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计算方法计算方法 插值法插值法 本讲稿第一页，共二十一页2插值法插值法n 许多实际问题都用函数来表示某种内在规律的数量关系许多实际问题都用函数来表示某种内在规律的数量关系n 但函数表达式无法给出，只有通过实验或观测得到的数据表但函数表达式无法给出，只有通过实验或观测得到的数据表n 如何根据这些数据推测或估计其它点的函数值？如何根据这些数据推测或估计其它点的函数值？例：例：已测得在某处海洋不同深度处的水温如下：已测得在某处海洋不同深度处的水温如下：深度（深度（M）466 741 950 1422 1634 水温（水温（oC）7.04 4.28 3.40 2.54 2.13根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如500、600、800米米）处的水温。）处的水温。为什么要插值本讲稿第二页，共二十一页3插值基本概念插值基本概念已知函数已知函数 y=f(x)在在 a,b 上有定义，且已经测得在点上有定义，且已经测得在点 a x0 x1 xn b 处的函数值为处的函数值为 y0=f(x0)，yn=f(xn)什么是插值如果存在一个如果存在一个简单易算简单易算的函数的函数 P(x)，使得，使得 P(xi)=f(xi)，i=0,1,.,n则称则称 P(x)为为 f(x)的的插值函数插值函数插值区间插值区间插值节点插值节点求插值函数 P(x)的方法就称为插值法插值节点无需递增排列，但必须确保互不相同！插值条件插值条件本讲稿第三页，共二十一页4常用插值法常用插值法x0 x1x2x3x4xn 多项式插值：多项式插值：P(x)为多项式函数为多项式函数-最常用的插值函数最常用的插值函数n 分段插值：分段插值：P(x)为分段多项式函数为分段多项式函数n 三角插值：三角插值：P(x)为三角函数为三角函数 P(x)常用插值法本讲稿第四页，共二十一页5多项式插值多项式插值多项式插值已知函数已知函数 y=f(x)在在 a,b 上上 n+1 个点个点 a x0 x1 xn b 处的函数值为处的函数值为 y0=f(x0)，yn=f(xn)求次数求次数不超过不超过 n 的多项式的多项式 P(x)=c0+c1x+cnxn，使得，使得 P(xi)=yi，i=0,1,.,n满足上述条件的多项式满足上述条件的多项式存在存在且且唯一唯一定理定理证明：证明：利用利用Vandermonde 行列式即可行列式即可证明过程给出了一种求证明过程给出了一种求 P(x)的方法，但较复杂，一般不用！的方法，但较复杂，一般不用！P(x)的次数可能小于的次数可能小于 n本讲稿第五页，共二十一页6基函数插值法基函数插值法基函数法通过基函数来构造插值多项式的方法就称为通过基函数来构造插值多项式的方法就称为基函数插值法基函数插值法Zn(x)=次数不超过次数不超过 n 的多项式的全体的多项式的全体记记n+1 维线性空间维线性空间设设 z0(x),z1(x),.,zn(x)构成构成 Zn(x)的一组基，则插值多项式的一组基，则插值多项式P(x)=a0z0(x)+a1z1(x)+anzn(x)寻找合适的基函数寻找合适的基函数 确定插值多项式在这组基下的表示系数确定插值多项式在这组基下的表示系数基函数法基本步骤基函数法基本步骤本讲稿第六页，共二十一页7Lagrange插值插值Lagrange插值基函数设设 lk(x)是是 n 次多项式，在插值节点次多项式，在插值节点 x0,x1,xn 上满足上满足则称则称 lk(x)为节点为节点 x0,x1,xn 上的上的拉格朗日插值基函数拉格朗日插值基函数本讲稿第七页，共二十一页8Lagrange插值插值l0(x),l1(x),ln(x)构成构成 Zn(x)的一组基的一组基性质性质注意注意l0(x),l1(x),ln(x)与插值节点有关，与插值节点有关，但与函数但与函数 f(x)无关无关lk(x)的表达式的表达式由构造法可得由构造法可得本讲稿第八页，共二十一页9Lagrange插值插值如何用 Lagrange 基函数求 P(x)P(x)=a0l0(x)+a1l1(x)+anln(x)将将 P(xi)=yi，i=0,1,.,n 代入，可得代入，可得ai=yi，i=0,1,.,nP(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+ynln(x)Lagrange 插值多项式 本讲稿第九页，共二十一页10线性与抛物线插值线性与抛物线插值两种特殊情形 n=1线性插值多项式（一次插值多项式）线性插值多项式（一次插值多项式）n=2抛物线插值多项式（二次插值多项式）抛物线插值多项式（二次插值多项式）本讲稿第十页，共二十一页11插值举例插值举例例：例：已知函数已知函数 