC的两边和其中一边的对角，运用正弦定理可求出角A，然后再利用三角形内角和公式求得角C，进而求出边c.本讲稿第三十一页，共五十六页本讲稿第三十二页，共五十六页本讲稿第三十三页，共五十六页v变式训练1在ABC中，c10，A45，C30，求a、b和B.本讲稿第三十四页，共五十六页本讲稿第三十五页，共五十六页v例2ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知b5，B30，若c ，解此三角形本讲稿第三十六页，共五十六页本讲稿第三十七页，共五十六页分析：主要考查用正、余弦定理解三角形及三角形中三角变形的技巧本讲稿第三十八页，共五十六页本讲稿第三十九页，共五十六页本讲稿第四十页，共五十六页v 例3在ABC中，若b2sin2Cc2sin2B2bccosBcosC，试判断三角形的形状v分析：已知条件中有边和角的混合关系，可考虑利用边化角，从角的关系判断，也可考虑角化边，从边的关系判断本讲稿第四十一页，共五十六页本讲稿第四十二页，共五十六页v变式训练3在ABC中，若acosAbcosB，求证：ABC是等腰三角形或直角三角形v分析：判断三角形形状通常从三角形内角的关系确定，也可以从三角形三边关系确定本题可考虑把边化为角，寻找三角形角与角之间的关系，然后予以判定本讲稿第四十三页，共五十六页本讲稿第四十四页，共五十六页v例4如图，D是直角ABC斜边BC上一点，ABAD，记CAD，ABC.v(1)证明sincos20；v(2)若AC DC，求的值 本讲稿第四十五页，共五十六页v分析：根据等腰三角形的性质，内角和定理，结合三角公式，正、余弦定理即可解决本讲稿第四十六页，共五十六页本讲稿第四十七页，共五十六页本讲稿第四十八页，共五十六页本讲稿第四十九页，共五十六页本讲稿第五十页，共五十六页v解三角形的应用问题，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出三角形的边和角的大小，从而得出实际问题的解本讲稿第五十一页，共五十六页v例5(2009辽宁卷)如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75，30，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60，AC0.1 km.试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离(计算结果精确到0.01 km，v 1.414，2.449)本讲稿第五十二页，共五十六页v分析：本题考查了应用三角形知识求解实际问题的能力求解此类解三角形问题首先要能够读懂题意，分析清楚题意，要能够将实际问题转化为数学问题，即解三角形问题在具体求解过程中要能够明确三角形中的边角关系，同时要注意多解情况和计算的准确性v解析：在ACD中，DAC30，ADC60DAC30，v所以CDAC0.1，v又BCD180606060，v故CB是CAD底边AD的中垂线，所以BDBA.本讲稿第五十三页，共五十六页本讲稿第五十四页，共五十六页v变式训练5如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得BCD，BDC，CDs，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高AB.本讲稿第五十五页，共五十六页本讲稿第五十六页，共五十六页