2-4刚体定点运动_264005028.ppt

2.4 刚体定点运动刚体定点运动第第4节节 刚体定点运动刚体定点运动22023/1/30定点运动：刚体运动过程中，刚体或其延拓部分上定点运动：刚体运动过程中，刚体或其延拓部分上定点运动：刚体运动过程中，刚体或其延拓部分上定点运动：刚体运动过程中，刚体或其延拓部分上某一点始终保持不动。某一点始终保持不动。某一点始终保持不动。某一点始终保持不动。运动方程运动方程角速度角速度刚体上刚体上P点速度点速度刚体上刚体上P点加速度点加速度角加速度角加速度第第4节节 刚体定点运动刚体定点运动刚刚体一般运体一般运动动第第4节节 刚体定点运动刚体定点运动42023/1/30取取定定点点O为为基基点点，即即vO=0，aO=0。刚刚体体上上任意点的速度和加速度任意点的速度和加速度为为在在定定点点运运动动中中，刚刚体体角角速速度度向向量量 的的方方向向随随着着时间变时间变化，不存在一根固定不化，不存在一根固定不动动的的转动轴转动轴。第第4节节 刚体定点运动刚体定点运动p在某瞬在某瞬时时，经经过过定点定点O与角速度平行的与角速度平行的线线上的所有点的瞬上的所有点的瞬时时速度速度为为零。零。这这条条线线称称为为瞬瞬瞬瞬时转动轴时转动轴时转动轴时转动轴。定。定轴转动轴转动是定点运是定点运动动的特例的特例。p若若刚刚体上除了定点体上除了定点O以外，以外，还还能找到另一个点能找到另一个点C，它的瞬它的瞬时时速度速度为为零零，则则直直线线OC就是就是瞬瞬瞬瞬时转动轴时转动轴时转动轴时转动轴。p刚体的定点运动在每一瞬时都刚体的定点运动在每一瞬时都存在存在一根过定点的瞬一根过定点的瞬时转动轴。刚体的瞬时运动为绕瞬时轴、以瞬时角时转动轴。刚体的瞬时运动为绕瞬时轴、以瞬时角速度速度 作作瞬时转动。瞬时转动。瞬时转动。瞬时转动。p刚体的连续运动为绕一系列瞬轴、以不同的瞬时角刚体的连续运动为绕一系列瞬轴、以不同的瞬时角速度作速度作连续瞬时转动连续瞬时转动连续瞬时转动连续瞬时转动。52023/1/30 xyzOCAhr第第4节节 刚体定点运动刚体定点运动p求解刚体定点运动问题的重点是如何求求解刚体定点运动问题的重点是如何求刚刚体的角速度，角加速度体的角速度，角加速度p刚体作定点运动时的角速度的计算很复杂，刚体作定点运动时的角速度的计算很复杂，内容已超出本课程的要求。内容已超出本课程的要求。p根据约束特点，对根据约束特点，对具体问题具体问题可直接找出刚可直接找出刚体的瞬时转动轴，进而求得刚体角速度。体的瞬时转动轴，进而求得刚体角速度。62023/1/30第第4节节 刚体定点运动刚体定点运动72023/1/30角加速度角加速度 就是角速度就是角速度 端点的速度！端点的速度！角速度向量端角速度向量端图图O为常数为常数不为常数？不为常数？第第4节节 刚体定点运动刚体定点运动例例182023/1/30正正圆圆锥锥以以其其顶顶点点O为为固固定定点点在在水水平平面面上上纯纯滚滚动动，圆圆锥锥的的底底面面中中心心C点点在在水水平平方方向向的的速速度度vC=48cm/s已已知知圆圆锥锥高高为为h=4cm，底底面面半半径径 r=3cm。试试求求：(1)圆圆锥锥体体的的角角速速度度和和角角加加速速度度；(2)C点点及及A点点的的加速度。加速度。xyzOCAhr第第4节节 刚体定点运动刚体定点运动92023/1/30圆锥圆锥体作定点运体作定点运动动。圆锥圆锥体与坐体与坐标标面面Oxy相接触的相接触的母母线线OA是瞬是瞬时转动轴时转动轴xyzOCAhr角速度角速度 绕绕z轴轴作定作定轴转动轴转动，转动转动角速度角速度为为O1第第4节节 刚体定点运动刚体定点运动102023/1/30 xyzOCAhrO1计计算算C点及点及A点的加速度点的加速度欧拉定理欧拉定理作定点运作定点运动动的的刚刚体从一个方位到另一个方位的运体从一个方位到另一个方位的运动动，一定可以利用一定可以利用绕绕某某轴轴(过过固定点固定点)的一次的一次转动实现转动实现。x1y1z1p只需证明描述转动的矩阵只需证明描述转动的矩阵A有一个特征值为有一个特征值为1 1。x2x2(z2)证证明：只需明：只需证证明描述明描述转动转动的矩的矩阵阵A有一个特征有一个特征值为值为1。一次一次转动转动的的转转角角 与与A的关系？的关系？