2019版高中数学 第1章 解三角形 1.1.1 正弦定理学案 新人教B版必修5.doc

11.1.11.1.1 正弦定理正弦定理1.掌握正弦定理及基本应用.(重点)2.会判断三角形的形状.(难点)3.能根据正弦定理确定三角形解的个数.(难点、易错点)基础·初探教材整理 1 正弦定理阅读教材 P3P4例 1 以上内容，完成下列问题.判断(正确的打“” ，错误的打“×”)(1)正弦定理不适用于钝角三角形.( )(2)在ABC中，等式bsin Aasin B总能成立.( )(3)在ABC中，若 sin Asin B，则三角形是等腰三角形.( )【解析】 (1)×.正弦定理适用于任意三角形.(2).由正弦定理知，即bsin Aasin B.a sin Ab sin B(3).由正弦定理可知，即ab，所以三角形为等腰三角形.a sin Ab sin B【答案】 (1)× (2) (3)教材整理 2 解三角形阅读教材 P4例 1P5例 2，完成下列问题.21.一般地，我们把三角形的三个角及其对边分别叫做三角形的元素.2.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.1.在ABC中，若A60°，B45°，BC3，则AC_.2【解析】 由正弦定理得：，3 2sin 60°AC sin 45°所以AC2.3 2·sin 45°sin 60°3【答案】 232.在ABC中，若a3，b，A，则C_.3 3【解析】 由正弦定理得：，3sin 33sin B所以 sin B .1 2又a>b，所以A>B，所以B， 6所以C.( 36) 2【答案】 23.在ABC中，A45°，c2，则AC边上的高等于_.【解析】 AC边上的高为ABsin Acsin A2sin 45°.2【答案】 2小组合作型已知两角及一边解三角形(1)在ABC中，c，A75°，B60°，则b等于( )3A. B.3 223 24C.D.3 262(2)在ABC中，已知BC12，A60°，B45°，则AC_.3【导学号：18082000】【精彩点拨】 (1)可先由角A、B求出角C，然后利用正弦定理求b；(2)直接利用正弦定理求解.【自主解答】 (1)因为A75°，B60°，所以C180°75°60°45°.因为c，根据正弦定理得，3b sin Bc sin C所以b.csin B sin C3 ×32223 22(2)由正弦定理知：，AC sin BBC sin A则，AC sin 45°12 sin 60°解得AC4.6【答案】 (1)A (2)46解决已知两角及一边类型的三角形解题方法：1若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边.2若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边再练一题1.在ABC中，AB，A75°，B45°，则AC_.6【解析】 C180°75°45°60°，由正弦定理得，即AB sin CAC sin B，解得AC2.6sin 60°AC sin 45°【答案】 2已知两边及一边的对角解三角形(1)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A60°，a4，b4，则B_.32(2)在ABC中，已知a2，b6，A30°，求B，C和c.3【精彩点拨】 (1)由正弦定理的特点，直接求解.注意三角形解的个数问题.(2)先利用正弦定理求角B，再利用内角和定理求解，由正弦定理求边c.4【自主解答】 (1)由正弦定理，得.把A60°，a4，b4，代a sin Ab sin B32入，解得 sin B，B45°或 135°，ba，BA，又A60°，0°22B60°，B45°.【答案】 45°(2)由正弦定理得 sin B，又a2，b6，aa，C >A，A， 4B，b1.5 12csin B sin C6·sin 512sin 33探究共研型5正弦定理的主要功能探究 1 已知ABC的外接圆O的直径长为 2R，试借助ABC的外接圆推导出正弦定理.【提示】 如图，连接BO并延长交圆O于点D，连接CD，则BCD90°，BACBDC，在 RtBCD中，BCBD·sinBDC，所以a2Rsin A，即2R，同理2R，2R，a sin Ab sin Bc sin C所以2R.a sin Ab sin Bc sin C探究 2 根据正弦定理的特点，我们可以利用正弦定理解决哪些类型的解三角形问题？【提示】 利用正弦定理，可以解决：(1)已知两边和其中一边的对角解三角形；(2)已知两角和其中一角的对边解三角形.探究 3 由可以得到abcsin Asin Bsin C，那么由正a sin Ab sin Bc sin C弦定理还可以得到哪些主要变形？【提示】 (1)，.a sin Ab sin Bb sin Bc sin Ca sin Ac sin C(2) ， ， .a bsin A sin Ba csin A sin Cb csin B sin C(3)asin Bbsin A，asin Ccsin A，bsin Ccsin B.在ABC中，若 sin A2sin Bcos C，且 sin2Asin2Bsin2C，试判断ABC的形状.【精彩点拨】 解决本题的关键是利用 sin A，sin B，sin C把a 2Rb 2Rc 2Rsin2Asin2Bsin2C转化为三角形三边的关系，从而判定出角A，然后再利用 sin A2sin Bcos C求解.【自主解答】 法一：根据正弦定理，得，a sin Ab sin Bc sin Csin2Asin2Bsin2C，a2b2c2，A是直角，BC90°，2sin Bcos C2sin Bcos(90°B)2sin2Bsin A1，sin B.220°0，sin B>0，sin Asin B，所以 >1，所以a>b，a bsin A sin B由ab知AB.【答案】 A2.在ABC中，若c2acos B，则ABC的形状为( )A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.不等边三角形【解析】 由正弦定理知c2Rsin C，a2Rsin A，故 sin C2sin Acos Bsin(AB)sin Acos Bcos Asin B，所以 sin Acos Bcos Asin B，即 sin(AB)0，所以AB.故ABC为等腰三角形.【答案】 B3.在ABC中，AB，A45°，B60°，则BC_.3【导学号：18082002】【解析】 利用正弦定理，BC sin AAB sin C而C180°(AB)75°，故BC3.ABsin A sin C3sin 45°sin 75°3【答案】 334.在ABC中，a15，b10，A60°，则 cos B_.【解析】 由正弦定理，得，a sin Ab sin B15 sin 60°10 sin Bsin B，b<a，B<A.33故角B为锐角，cos B.1sin2B1(33) 2638【答案】 63