高中物理第十二章 第1讲 简谐运动 受迫振动.ppt

第十二章 机械振动 机械波 光第1讲 简谐运动 受迫振动知识点知识点 1 1 简谐运动简谐运动 单摆、单摆的周期公式单摆、单摆的周期公式 (即即 )1 1简谐运动简谐运动物体在跟位移大小成正比并且总是指向平衡位置的回复力物体在跟位移大小成正比并且总是指向平衡位置的回复力作用下的振动。作用下的振动。2 2简谐运动的特征简谐运动的特征(1)(1)动力学特征：回复力与位移大小成动力学特征：回复力与位移大小成_比，总指向比，总指向_。(2)(2)运动学特征：运动学特征：x x、v v、a a均按均按_(_(或余弦或余弦)规律发生周期规律发生周期性变化性变化(注意注意v v、a a的变化趋势相反的变化趋势相反)。(3)(3)能量特征：系统的机械能守恒，振幅能量特征：系统的机械能守恒，振幅A A不变。不变。正正平衡平衡位置位置正弦正弦3.3.简谐运动的两种模型简谐运动的两种模型模型模型弹簧振子弹簧振子单摆单摆模型模型示意示意图图模型模型弹簧振子弹簧振子单摆单摆特点特点 (1)(1)忽略弹簧的忽略弹簧的_和摩擦力和摩擦力(2)(2)弹簧对小球的弹力弹簧对小球的弹力提供提供_1)1)忽略细线的质量且忽略细线的质量且不可不可_(2)(2)小球的直径和摆角小球的直径和摆角要要_公式公式 回复力回复力_回复力回复力_周期周期_质量质量回复力回复力伸长伸长足够小足够小F=-kxF=-kx知识点知识点 2 2 简谐运动的数学表达式简谐运动的数学表达式 简谐运动的图像简谐运动的图像(即即x-tx-t图像图像)1.1.简谐运动的表达式简谐运动的表达式(1)(1)动力学表达式：动力学表达式：F Fkxkx，其中，其中“”表示回复力与位移的表示回复力与位移的方向相反。方向相反。(2)(2)运动学表达式：运动学表达式：x xAsin(tAsin(t)，其中，其中A A代表振幅，代表振幅，表表示简谐运动的快慢，示简谐运动的快慢，(t(t)代表简谐运动的相位，代表简谐运动的相位，叫做叫做初相。初相。2 2简谐运动的图像简谐运动的图像(1)(1)从平衡位置开始计时，函数表达式为从平衡位置开始计时，函数表达式为x xAsintAsint，图像如，图像如图甲所示。图甲所示。(2)(2)从最大位移处开始计时，函数表达式为从最大位移处开始计时，函数表达式为x xAcostAcost，图像，图像如图乙所示。如图乙所示。知识点知识点 3 3 受迫振动和共振受迫振动和共振 1.1.受迫振动受迫振动(1)(1)概念：振动系统在周期性概念：振动系统在周期性_作用下的振动。作用下的振动。(2)(2)特点：受迫振动的频率等于特点：受迫振动的频率等于_的频率，跟系统的固有的频率，跟系统的固有频率频率_。驱动力驱动力驱动力驱动力无关无关2.2.共振共振(1)(1)现象：当驱动力的频率等于系统的现象：当驱动力的频率等于系统的_时，受迫时，受迫振动的振幅最大。振动的振幅最大。(2)(2)条件：驱动力的频率等于条件：驱动力的频率等于_。(3)(3)特征：共振时振幅特征：共振时振幅_。(4)(4)共振曲线：如图所示。共振曲线：如图所示。固有频率固有频率固有频率固有频率最大最大【思考辨析思考辨析】(1)(1)机械振动就是简谐运动。机械振动就是简谐运动。()()(2)(2)弹簧振子做简谐运动，加速度最大时，速度最大。弹簧振子做简谐运动，加速度最大时，速度最大。()()(3)(3)做简谐运动的弹簧振子，若两时刻振子运动位移的大小相做简谐运动的弹簧振子，若两时刻振子运动位移的大小相等，方向相同，则两时刻时间差一定等于周期的整数倍。等，方向相同，则两时刻时间差一定等于周期的整数倍。()()(4)(4)做简谐运动的单摆，振幅越大周期越大。做简谐运动的单摆，振幅越大周期越大。()()(5)(5)摆球的质量增加为原来的摆球的质量增加为原来的4 4倍，摆球经过平衡位置时速度减倍，摆球经过平衡位置时速度减为原来的为原来的 时，则单摆的频率不变，振幅不变。