2019版高中数学 第2章 数列 2.3.1 第1课时 等比数列学案 新人教B版必修5.doc

1第第 1 1 课时课时 等比数列等比数列1.理解等比数列的定义.重点2.掌握等比数列的通项公式及其应用.重点、难点3.熟练掌握等比数列的判定方法.易错点基础·初探教材整理 1 等比数列的定义阅读教材P44P45倒数第 10 行，完成下列问题.1.等比数列的概念(1)文字语言：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示(q0).(2)符号语言：q(q为常数，q0，nN N).an1 an2.等比中项(1)前提：三个数x，G，y成等比数列.(2)结论：G叫做x，y的等比中项.(3)满足的关系式：G2xy.判断(正确的打“” ，错误的打“×”)(1)常数列一定是等比数列.( )(2)存在一个数列既是等差数列，又是等比数列.( )(3)等比数列中的项可以为零.( )(4)若a，b，c三个数满足b2ac，则a，b，c一定能构成等比数列.( )【解析】 (1)×.因为各项均为 0 的常数列不是等比数列.(2).因为任何一个各项不为 0 的常数列既是等差数列，又是等比数列.(3)×.因为等比数列的各项与公比均不能为 0.2(4)×.因为等比数列各项不能为 0；若a，b，c成等比数列，则b2ac，但是反之不成立，比如：a0，b0，c1，则a，b，c就不是等比数列.【答案】 (1)× (2) (3)× (4)×教材整理 2 等比数列的通项公式阅读教材 P45P47，完成下列问题.1.等比数列的通项公式一般地，对于等比数列an的第n项an，有公式ana1qn1.这就是等比数列an的通项公式，其中a1为首项，q为公比.2.等比数列与指数函数的关系等比数列的通项公式可整理为an·qn，而y·qx(q1)是一个不为 0 的常数a1 qa1 q与指数函数qx的乘积，从图象上看，表示数列·qn中的各项的点是函数y·qx的a1 qa1 qa1 q图象上的孤立点.1.在等比数列an中，a14，公比q3，则通项公式an_.【解析】 ana1qn14·3n1.【答案】 4·3n12.已知an是等比数列，a22，a5 ，则公比q_.1 4【解析】 a2a1q2，a5a1q4 ，1 4÷得：q3 ，q .1 81 2【答案】 1 23.在等比数列an中，已知a23，a524，则a8_.【解析】 由Error!得Error!所以a8 ·27192.3 2【答案】 1923小组合作型等比数列的判断与证明(1)下列数列是等比数列的是( )A.2,2，2，2,2,2，2，2，B.1,1，1,1，1，C.0,2,4,6,8,10，D.a1，a2，a3，a4，(2)已知数列an的前n项和Sn2an，求证：数列an是等比数列.【精彩点拨】 (1)利用等比数列的定义判定.(2)先利用Sn与an的关系，探求an，然后利用等比数列的定义判定.【自主解答】 (1)A.从第 2 项起，每一项与前一项的比不是同一常数，故不选 A.B.由等比数列定义知该数列为等比数列.C.等比数列各项均不为 0，故该数列不是等比数列.D.当a0 时，该数列不是等比数列；当a0 时，该数列为等比数列.【答案】 B(2)证明：Sn2an，Sn12an1.an1Sn1Sn(2an1)(2an)anan1，an1an.1 2又S12a1，a110.又由an1an知an0，1 2 ，an是等比数列.an1 an1 2判断一个数列an是等比数列的方法：1定义法：若数列an满足qq为常数且不为零或qn2，qan1 anan an1n为常数且不为零，则数列an是等比数列.2等比中项法：对于数列an，若 a,an·an2且an0，则数列an是等比2n1数列.43通项公式法：若数列an的通项公式为ana1qn1a10，q0，则数列an是等比数列.再练一题1.已知数列an是首项为 2，公差为1 的等差数列，令bnan，求证数(1 2)列bn是等比数列，并求其通项公式.【证明】 由已知得，an2(n1)×(1)3n，故bn1 bn(1 2)3n1(1 2)3n(1 2)3(n1)3n2，(1 2)1数列bn是等比数列.b1 ，(1 2)311 4bn×2n12n3.(1 4)等比中项(1)等比数列an中，a1 ，q2，则a4与a8的等比中项是( )1 8A.±4 B.4 C.± D.1 41 4(2)已知b是a，c的等比中项，求证：abbc是a2b2与b2c2的等比中项. 【导学号：18082031】【精彩点拨】 (1)用定义求等比中项.(2)证明(abbc)2(a2b2)(b2c2)即可.【自主解答】 (1)由an ·2n12n4知，a41，a824，所以a4与a8的等比中项1 8为±4.【答案】 A(2)证明：b是a，c的等比中项，则b2ac，且a，b，c均不为零，又(a2b2)(b2c2)a2b2a2c2b4b2c2a2b22a2c2b2c2，(abbc)2a2b22ab2cb2c2a2b22a2c2b2c2，所以(abbc)2(a2b2)·(b2c2)，即abbc是a2b2与b2c2的等比中项.5等比中项应用的三点注意：1由等比中项的定义可知 G2abG±，所以只有a，b同号时，a，bG ab Gab的等比中项有两个，异号时，没有等比中项.2在一个等比数列中，从第二项起，每一项有穷数列的末项除外都是它的前一项和后一项的等比中项.3a，G，b成等比数列等价于G2abab>0.