2019版高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.4 正态分布学案 新人教A版选修2-3.doc

1§2.4§2.4 正态分布正态分布学习目标 1.利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.2.了解变量落在区间(，(2，2，(3，3的概率大小.3.会用正态分布去解决实际问题知识点一 正态曲线思考 函数f(x)22() 2ex ，xR R 的图象如图所示试确定函数f(x)的解析式12答案 由图可知，该曲线关于直线x72 对称，最大值为，由函数表达式可知，函110 2数图象的对称轴为x，72，且，10.12110 2f(x)2(72) 200ex(xR R)110 2梳理 (1)正态曲线函数，(x)22() 2ex ，x(，)，其中实数，(>0)为参数，我们12称，(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线(2)正态曲线的性质曲线位于x轴上方，与x轴不相交；曲线是单峰的，它关于直线x对称；曲线在x处达到峰值；12曲线与x轴之间的面积为 1；当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移，如图甲所示；当一定时，曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖” ，总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高” ，总体的分布越集中，如图乙所示：2知识点二 正态分布一般地，如果对于任何实数a，b(a5)考点 正态分布的概念及性质题点 正态分布下的概率计算解 因为XN(1,22)，所以1，2.4(1)P(15)P(X3) 1P(3c1)P(Xc1)P(Xa)(2)“3”法：利用X落在区间(，(2，2，(3，3内的概率分别是 0.682 6,0.954 4,0.997 4 求解跟踪训练 2 已知随机变量服从正态分布N(2，2)，且P(0)和N(2，)(2>0)的密度函数图象如图所示，2 12 2则有( )6A12C1>2，12，1>2考点 正态分布密度函数的概念题点 正态曲线答案 A解析 根据正态曲线的特点：正态分布曲线是一条关于直线x对称，在x处取得最大值的连续曲线：当一定时，越大，曲线的最高点越低且较平稳，反过来，越小，曲线的最高点越高且较陡峭故选 A.2正态分布N(0,1)在区间(2，1)和(1,2)上取值的概率为P1，P2，则二者大小关系为( )AP1P2 BP1P2CP1P2 D不确定考点 正态分布密度函数的概念题点 正态曲线性质的应用答案 A解析 根据正态曲线的特点，图象关于x0 对称，可得在区间(2，1)和(1,2)上取值的概率P1，P2相等3设随机变量服从正态分布N(，2)，且二次方程x24x0 无实数根的概率为，则等于( )1 2A1 B2C4 D不能确定考点 正态分布的概念及性质题点 求正态分布的均值或方差答案 C解析 因为方程x24x0 无实数根的概率为 ，由1644，即1 2P(>4) 1P(4)，故P(4) ，所以4.1 21 24已知服从正态分布N(，2)的随机变量在区间(，(2，2和(3，3内取值的概率分别为 68.26%,95.44%和 99.74%.7若某校高一年级 1 000 名学生的某次考试成绩X服从正态分布N(90,152)，则此次考试成绩在区间(60,120内的学生大约有( )A997 人 B972 人 C954 人 D683 人考点 正态分布的应用题点 正态分布的实际应用答案 C解析 依题意可知90，15，故P(60c1)P(Xc1)P(Xa)，若b0)，P(4)0.84，则P(0)等于( )A0.16 B0.32C0.68 D0.84考点 正态分布的概念及性质题点 正态分布下的概率计算答案 A解析 随机变量服从正态分布N(2，2)，2，P(4)0.84，P(4)10.840.16，P(0)P(4)0.16.3已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6内的概率为( )(附：若随机变量服从正态分布N(，2)，则P(P(Yt)D对任意正数t，P(Xt)>P(Yt)考点 正态分布密度函数的概念题点 正态曲线答案 C解析 由题图可知1P(X1)，故 B 错；当t为任意正数时，由题图可知P(Xt)>P(Yt)，而P(Xt)1P(Xt)，P(Yt)1P(Yt)，P(Xt)96)，所以P(X64) ×(10.954 4)1 2 ×0.045 60.022 8.1 2所以P(X>64)0.977 2.13又P(X72) 1P(7272)0.841 3，P(6464)P(X>72)0.135 9.13某人骑自行车上班，第一条路线较短但拥挤，到达时间X(分钟)服从正态分布N(5,1)；第二条路线较长不拥挤，X服从正态分布N(6,0.16)若有一天他出发时离点名时间还有 7分钟，问他应选哪一条路线？若离点名时间还有 6.5 分钟，问他应选哪一条路线？考点 正态分布的应用题点 正态分布的实际应用解 还有 7 分钟时：若选第一条路线，即XN(5,1)，能及时到达的概率P1P(X7)P(X5)P(5<X7) P(2<X2)1 21 2若选第二条路线，即XN(6,0.16)，能及时到达的概率P2P(X7)P(X6)P(6<X7) P(2.5<X2.5)1 21 2因为P1<P2，所以应选第二条路线同理，还有 6.5 分钟时，应选第一条路线四、探究与拓展14为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区 1 000 名年龄在 17.5 岁至 19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(，22)，且正态分布密度曲线如图所示，若体重大于 58.5 kg 小于等于 62.5 kg 属于正常情况，则这1 000 名男生中属于正常情况的人数约为 考点 正态分布的应用题点 正态分布的实际应用14答案 683解析 依题意可知，60.5，2，故P(58.5<X62.5)P(<X)0.682 6，从而属于正常情况的人数为 1 000×0.682 6683.15从某企业生产的某种产品中抽取 500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图(1)求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的x中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(，2)，其中近似为样本平均数 ，2近似为样本方差s2.x利用该正态分布，求P(187.8<Z212.2)；某用户从该企业购买了 100 件这种产品，记X表示这 100 件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2的产品件数，利用的结果，求E(X)(附：12.2)150考点 正态分布的应用题点 正态分布的综合应用解 (1)抽取产品的质量指标值的样本平均数 和样本方差s2分别为x170×0.02180×0.09190×0.22200×0.33210×0.24220×0.08230×0.02x200，s2(30)2×0.02(20)2×0.09(10)2×0.220×0.33102×0.24202×0.08302×0.02150.(2)由(1)知，ZN(200,150)，从而P(187.8<Z212.2)P(20012.2<Z20012.2)0.682 6.由知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8，212.2的概率为 0.682 6，依题意知XB(100,0.682 6)，所以 E(X)100×0.682 668.26.