时，则单摆的频率不变，振幅不变。()()(6)(6)做简谐运动的水平弹簧振子，在半个周期内，弹力做的功做简谐运动的水平弹簧振子，在半个周期内，弹力做的功一定为零。一定为零。()()(7)(7)简谐运动的图像代表质点的振动轨迹。简谐运动的图像代表质点的振动轨迹。()()分析：分析：只有满足只有满足F=-kxF=-kx关系的回复力作用下的机械振动才是简关系的回复力作用下的机械振动才是简谐运动，故谐运动，故(1)(1)错；弹簧振子做简谐运动，加速度最大时，速错；弹簧振子做简谐运动，加速度最大时，速度最小，故度最小，故(2)(2)错；做简谐运动的弹簧振子，若两时刻振子运错；做简谐运动的弹簧振子，若两时刻振子运动位移的大小相等，方向相同，由振动图像可知两时刻时间差动位移的大小相等，方向相同，由振动图像可知两时刻时间差不一定等于周期的整数倍，故不一定等于周期的整数倍，故(3)(3)错；做简谐运动的单摆，周错；做简谐运动的单摆，周期与振幅无关，故期与振幅无关，故(4)(4)错；在平衡位置错；在平衡位置(即最低点即最低点)时的动能时的动能 当当m m增为原来的增为原来的4 4倍，速度减为原来的倍，速度减为原来的 时，动能不时，动能不变，最高点的重力势能也不变，但是由于摆球的质量增大了，变，最高点的重力势能也不变，但是由于摆球的质量增大了，势能势能E Ep p=mgh=mgh不变，不变，m m大了，大了，h h就一定变小了，也就是说，振幅就一定变小了，也就是说，振幅减小了，故减小了，故(5)(5)错；根据动能定理，在某一段时间内弹力做的错；根据动能定理，在某一段时间内弹力做的功等于振子的动能的增量，在时间相差半个周期内的两个时刻，功等于振子的动能的增量，在时间相差半个周期内的两个时刻，振子的速度大小即速率一定相等，所以动能不变，在这段时间振子的速度大小即速率一定相等，所以动能不变，在这段时间内弹力做功为零，故内弹力做功为零，故(6)(6)对；简谐运动的图像不是振动质点的对；简谐运动的图像不是振动质点的轨迹，简谐运动图像实质是位移轨迹，简谐运动图像实质是位移-时间图像，故时间图像，故(7)(7)错。错。考点考点 1 1 简谐运动的特征简谐运动的特征(三年三年4 4考考)深化理解深化理解【考点解读考点解读】(1)(1)动力学特征：动力学特征：F=-kxF=-kx，“-”-”表示回复力的方向与位移方向表示回复力的方向与位移方向相反，相反，k k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数。是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数。(2)(2)运动学特征：简谐运动的加速度与物体偏离平衡位置的位运动学特征：简谐运动的加速度与物体偏离平衡位置的位移成正比而方向相反，为变加速运动，远离平衡位置时，移成正比而方向相反，为变加速运动，远离平衡位置时，x x、F F、a a、E Ep p均增大，均增大，v v、E Ek k均减小，靠近平衡位置时则相反。均减小，靠近平衡位置时则相反。(3)(3)运动的周期性特征：相隔运动的周期性特征：相隔T T或或nTnT的两个时刻振子处于同一位的两个时刻振子处于同一位置且振动状态相同。置且振动状态相同。(4)(4)对称性特征对称性特征相隔相隔 (n(n为正整数为正整数)的两个时刻，质点所处位置必定与的两个时刻，质点所处位置必定与原来的位置关于平衡位置对称，所有的运动描述量大小相等，原来的位置关于平衡位置对称，所有的运动描述量大小相等，如果为矢量则方向相反。如果为矢量则方向相反。质点在距平衡位置等距离的两个点上具有大小相等的速度、质点在距平衡位置等距离的两个点上具有大小相等的速度、加速度，在平衡位置两侧相等距离上运动时间也是相同的。加速度，在平衡位置两侧相等距离上运动时间也是相同的。