第一章概率论基础2.ppt

1.2基本概念基本概念 1.2.1关于概率的基本概念关于概率的基本概念概率的统计定义概率的统计定义概率的古典定义概率的古典定义几何概率的定义几何概率的定义一、一、概率的统计定义概率的统计定义1 1、频率的定义频率的定义:设在设在 n 次试验中，事件次试验中，事件 A 发生了发生了m 次，则称次，则称 为为 事件事件A发生的频率。发生的频率。2 2、频率的性质频率的性质 非负性非负性 规范性规范性 可加性事件可加性事件 A,B互斥，则互斥，则 （注：可加性可推广到有限个两两互斥事件的和事件）（注：可加性可推广到有限个两两互斥事件的和事件）频率稳定性的实例：频率稳定性的实例：例：例：Dewey G.Dewey G.统计了约统计了约438023438023个英语单词中各字母出现的频率个英语单词中各字母出现的频率,发现各字母出现的频率不同：发现各字母出现的频率不同：A:0.0788 B:0.0156 C:0.0268 D:0.0389 E:0.1268 F:0.0256 G:0.0187 H:0.0573 I:0.0707 J:0.0010 K:0.0060 L:0.0394 M:0.0244 N:0.0706 O:0.0776 P:0.0186 Q:0.0009 R:0.0594 S:0.0634 T:0.0987 U:0.0280 V:0.0102 W:0.0214 X:0.0016 Y:0.0202 Z:0.0006试验试验序号序号1 2 3 4 5 6 7231 5 1 2 4222521252418272512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.540.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502实例实例 将一枚硬币抛掷将一枚硬币抛掷 5 次、次、50 次、次、500 次次,各做各做 7 遍遍,观察正面出现的次数及频率观察正面出现的次数及频率.波动最小波动最小随随n的增大的增大,频率频率 f 呈现出稳定性呈现出稳定性从从上述数据可得上述数据可得(2)抛硬币次数抛硬币次数 n 较小时较小时,频率频率 f 的随机波动幅的随机波动幅度较大度较大,但但随随 n 的增大的增大,频率频率 f 呈现出稳定性呈现出稳定性.即当即当 n 逐渐增大时频率逐渐增大时频率 f 总是在总是在 0.5 附近摆动附近摆动,且逐渐稳定于且逐渐稳定于 0.5.(1)频率有频率有随机波动性随机波动性,即对于同样的即对于同样的 n,所得的所得的 f 不一定相同不一定相同;实验者实验者德德 摩根摩根蒲蒲 丰丰204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120.5005我们再来看一个验证频率稳定性的著名实验我们再来看一个验证频率稳定性的著名实验高尔顿高尔顿(Galton)板试验板试验.试验模型如下所示试验模型如下所示:自上端放入一小球自上端放入一小球,任其自任其自由下落由下落,在下落过程中当小球碰在下落过程中当小球碰到钉子时到钉子时,从左边落下与从右边从左边落下与从右边落下的机会相等落下的机会相等.碰到下一排钉碰到下一排钉子时又是如此子时又是如此.最后落入底板中最后落入底板中的某一格子的某一格子.因此因此,任意放入一球任意放入一球,则此球落入哪一个格子则此球落入哪一个格子,预先难以确定预先难以确定.但是如果但是如果放入大量小球放入大量小球,则其最后所呈现的曲线则其最后所呈现的曲线,几乎总是几乎总是一样的一样的.重要结论重要结论频率当频率当 n 较小时波动幅度比较大，当较小时波动幅度比较大，当 n 逐渐增逐渐增大时大时，频率趋于稳定值，这个稳定值从本质上反映频率趋于稳定值，这个稳定值从本质上反映了事件在试验中出现可能性的大小它就是事件的了事件在试验中出现可能性的大小它就是事件的概率概率 医医生生在在检检查查完完病病人人的的时时候候摇摇摇摇头头：“你你的的病病很很重重，在在十十个个得得这这种种病病的的人人中中只只有有一一个个能能救救活活.”