再练一题2.设等差数列an的公差d不为 0，a19d，若ak是a1与a2k的等比中项，则k等于( )A.2 B.4 C.6 D.8【解析】 an(n8)d，又aa1·a2k，2k(k8)d29d·(2k8)d，解得k2(舍去)，k4.【答案】 B探究共研型等比数列的通项公式探究 1 类比归纳等差数列通项公式的方法，你能归纳出首项为a1，公比为q的等比数列an的通项公式吗？【提示】 由等比数列的定义可知：a2a1q，a3a2qa1q2，a4a3qa1q3，a5a4qa1q4由此归纳等比数列an的通项公式为ana1qn1.探究 2 由等比数列的定义式q(q0)你能用累乘法求出用首项a1，公比q表an1 an示的通项公式吗？能用等比数列中任意一项am及公比q表示an吗？【提示】 由q，知q，q，an1 ana2 a1a3 a2q，q，将以上各式两边分别相乘可得qn1，则ana1qn1；a4 a3an an1an a1由Error!两式相比得qnm，an am6则anam·qnm，事实上该式为等比数列通项公式的推广.探究 3 在等比数列的通项公式ana1qn1中，若已知a12，q ，你能求出a3吗？1 2若已知a12，a38，你能求出公比q吗？这说明了什么？【提示】 若a12，q ，则a32· ；1 2(1 2)21 2若a12，a38，则 2·q28，所以q±2，由此说明在ana1qn1中所含四个量中能“知三求一”.(1)在等比数列an中，已知a2a518，a3a69，an1，求n；(2)已知等比数列an为递增数列，且aa10,2(anan2)5an1，求数列an的通项2 5公式an.【精彩点拨】 (1)先由a2a518，a3a69，列出方程组，求出a1，q，然后再由an1 解出n.(2)根据条件求出基本量a1，q，再求通项公式.【自主解答】 (1)法一 因为Error!由得q ，从而a132. 1 2又an1，所以 32×1，(1 2)n1即 26n20，所以n6.法二 因为a3a6q(a2a5)，所以q .1 2由a1qa1q418，得a132.由ana1qn11，得n6.(2)由 2(anan2)5an12q25q20q2 或 ，由aa10a1q9>0a1>0，又1 22 5数列an递增，所以q2.aa10>0(a1q4)2a1q9a1q2，所以数列an的通项公式为an2n.2 51.等比数列的通项公式涉及 4 个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解.2.关于a1和q的求法通常有以下两种方法：(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法.7(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算.再练一题3.在等比数列an中，(1)若它的前三项分别为 5，15,45，求a5；(2)若a42，a78，求an. 【导学号：18082032】【解】 (1)a5a1q4，而a15，q3，a2 a1a5405.(2)因为Error!所以Error!由得q34，从而q，而a1q32， 34于是a1 ，所以ana1qn12. 2 q31 21.在等比数列an中，若a10，a218，a48，则公比q等于( A. B. C. D. 或3 22 32 32 32 3【解析】 由Error!解得Error!或Error!又a10，因此q .2 3【答案】 C2.如果1，a，b，c，9 成等比数列，那么( )A.b3，ac9B.b3，ac9C.b3，ac9D.b3，ac9【解析】 因为b2(1)×(9)9，a21×bb0，所以b0，所以b3，且a，c必同号.所以acb29.【答案】 B83.在等比数列an中，若a33，a46，则a5_.【解析】 法一：由q 2，所以a5a4q12.a4 a36 3法二：由等比数列的定义知，a3，a4，a5成等比数列，aa3·a5，a5a4 a3a5 a42 412.a2 4 a3【答案】 124.已知等比数列an的前三项依次为a1，a1，a4，则an_.【解析】 由已知可知(a1)2(a1)(a4)，解得a5，所以a14，a26，所以q ，a2 a16 43 2所以an4×.(3 2)n1【答案】 4×(3 2)n15.在等比数列an中，a332，a58，(1)求数列an的通项公式an；(2)若an ，求n.1 2【解】 (1)因为a5a3q2，所以q2 .a5 a31 4所以q± .1 2当q 时，ana3qn332×28n；1 2(1 2)n3当q 时，ana3qn332×.1 2(1 2)n3所以an28n或an32×.(1 2)n3(2)当 an 时，28n 或 32× ，解得 n9.1212(12)n312