(5)(5)能量特征：振动的能量包括动能能量特征：振动的能量包括动能E Ek k和势能和势能E Ep p，简谐运动过，简谐运动过程中，系统动能与势能相互转化，系统的机械能守恒。程中，系统动能与势能相互转化，系统的机械能守恒。【典例透析典例透析 1 1】(2013(2013合肥模拟合肥模拟)如图所示，一轻弹簧与质量如图所示，一轻弹簧与质量为为m m的物体组成弹簧振子，物体在同一条竖直直线上的的物体组成弹簧振子，物体在同一条竖直直线上的A A、B B间间做简谐运动，做简谐运动，O O为平衡位置，为平衡位置，C C为为AOAO的中点，已知的中点，已知CO=hCO=h，弹簧的，弹簧的劲度系数为劲度系数为k k。某时刻物体恰好以大小为。某时刻物体恰好以大小为v v的速度经过的速度经过C C点并向点并向上运动。则以此时刻开始半个周期的时间内，对质量为上运动。则以此时刻开始半个周期的时间内，对质量为m m的物的物体，下列说法正确的是体，下列说法正确的是()()A.A.重力势能减少了重力势能减少了2mgh2mghB.B.回复力做功为回复力做功为2mgh2mghC.C.速度的变化量的大小为速度的变化量的大小为0 0D.D.通过通过A A点时回复力的大小为点时回复力的大小为khkh【解题探究解题探究】(1)(1)简谐运动具有简谐运动具有_。(2)(2)速度是矢量，速度变化遵循速度是矢量，速度变化遵循_。(3)(3)回复力做功说明什么力做功？回复力做功说明什么力做功？提示：提示：回复力是由重力和弹力的合力提供，回复力做功即重力回复力是由重力和弹力的合力提供，回复力做功即重力和弹力的合力对物体做功。和弹力的合力对物体做功。对称性对称性矢量运算法则矢量运算法则【解析解析】选选A A。作出弹簧振子的振动图像如图所示，。作出弹簧振子的振动图像如图所示，由于振动的周期性和对称性，在半个周期内弹簧振子将运动到由于振动的周期性和对称性，在半个周期内弹簧振子将运动到O O点下方的点下方的D D点，点，C C、D D两点相对平衡位置两点相对平衡位置O O对称，因此弹簧振子对称，因此弹簧振子的高度降低了的高度降低了2h2h，重力做功，重力做功2mgh2mgh，故弹簧振子的重力势能减少，故弹簧振子的重力势能减少了了2mgh2mgh，A A项正确；回复力是该振子所受的合外力，由对称项正确；回复力是该振子所受的合外力，由对称关系知，弹簧振子过关系知，弹簧振子过D D点的速度大小与过点的速度大小与过C C点时相等，方向竖直点时相等，方向竖直向下，因此回复力做的功等于弹簧振子动能的改变量为零，而向下，因此回复力做的功等于弹簧振子动能的改变量为零，而速度的变化为速度的变化为v=v-(-v)=2vv=v-(-v)=2v，B B、C C错；弹簧振子通过错；弹簧振子通过A A点时相点时相对平衡位置的位移为对平衡位置的位移为2h2h，因此回复力，因此回复力F=-kx=-2khF=-kx=-2kh，D D项错。项错。【总结提升总结提升】平衡位置确定与回复力认识的误区平衡位置确定与回复力认识的误区解答本题的关键是要明确简谐运动具有对称性的特点，竖直方解答本题的关键是要明确简谐运动具有对称性的特点，竖直方向的弹簧振子做简谐运动的回复力是重力和弹簧弹力的合力，向的弹簧振子做简谐运动的回复力是重力和弹簧弹力的合力，以及重力做功与路径无关的特点。对易错选项及错误原因具体以及重力做功与路径无关的特点。对易错选项及错误原因具体分析如下：分析如下：易错角度易错角度错误原因错误原因易错选易错选B B在确定在确定A A项正确的基础上项正确的基础上,与水平放置的弹簧与水平放置的弹簧振子类比振子类比,认为回复力是弹簧的弹力认为回复力是弹簧的弹力,弹簧振弹簧振子受到重力和回复力两个力子受到重力和回复力两个力,半个周期内振半个周期内振子动能的变化为零子动能的变化为零,由动能定理知回复力做由动能定理知回复力做的功与重力做的功的代数和为零的功与重力做的功的代数和为零,即即W-W-2mgh=0,2mgh=0,因此错选因此错选B B项。