当当病病人人被被这这个个消消息息吓吓得得够够呛呛时时，医医生生继继续续说说：“但但你你是是幸幸运运的的因因为为你你找找到到了了我我，我我已已经经看看过过九个病人了，他们都死于此病九个病人了，他们都死于此病.”医生的说法对吗医生的说法对吗?请请同学们思考同学们思考.1933年年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概率论的，苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概率论的公理化结构公理化结构，给出了概率的严格定义，给出了概率的严格定义，使概率论有了迅，使概率论有了迅速的发展速的发展.3 3、概率的定义与性质、概率的定义与性质柯尔莫哥洛夫资料柯尔莫哥洛夫资料Born:25 Apr.1903 in Tambov,Tambov province,RussiaDied:20 Oct.1987 in Moscow,RussiaAndrey NikolaevichKolmogorov 以以上上结结果果表表明明：在在相相同同条条件件下下作作重重复复实实验验时时，对对某某一一实实验验结结果果(事件事件A)具有如下特征：具有如下特征：其是否发生是随机的，事先无法确定；其是否发生是随机的，事先无法确定；其发生的频率又稳定的，稳定在一个常数附近；其发生的频率又稳定的，稳定在一个常数附近；一一般般讲讲，对对实实验验的的某某一一结结果果(事事件件A)出出现现的的频频率率偏偏离离这这个个常常数数很很大大的的可可能能性性虽虽存存在在，但但实实验验次次数数越越大大，频频率率偏偏离离这这个个常常数数的的可可能能性越小。我们就称这个常数为这一结果性越小。我们就称这个常数为这一结果(事件事件A)发生的发生的概率概率。例如例如:我们称我们称1/21/2这个常数是这个常数是“投掷硬币，正面朝上投掷硬币，正面朝上”这一事件的概率；这一事件的概率；从从上上个个世世纪纪以以来来，各各国国婴婴儿儿性性别别的的统统计计资资料料表表明明，女女婴婴的的频频率率“稳稳定定”在在21/4321/43附近。我们称附近。我们称21/4321/43这个常数是这个常数是“出生婴儿为女婴出生婴儿为女婴”这一事件的概率。这一事件的概率。证明证明由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得 性质性质概率的有限可加性概率的有限可加性证明证明由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得证明证明证明证明证明证明证明证明 由图可得由图可得又由又由性质性质 3 得得因此得因此得推广推广 三个事件和的情况三个事件和的情况n 个事件和的情况个事件和的情况解解SABAB1）频率频率(波动波动)概率概率(稳定稳定).2）概率的主要性质概率的主要性质4、小结、小结1.定义定义（一）等可能概型（一）等可能概型(古典概型古典概型)二、概率的古典定义二、概率的古典定义 设试验设试验 E 的样本空间由的样本空间由n 个样本点构成个样本点构成，A 为为 E 的任意一个事件的任意一个事件，且包含且包含 m 个样本点个样本点，则事则事件件 A 出现的概率记为出现的概率记为:2.古典概型中事件概率的计算公式古典概型中事件概率的计算公式称此为概率的古典定义称此为概率的古典定义.3.古典概型的基本模型古典概型的基本模型:摸球模型摸球模型(1)无放回地摸无放回地摸球球问题问题1 设袋中有设袋中有4 只白球和只白球和 2只黑球只黑球,现从袋中无现从袋中无放回地依次摸出放回地依次摸出2只球只球,求这求这2只球都是白球的概率只球都是白球的概率.解解基本事件总数为基本事件总数为A 所包含所包含基本事件的个数为基本事件的个数为(2)有放回地摸有放回地摸球球问题问题2 设袋中有设袋中有4只红球和只红球和6只黑球只黑球,现从袋中有放现从袋中有放回地摸球回地摸球3次次,求前求前2次摸到次摸到黑球黑球、第第3次摸到红球次摸到红球的概率的概率.