y=lnx 的函数值如下的函数值如下解解：x0.40.50.60.70.8lnx-0.9163-0.6931-0.5108-0.3567-0.2231试分别用试分别用线性插值线性插值和和抛物线插值抛物线插值计算计算 ln 0.54 的近似值的近似值线性插值线性插值：取取 x0=0.5,x1=0.6 得得将将 x=0.54 代入可得：代入可得：ln 0.54 L1(0.54)=-0.6202为了减小截断误差，通常选取插值点为了减小截断误差，通常选取插值点 x 邻接的插值节点邻接的插值节点本讲稿第十一页，共二十一页12插值举例插值举例抛物线插值抛物线插值：取取 x0=0.4,x1=0.5,x2=0.6,可得可得ln 0.54 L2(0.54)=-0.6153在实际计算中，不需要给出插值多项式的表达式在实际计算中，不需要给出插值多项式的表达式ex21.m ln 0.54 的精确值为：的精确值为：-0.616186可见，抛物线插值的精度比线性插值要高可见，抛物线插值的精度比线性插值要高Lagrange插值多项式简单方便，只要取定节点就可写出基插值多项式简单方便，只要取定节点就可写出基函数，进而得到插值多项式，易于计算机实现。函数，进而得到插值多项式，易于计算机实现。本讲稿第十二页，共二十一页13误差估计误差估计如何估计误差 插值余项插值余项定理定理设设 f(x)Cna,b(n 阶连续可微阶连续可微)，且，且 f(n+1)(x)在在(a,b)内存在，则对内存在，则对 x a,b，有，有其中其中 x(a,b)且与且与 x 有关有关,证明：证明：本讲稿第十三页，共二十一页14插值余项插值余项由插值条件可知：由插值条件可知：Rn(xi)=0,i=0,1,n Rn(x)在在a,b上至少有上至少有 n+1 个零点个零点对任意给定的对任意给定的 x a,b(x xi,i=0,1,.,n)，构造辅助函数，构造辅助函数则则 在在 a,b 中有中有 n+2 个互不相同的零点：个互不相同的零点：x,x0,xnRn(x)可写成可写成罗尔罗尔定理定理本讲稿第十四页，共二十一页15插值余项插值余项由由Rolle定理可知定理可知 在在(a,b)内至少有内至少有 n+1 个不同的零点；个不同的零点；同理可知同理可知 在在(a,b)内至少有内至少有 n 个零点；个零点；又又f(x)Cna,b，且，且 f(n+1)(x)在在(a,b)内存在内存在以此类推，可知以此类推，可知 在在(a,b)内至少有一个零点，设为内至少有一个零点，设为 x，即即 ，x (a,b)。本讲稿第十五页，共二十一页16插值余项插值余项n 余项公式只有当余项公式只有当 f(x)的高阶导数存在时才能使用的高阶导数存在时才能使用几点说明 n 计算插值点计算插值点 x 上的近似值时，应选取与上的近似值时，应选取与 x 相近插值节点相近插值节点如果如果 ，则，则n x 与与 x 有关，通常无法确定有关，通常无法确定,实际使用中通常是估计其上界实际使用中通常是估计其上界本讲稿第十六页，共二十一页17Lagrange基函数性质基函数性质Lagrange 基函数的两个重要性质 n 当当 f(x)为一个次数为一个次数 n 的多项式时，有的多项式时，有 故故 即即 n 次插值多项式对于次数次插值多项式对于次数 n 的的多项式是多项式是精确精确的的n 若若 f(x)=xk，k n，则有，则有 特别地，当特别地，当 k=0 时有时有Lagrange 基函数的两基函数的两个重要性质个重要性质本讲稿第十七页，共二十一页18插值误差举例插值误差举例例：例：已知函数已知函数 y=lnx 的函数值如下的函数值如下x0.40.50.60.70.8lnx-0.9163-0.6931-0.5108-0.3567-0.2231试估计试估计线性插值线性插值和和抛物线插值抛物线插值计算计算 ln 0.54 的误差的误差解解：线性插值线性插值 x0=0.5,x1=0.6,(0.5,0.6)本讲稿第十八页，共二十一页19插值误差举例插值误差举例抛物线插值抛物线插值：x0=0.4,x1=0.5,x2=0.6,(0.4,0.6)高次插值通常优高次插值通常优于低次插值于低次插值但绝对不是次但绝对不是次数越高就越好，数越高就越好，嘿嘿嘿嘿 本讲稿第十九页，共二十一页20插值误差举例插值误差举例例：例：函数函数 ，插值区间，插值区间-5,5，取等距节点，取等距节点，试画出插值多项式试画出插值多项式 L 的图像的图像ex22.m例：例：教材教材 28 页例页例 1，29 页例页例 3（板书）（板书）本讲稿第二十页，共二十一页21作业作业n 教材教材 第第 48 页：页：4、5、6n 提示提示n 第第 6 题的意思是采用等距节点插值，题的意思是采用等距节点插值，不要写出函数值不要写出函数值插值节点的函数值插值节点的函数值本讲稿第二十一页，共二十一页