实际上竖直方向的弹项。实际上竖直方向的弹簧振子的回复力是重力和弹簧弹力的合力提簧振子的回复力是重力和弹簧弹力的合力提供的供的易错选易错选C C忽视了速度是矢量忽视了速度是矢量,误将速度作为标量误将速度作为标量,求速求速度的变化量应按照矢量运算法则度的变化量应按照矢量运算法则,即平行四即平行四边形定则来计算边形定则来计算易错选易错选D D审题不仔细审题不仔细,误将误将C C点当做振动的平衡位置点当做振动的平衡位置,而实际上而实际上O O点才是振动的平衡位置点才是振动的平衡位置【变式训练变式训练】如图所示，劲度系数为如图所示，劲度系数为k k的轻弹簧上端固定一个的轻弹簧上端固定一个质量为质量为m m的小球，向下压小球后释放，使小球开始做简谐运动。的小球，向下压小球后释放，使小球开始做简谐运动。该过程弹簧对水平面的最大压力是该过程弹簧对水平面的最大压力是1.6 mg1.6 mg。求：。求：(1)(1)当小球运动到最高点时，小球对弹簧的弹力大小和方向如当小球运动到最高点时，小球对弹簧的弹力大小和方向如何？何？(2)(2)小球做简谐运动的振幅小球做简谐运动的振幅A A是多大？是多大？【解析解析】(1)(1)由题目已知条件可知，弹簧对水平面的最大压力由题目已知条件可知，弹簧对水平面的最大压力是是1.6 mg1.6 mg，此时弹簧的弹力应等于，此时弹簧的弹力应等于1.6 mg1.6 mg，处于压缩状态，则，处于压缩状态，则此时小球的回复力大小为此时小球的回复力大小为0.6 mg0.6 mg，方向向上。根据简谐运动的，方向向上。根据简谐运动的对称性可知，当小球运动到最高点时的回复力也是对称性可知，当小球运动到最高点时的回复力也是0.6 mg0.6 mg，方，方向向下。小球在最高点受重力和弹簧弹力，经分析得到小球对向向下。小球在最高点受重力和弹簧弹力，经分析得到小球对弹簧的弹力大小为弹簧的弹力大小为0.4 mg0.4 mg，方向向下。，方向向下。(2)(2)该简谐运动的平衡位置在弹簧被压缩了该简谐运动的平衡位置在弹簧被压缩了x x0 0=处，而小球处，而小球的最低点在弹簧被压缩了的最低点在弹簧被压缩了x=1.6 x=1.6 处，则振幅为处，则振幅为A=x-xA=x-x0 0=0.6 0.6 。答案：答案：(1)0.4mg (1)0.4mg 方向向下方向向下 (2)0.6(2)0.6【变式备选变式备选】如图所示，在质量为如图所示，在质量为M M的无下底的木箱顶部用一的无下底的木箱顶部用一轻弹簧悬挂质量均为轻弹簧悬挂质量均为m(Mm)m(Mm)的的A A、B B两物体，箱子放在水平地两物体，箱子放在水平地面上，平衡后剪断面上，平衡后剪断A A、B B间细线，此后间细线，此后A A将做简谐运动。当将做简谐运动。当A A运动运动到最高点时，木箱对地面的压力为到最高点时，木箱对地面的压力为()()A.Mg B.(MA.Mg B.(Mm)gm)gC.(MC.(Mm)g D.(Mm)g D.(M2m)g2m)g【解析解析】选选A A。由平衡条件可知线断时。由平衡条件可知线断时A A受到的回复力为受到的回复力为mgmg，当，当A A运动到最高点时回复力大小应为运动到最高点时回复力大小应为mgmg，方向向下，因而此时弹，方向向下，因而此时弹簧的弹力等于零，木箱对地的压力为簧的弹力等于零，木箱对地的压力为MgMg，故，故A A正确。正确。考点考点 2 2 简谐运动的图像简谐运动的图像 (三年三年9 9考考)拓展延伸拓展延伸【考点解读考点解读】(1)(1)由图像可以得出质点做简谐运动的振幅、周期。由图像可以得出质点做简谐运动的振幅、周期。(2)(2)可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移。可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移。