解解第第1 1次摸球次摸球10种种第第2次摸球次摸球10种种第第3次摸球次摸球10种种6种种第第1 1次摸到黑球次摸到黑球 6种种第第2次摸到黑球次摸到黑球4种种第第3次摸到红球次摸到红球基本事件总数为基本事件总数为A 所包含所包含基本事件的个数为基本事件的个数为课堂练习课堂练习1o 电话号码问题电话号码问题 在在7位数的电话号码中位数的电话号码中,第一位第一位不能为不能为0，求数字，求数字0出现出现3次的概率次的概率.2o 骰子问题骰子问题 掷掷3颗均匀骰子颗均匀骰子,求点数之和为求点数之和为4的的概率概率.4.古典概型的基本模型古典概型的基本模型:球放入杯子模型球放入杯子模型(1)杯子容量无限杯子容量无限问题问题1 把把 4 个球放到个球放到 3个杯子中去个杯子中去,求第求第1 1、2个个杯子中各有两个球的概率杯子中各有两个球的概率,其中假设每个杯子可其中假设每个杯子可放任意多个球放任意多个球.4个球放到个球放到3个杯子的所有放法个杯子的所有放法因此第因此第1、2个杯子中各有两个球的概率为个杯子中各有两个球的概率为(2)每个杯子只能放一个球每个杯子只能放一个球问题问题2 把把4个球放到个球放到10个杯子中去个杯子中去,每个杯子只能每个杯子只能放一个球放一个球,求第求第1 至第至第4个杯子各放一个球的概率个杯子各放一个球的概率.解解第第1至第至第4个杯子各放一个球的概率为个杯子各放一个球的概率为2o 生日问题生日问题 某班有某班有20个学生都个学生都是同一年出生的是同一年出生的,求有求有10个学生生个学生生日是日是1 1月月1 1日日,另外另外10个学生生日是个学生生日是12月月31日的概率日的概率.课堂练习课堂练习1o 分房问题分房问题 将张三、李四、王五将张三、李四、王五3人等可能地人等可能地分配到分配到3 间房中去间房中去,试求每个房间恰有试求每个房间恰有1人的概率人的概率.小概率事件小概率事件 若若P(A)0.001 则称则称A为小概率事件为小概率事件小概率原理小概率原理一次试验中小概率事件一般是不会发生一次试验中小概率事件一般是不会发生的的.若在一次试验中居然发生了若在一次试验中居然发生了,则可怀疑则可怀疑该事件并非小概率事件该事件并非小概率事件.例例1 将一枚将一枚 均匀的硬币连掷均匀的硬币连掷 2 次次,求掷出求掷出1 次正面的概率次正面的概率解解()：此样本空间为：此样本空间为基本事件总数基本事件总数n=3，事件事件A“掷出掷出 1 次正面次正面”有有1个样本点个样本点,即即m=1，故故解解()：此样本空间为：此样本空间为:基本事件总数基本事件总数:n=4.事件事件A“掷出掷出 1 次正面次正面”由由 2 个样本点个样本点(正正,反反),(反反,正正)组成，即组成，即 ，故，故 其中的数字表示掷出正面的次数其中的数字表示掷出正面的次数（二）典型例题（二）典型例题结果的讨论：结果的讨论：解解()是错误的！是错误的！因为这里的样本点因为这里的样本点1 1、2 2、3 3已不已不是等可能出现的是等可能出现的解解在在 N 件产品中抽取件产品中抽取n件件,其中恰有其中恰有k 件次品的取法件次品的取法共有共有于是所求的概率为于是所求的概率为解解在在N件产品中抽取件产品中抽取n件的所有可能取法共有件的所有可能取法共有例例4 在在12000的整数中随机地取一个数的整数中随机地取一个数,问取到问取到的整数既不能被的整数既不能被6整除整除,又不能被又不能被8整除的概率是整除的概率是多少多少?设设 A 为事件为事件“取到的数能被取到的数能被6整除整除”,B为事件为事件“取到的数能被取到的数能被8整除整除”，则所求概率为，则所求概率为解解于是所于是所求求概率为概率为例例5 将将 15 名新生随机地平均分配到三个班级中名新生随机地平均分配到三个班级中去去,这这15名新生中有名新生中有3名是优秀生名是优秀生.问问 (1)每一个班每一个班级各分配到一名优秀生的概率是多少级各分配到一名优秀生的概率是多少?(2)3 名优名优秀生分配在同一个班级的概率是多少秀生分配在同一个班级的概率是多少?