欧拉定理欧拉定理欧拉定理的欧拉定理的进进一步一步讨论讨论转动轴对应转动轴对应于于A的特征的特征值为值为1的特征向量，以此的特征向量，以此轴为轴为Z轴轴，则则正交矩正交矩阵阵可以写成：可以写成：转转角角 与与A的关系？的关系？由于相似矩由于相似矩阵阵的迹相等，可得的迹相等，可得很多很多书书定定义刚义刚体角速度大小体角速度大小为为：是否存在某个是否存在某个时间时间的函数，其的函数，其导导数是数是刚刚体角速度？体角速度？例例如如何何通通过过一一次次转转动动使使正正方方体体的的顶顶点点A、B、C变变化到化到A1、B1、C1？YABFEDOZX解解：固固连连坐坐标标系系OXYZ，运运动动后后变变为为Oxyz，变变换换矩矩阵阵(方方向向余余弦矩弦矩阵阵)为为：该该矩矩阵对应阵对应于特征于特征值值1的特征向量的特征向量为为：(1,1,1)，沿，沿OF转转角角为为:第第4节节 刚体定点运动刚体定点运动p刚体定点运动的解题方法刚体定点运动的解题方法p根据刚体的约束条件判断刚体是否作定点运动根据刚体的约束条件判断刚体是否作定点运动p找出作定点运动刚体上两个速度为零的点以确找出作定点运动刚体上两个速度为零的点以确定其定其瞬时转轴瞬时转轴瞬时转轴瞬时转轴p根据已知条件根据已知条件计算角速度计算角速度计算角速度计算角速度p根据运动过程中角速度根据运动过程中角速度的变化规律，分析计算的变化规律，分析计算的变化规律，分析计算的变化规律，分析计算角加速度角加速度角加速度角加速度p计算刚体上点的速度和加速度计算刚体上点的速度和加速度152023/1/30p利用刚体复合运动方法（在本课程稍后介利用刚体复合运动方法（在本课程稍后介绍）求解刚体定点运动，更方便和直观。绍）求解刚体定点运动，更方便和直观。刚体运动学刚体运动学p平动平动p定轴转动定轴转动p平面运动平面运动速度分析速度分析-加速度分析加速度分析-p定点运动定点运动特殊情况下，刚体角速度和角加速度求解特殊情况下，刚体角速度和角加速度求解p一般运动一般运动基点法基点法、瞬心法、求导法、瞬心法、求导法基点法、基点法、瞬心法、速度投影定理、求导法瞬心法、速度投影定理、求导法基点的选择会影响计算结果吗？基点的选择会影响计算结果吗？瞬心的概念？（速度和加速度瞬心）瞬心的概念？（速度和加速度瞬心）如何求速度瞬心的位置？（哪几种情况下能很容如何求速度瞬心的位置？（哪几种情况下能很容易找到）易找到）速度投影的内容？能用速度投影定理求角速度吗？速度投影的内容？能用速度投影定理求角速度吗？进动和章动章动章动(nutation)是在是在行星行星或或陀螺仪陀螺仪的自转运动中，轴在的自转运动中，轴在进动进动(岁岁差差)中的一种轻微不规则运动，使自转轴在方向的改变中出现如中的一种轻微不规则运动，使自转轴在方向的改变中出现如“点头点头”般的摇晃现象。在般的摇晃现象。在天文学天文学上，又称为上，又称为“岁差岁差现象现象”。进动进动(precession)(precession)是是自转自转物体之自转轴又物体之自转轴又绕着另一轴旋转的现象，又可称作旋进。绕着另一轴旋转的现象，又可称作旋进。第第4节节 刚体定点运动刚体定点运动NMLyxzXZY欧拉角就是常用的参数之一。进动角：绕Z轴转章动角：绕N轴转自旋角：绕z轴转既然描述刚体绕既然描述刚体绕O点转动的矩阵点转动的矩阵A的元素只有三个独立，的元素只有三个独立，就就可以用三个参数来描述刚体的转动可以用三个参数来描述刚体的转动(给出给出A的表达式的表达式)。称为欧拉角。为了使三个欧拉角唯一确定刚体的方位，假设 第第4节节 刚体定点运动刚体定点运动从从OXYZ到到Oxyz的的变换变换可以通可以通过过三次三次转动实现转动实现XZYNM先先绕绕 OZ 转转 角角变换变换矩矩阵阵:第第4节节 刚体定点运动刚体定点运动再再绕绕 ON 转转 角角XZYNMXZYMNLz变换变换矩矩阵阵:第第4节节 刚体定点运动刚体定点运动XZYMNLz最后最后绕绕Oz转转 角角XZYMNLzxy变换变换矩矩阵阵:第第4节节 刚体定点运动刚体定点运动 从从OXYZ到到Oxyz的的变换变换矩矩阵为阵为:得到定点得到定点转动转动角速度在固定坐角速度在固定坐标标系中的分量系中的分量再利用公式再利用公式第第4节节 刚体定点运动刚体定点运动再再利利用用变变换换可可以以得得到到定定点点转转动动角角速速度度在在固固连连坐标系中的分量坐标系中的分量上式称为上式称为欧拉运动学公式欧拉运动学公式。第第4节节 刚体定点运动刚体定点运动NMLyxzXZY