(3)(3)可以根据图像确定某时刻质点回复力、加速度和速度的方可以根据图像确定某时刻质点回复力、加速度和速度的方向。向。回复力和加速度的方向：因回复力总是指向平衡位置，故回回复力和加速度的方向：因回复力总是指向平衡位置，故回复力和加速度在图像上总是指向复力和加速度在图像上总是指向t t轴。轴。速度的方向：速度的方向可以通过下一时刻位移的变化来速度的方向：速度的方向可以通过下一时刻位移的变化来判定，下一时刻位移如增加，振动质点的速度方向就是远离判定，下一时刻位移如增加，振动质点的速度方向就是远离t t轴，下一时刻位移如减小，振动质点的速度方向就是指向轴，下一时刻位移如减小，振动质点的速度方向就是指向t t轴。轴。【典例透析典例透析 2 2】(2013(2013泉州模拟泉州模拟)劲度系数为劲度系数为20 N/cm20 N/cm的弹簧的弹簧振子振子,它的振动图像如图所示它的振动图像如图所示,则则()()A.AA.A点对应的时刻，振子所受弹力大小为点对应的时刻，振子所受弹力大小为5 N5 N，方向指向，方向指向x x轴正轴正方向方向B.AB.A点对应的时刻，振子的速度方向指向点对应的时刻，振子的速度方向指向x x轴的正方向轴的正方向C.C.在在0 04 s4 s内振子做了内振子做了1.751.75次全振动次全振动D.D.在在0 04 s4 s内振子通过的路程为内振子通过的路程为0.35 cm0.35 cm，位移为零，位移为零【解题探究解题探究】(1)(1)弹力提供回复力，且满足弹力提供回复力，且满足_。(2)(2)据图像可得据图像可得_、_及及_。(3)(3)振子通过的路程振子通过的路程_。【解析解析】选选B B。由题图可知据。由题图可知据A A点对应的位移点对应的位移x=0.25 cmx=0.25 cm，据，据F=F=-kx-kx可知可知A A点对应的时刻，振子所受弹力大小为点对应的时刻，振子所受弹力大小为5 N5 N，方向指向，方向指向x x轴负方向，速度方向指向轴负方向，速度方向指向x x轴的正方向，轴的正方向，A A错错B B对；在对；在0 04 s4 s内内振子做了振子做了2 2次全振动，通过的路程为次全振动，通过的路程为4 cm4 cm，位移为，位移为0 0，C C、D D错。错。F=-kxF=-kx振动周期振动周期振幅振幅任意时刻速度的方向任意时刻速度的方向【总结提升总结提升】利用图像分析振动物理量的方法利用图像分析振动物理量的方法(1)(1)简谐运动的图像不是振动质点的轨迹，简谐运动图像实质简谐运动的图像不是振动质点的轨迹，简谐运动图像实质是位移是位移-时间图像，对同一振动的物体，图像的形状与起始时时间图像，对同一振动的物体，图像的形状与起始时刻的选取和正方向的规定有关。刻的选取和正方向的规定有关。(2)(2)要将图像所提供的信息与简谐运动特征有机结合起来，并要将图像所提供的信息与简谐运动特征有机结合起来，并注意发掘隐含信息，这类问题一般都需要明确振动的周期和振注意发掘隐含信息，这类问题一般都需要明确振动的周期和振幅及某时刻速度方向，并在此基础上沿着幅及某时刻速度方向，并在此基础上沿着xFaExFaEp pEEk k思路思路分析各量的变化。分析各量的变化。(3)(3)分析此类问题的关键是建立起振动图像和振动过程的联分析此类问题的关键是建立起振动图像和振动过程的联系，结合初始时刻的位置、周期和振幅来计算一定时间内的系，结合初始时刻的位置、周期和振幅来计算一定时间内的路程，若初始时刻的位置在平衡位置或最大位移处，则路程路程，若初始时刻的位置在平衡位置或最大位移处，则路程s=s=4A4A，若初始时刻的位置不在特殊位置，且时间不满足半，若初始时刻的位置不在特殊位置，且时间不满足半周期的整数倍，则路程应结合函数关系进行计算。周期的整数倍，则路程应结合函数关系进行计算。