解解 15名新生平均分配到三个班级中的分法总数名新生平均分配到三个班级中的分法总数:(1)每一个班级各分配到一名优秀生的分法共有每一个班级各分配到一名优秀生的分法共有因此所求概率为因此所求概率为(2)将将3名优秀生分配在同一个班级的分法共有名优秀生分配在同一个班级的分法共有3种种,对于每一种分法对于每一种分法,其余其余12名新生的分法有名新生的分法有因此因此3名优秀生分配在同一个班级的分法共有名优秀生分配在同一个班级的分法共有因此所求概率为因此所求概率为例例6 某接待站在某一周曾接待过某接待站在某一周曾接待过 12次来访次来访,已知已知所有这所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的次接待都是在周二和周四进行的,问是问是否可以推断接待时间是有规定的否可以推断接待时间是有规定的.假设接待站的接待时间没有假设接待站的接待时间没有规定规定,且各来访者在一周的任一天且各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的中去接待站是等可能的.解解周一周一周二周二周三周三周四周四周五周五周六周六周日周日12341277777 故一周内接待故一周内接待 12 次来访共有次来访共有小概率事件在实际中几乎是不可能发生的小概率事件在实际中几乎是不可能发生的,从从而可知接待时间是有规定的而可知接待时间是有规定的.周一周一周二周二周三周三周四周四周五周五周六周六周日周日周二周二周四周四12341222222 12 次接待都是在周二和周四进行的共有次接待都是在周二和周四进行的共有故故12 次接待都是在周二和周四进行的概率为次接待都是在周二和周四进行的概率为例例7 假设每人的生日在一年假设每人的生日在一年 365 天中的任一天天中的任一天是等可能的是等可能的,即都等于即都等于 1/365,求求 64 个人中至少个人中至少有有2人生日相同的概率人生日相同的概率.64 个人生日各不相同的概率为个人生日各不相同的概率为故故64 个人中至少有个人中至少有2人生日相同的概率为人生日相同的概率为解解说明说明我们利用软件包进行数值计算我们利用软件包进行数值计算.定义定义 当随机试验的样本空间是某个区域当随机试验的样本空间是某个区域，并且并且任意一点落在度量任意一点落在度量(长度长度、面积面积、体积体积)相同的相同的子区域是等可能的子区域是等可能的，则事件则事件 A 的概率可定义为的概率可定义为说明说明 当古典概型的试验结果为连续无穷多个时当古典概型的试验结果为连续无穷多个时,就归结为几何概型就归结为几何概型.三、几何概型三、几何概型 那么那么 两人会面的充要条件为两人会面的充要条件为例例8 甲、乙两人相约在甲、乙两人相约在 0 到到 T 这段时间内这段时间内,在在预预定地点会面定地点会面.先到的人等候另一个人先到的人等候另一个人,经过时间经过时间 t(t0)的一些平行直的一些平行直线线,现向此平面任意投掷一根长为现向此平面任意投掷一根长为b(b0,)0,则称则称为事件为事件 A A 发生的条件下事件发生的条件下事件 B B 发生的条件概率，记为发生的条件概率，记为条件概率的计算方法条件概率的计算方法（1 1）等可能概型可用缩减样本空间法；）等可能概型可用缩减样本空间法；（2 2）其他概型用定义与有关公式。）其他概型用定义与有关公式。条件概率也是概率，它符合概率的定义，具有概率的性质：条件概率也是概率，它符合概率的定义，具有概率的性质：非负性非负性 规范性规范性 可列可加性可列可加性 乘法公式：利用条件概率求积事件的概率就是乘法公式乘法公式：利用条件概率求积事件的概率就是乘法公式 一般地，条件概率与无条件概率之间的大小无确定的关系一般地，条件概率与无条件概率之间的大小无确定的关系全概率公式与贝叶斯（全概率公式与贝叶斯（BayesBayes）公式公式已知已知全概率公式全概率公式AB1AB2ABnABnB2B1意义分割的意义是对样本空间的分类不同条件下事件B发生的概率不同事件B的概率是所有不同条件下的条件概率的加权平均在连续情形下的推广BayesBayes公式公式 在观察两个事件关系的时候，有时候需要知道在观察两个事件关系的时候，有时候需要知道A条件下条件下B发生的概率发生的概率P(A|B)，有时候需要知，有时候需要知道道B条件下条件下A发生的概率发生的概率P(B|A)Bayes公式揭示了这两个概率之间的关系公式揭示了这两个概率之间的关系1.条件概率条件概率全概率公式全概率公式贝叶斯公式贝叶斯公式小结小结乘法定理乘法定理定义：设定义：设 A,B 为两事件，若为两事件，若则称事件则称事件 A 与事件与事件 B 相互独立。相互独立。两事件相互独立的性质：两事件相互独立的性质：若若 若若 若四对事件若四对事件任何一对相互独立，则其它三对也相互独立任何一对相互独立，则其它三对也相互独立1.2.3 事件的独立性事件的独立性定义：三事件定义：三事件 A,B,C 相互独立是指下面的关系式同时成立相互独立是指下面的关系式同时成立注：注：1)不能由关系式不能由关系式(1)推出关系式推出关系式(2),反之亦然反之亦然;2)仅满足仅满足(1)式时式时,称称 A,B,C 两两独立两两独立.A,B,C 相互独立相互独立A,B,C 两两独立两两独立(1)(2)定义定义 n 个事件个事件 A1,A2,An 相互独立是指下面的关系式同相互独立是指下面的关系式同时成立：时成立：v若若 n 个事件个事件 A1,A2,An 相互独立，将这相互独立，将这 n 个事件任意分个事件任意分成成 k 组，同一个事件不能同时属于两个不同的组，则对每组组，同一个事件不能同时属于两个不同的组，则对每组的事件进行求和、积、差、对立等运算所得到的的事件进行求和、积、差、对立等运算所得到的 k 个事件也个事件也相互独立。相互独立。常利用独立事件的性质计算它们的并事件的概率。常利用独立事件的性质计算它们的并事件的概率。若若 n 个事件个事件 A1,A2,An 相互独立，则相互独立，则小结小结随机试验随机试验(random experiment):人工或自然过程、结果不止一个、事先无法确定。人工或自然过程、结果不止一个、事先无法确定。样本空间样本空间(sample space)：随机试验全部可能结果的集合。随机试验全部可能结果的集合。样本点样本点(sample point):。随机事件随机事件(random event):A 样本空间的一个子集。样本空间的一个子集。不可能事件：不可能事件：;必然事件必然事件 ：1.2.4 概率空间及有关概念概率空间及有关概念(子子)集类集类:由样本空间由样本空间的子集构成的集合，记作的子集构成的集合，记作F、A、B.(单调单调)事件列的极限事件列的极限:假设事件序列假设事件序列Ai，如果如果A1 A2 An ，我们称我们称Ai是是递增事件序列递增事件序列；如果如果A1 A2 An ，则称则称Ai是是递减事件序列递减事件序列;记记 称为称为(单调单调)事件序列的极限事件序列的极限。定义定义1：样本空间样本空间上的非空上的非空(子子)集类集类F 若满足条件若满足条件 (1)F F (F F)(2)若若A F AC F；(AC=-A)(3)若若An F，n N(n=1,2,)则称则称F F为为中的事件域，中的事件域，-域域(field)；注释：由注释：由(1)必然事件必然事件和不可能事件和不可能事件必须作为考察的对象；必须作为考察的对象；由由(2)任意事件任意事件A，及及其对立其对立事件一同考虑；事件一同考虑；由由(3)任意多个事件的并亦构成事件。任意多个事件的并亦构成事件。代数的性质代数的性质：假设假设F是是中任一事件中任一事件-代数，则：代数，则：1.F F (F F)；2.如果如果Ai F，i=1,2,n，则则 ;3.如果如果An F，n=1，2，.，则则 ；4.如果如果A F,B F，则则 A-B F,B-A F，。，。例例:随机实验随机实验E E：掷一枚骰子，则其样本空间为：掷一枚骰子，则其样本空间为：=1，2，3，4，5，6试验证下列事件类是否构成事件试验证下列事件类是否构成事件-代数：代数：(1)事件类：事件类：F F 1=,1,2,3,4,5,6(2)事件类；事件类；F F 2=,1,2,3,3,4,5,6(3)事件类：事件类：F F 3=,1,3,5,2,4,6解：解：(1)事件类：事件类：F F 1=,1,2,3,4,5,61,2=3,4,5,6 F F 1 F F 1不构成事件不构成事件-代数代数(2)事件类；事件类；F F 2=,1,2,3,3,4,5,61,2,33,4,5,6=3 F F 2 F F 2不构成事件不构成事件-代数代数(3)事件类：事件类：F F 3=,1,3,5,2,4,6F F 3是最小非平凡事件是最小非平凡事件-代数。代数。定义定义2 设设g是的一事件类，是的一事件类，(g)为为中的事件中的事件-代数代数如果：如果：(1).g (g);(2).对对于于中中任任意意包包含含g的的事事件件-代代数数F，有有(g)F。则则称称(g)为为包包含含的的最最小小事事件件-代代数数，也也称称(g)为为事事件件类类g生成的事件生成的事件-代数。代数。定定理理1 对对于于中中的的任任意意事事件件类类g，必必定定存存在在含含g的的最最小小事事件件-代代数数，并且等于中一切含，并且等于中一切含g的事件的事件-代数代数F i,i=1,2 之交，即之交，即 定定理理1表表明明，我我们们在在对对随随机机现现象象的的研研究究中中，总总可可以以从从一一些些感感兴兴趣趣的的事事件件类类g出出发发去去构构造造一一个个含含g的的最最小小事事件件-代代数数。这这样样可可以以排排除除一一些些对对研研究究目目标标无无关关的的事事件件，将将研研究究范范围围收收缩缩到到尽尽可可能能小的程度小的程度。定义定义3：设设F F 是定义在样本空间是定义在样本空间上的事件上的事件-代数代数.P(A)(A F F)为定义在为定义在F F上非负上非负(集合集合)函数，函数，且满足且满足 (1)A F F,0 P(A)1.(2)P()=1 (3)若若An F F，n N N，且且An Am=，当，当m n，则则 称称 P为为(,F F)上的上的概率测度概率测度(probability measure)，简称为简称为概率概率(probability)；定义定义4：样本空间样本空间与其上一个的与其上一个的域域F 构成一个构成一个可测可测空间空间(measurable space),记作记作(,F)。F F 中的任意中的任意元素元素(中的子集中的子集)称为称为可测集可测集(measurable set).称称(,F F,P)为为概率空间概率空间(probability space)；称称F F 为为事件域事件域；若若A F F，则则A称为称为随机事件随机事件(random event)，简称简称为事件；为事件；称称 P(A)为事件为事件A的的概率概率。概率的性质概率的性质假设给定概率空间假设给定概率空间(,F,P)，从概率定义中的三从概率定义中的三条公理可以推出下列性质。条公理可以推出下列性质。(1)P()=0；(既不可能事件概率等于既不可能事件概率等于0)(2)对立事件的概率：对立事件的概率：(AC)=P()=1-P(A)；(3)有穷有穷(限限)可加性：对任意可加性：对任意Ai F，i N(i=1,2,n)且且Ai Aj=(i j)，则则 (4)如果事件如果事件B包含包含A(即即A B)，则则；(5)半可加性：对任意有穷个半可加性：对任意有穷个Ai F F，i N(i=1,2,n)，有有 P()(6)加法公式：对于任意加法公式：对于任意A,B F,有有 (7)一般加法一般加法(Jordan)公式：对于任意公式：对于任意Ai F，i N(i=1,2,n)，有有 1.2基本概念基本概念(8)概率的连续性定理概率的连续性定理a)若若An,n1是单调增是单调增(减减)序列，则序列，则b)设设An,n1是一事件序列，若是一事件序列，若 ，则，则 ;c)若若An,n1是相互独立事件序列，且是相互独立事件序列，且 ，则，则有有 supremum 上确界上确界 概率空间的建模方法概率空间的建模方法舍弃了对输出某个结果机制的观察，而是观察某个结果的输出可能性是对输出结果的统计观察先验量化的理由有许多完成先验量化的是概率集函数随机试验随机试验E样本空间样本空间事件事件代数代数F F概率测度概率测度P(A)事件类事件类A随机试验随机试验E的数学模型的数学模型概率空间概率空间(,F F,P)通过随机试验建立其数学模型通过随机试验建立其数学模型理解概率空间的定义概率空间是对随机现象的基本建模方法概率空间有三个要素：样本空间、事件代数代数F、概率集函数P(A)(,F,P)样本空间和事件集是随机系统的输出概率集函数对事件发生可能性的大小进行了先验的量化