【变式训练变式训练】(2013(2013上海七校模拟上海七校模拟)如图所示为某弹簧振子在如图所示为某弹簧振子在0 05 s 5 s 内的振动图像，由图可知，下列说法中正确的是内的振动图像，由图可知，下列说法中正确的是()()A.A.振动周期为振动周期为5 s5 s，振幅为，振幅为8 cm8 cmB.B.第第2 s2 s末振子的速度为零，加速度为负向的最大值末振子的速度为零，加速度为负向的最大值C.C.第第3 s3 s末振子的速度为正向的最大值末振子的速度为正向的最大值 D.D.从第从第1 s1 s末到第末到第2 s2 s末振子在做加速运动末振子在做加速运动【解析解析】选选C C。根据图像，周期。根据图像，周期T=4 sT=4 s，振幅，振幅A=8 cmA=8 cm，A A错误；错误；第第2 s2 s末振子到达波谷位置，速度为零，加速度最大，但沿末振子到达波谷位置，速度为零，加速度最大，但沿x x轴轴正方向，正方向，B B错误；第错误；第3 s3 s末振子经过平衡位置，速度达到最大，末振子经过平衡位置，速度达到最大，且向且向x x轴正方向运动轴正方向运动,C,C正确；从第正确；从第1 s1 s末到第末到第2 s2 s末振子经过平末振子经过平衡位置向下运动到达波谷位置，速度逐渐减小，衡位置向下运动到达波谷位置，速度逐渐减小，D D错误。错误。考点考点 3 3 受迫振动和共振受迫振动和共振 (三年三年5 5考考)对比分析对比分析【考点解读考点解读】(1)(1)自由振动、受迫振动和共振的比较自由振动、受迫振动和共振的比较 振动类型振动类型比较项目比较项目自由振动自由振动受迫振动受迫振动共振共振受力情况受力情况 仅受仅受回复力回复力 周期性周期性驱动力作用驱动力作用 周期性周期性驱动力作用驱动力作用 振动类型振动类型比较项目比较项目自由振动自由振动受迫振动受迫振动共振共振振动周期振动周期或频率或频率 由系统本由系统本身性质决身性质决定，即固定，即固有周期或有周期或固有频率固有频率 由驱动力的由驱动力的周期或频率周期或频率决定，即决定，即T=T=T T驱驱或或f f=f=f驱驱 T T驱驱=T=T固固或或 f f驱驱=f=f固固振动能量振动能量 振动物体振动物体的机械能的机械能不变不变 由产生驱动由产生驱动力的物体力的物体提供提供 振动物体振动物体获得的能量获得的能量最大最大常见例子常见例子 弹簧振子弹簧振子或单摆或单摆(1010)机械工作时机械工作时底座发生的底座发生的振动振动 共振筛、转共振筛、转速计等速计等(2)(2)共振曲线共振曲线如图所示，横坐标为驱动力频率如图所示，横坐标为驱动力频率f f驱驱，纵坐标为振幅，纵坐标为振幅A A。它直观。它直观地反映了驱动力频率对受迫振动振幅的影响，由图可知，地反映了驱动力频率对受迫振动振幅的影响，由图可知，f f驱驱与与f f固固越接近，振幅越接近，振幅A A越大，当越大，当f f驱驱f f固固时，振幅时，振幅A A最大。最大。【典例透析典例透析 3 3】下表表示某受迫振动的振幅随驱动力频率变化下表表示某受迫振动的振幅随驱动力频率变化的关系，若该振动系统的固有频率为的关系，若该振动系统的固有频率为f f固固，则，则()()A.fA.f固固60 Hz B60 Hz B60 Hzf60 Hzf固固70 Hz70 HzC C50 Hzf50 Hzf固固60 Hz D60 Hz D以上选项都不对以上选项都不对驱动力驱动力频率频率/Hz/Hz303040405050606070708080受迫振动受迫振动振幅振幅/cm/cm10.210.216.816.827.227.228.128.116.516.58.38.3【解题探究解题探究】(1)(1)振动系统的固有频率由振动系统的固有频率由_决定，与决定，与_无关。无关。(2)(2)共振曲线反映振动系统的振幅随驱动力频率变化的关系共振曲线反映振动系统的振幅随驱动力频率变化的关系是是_。系统本身系统本身驱动力驱动力驱动力频率越接近系统的固有频率，系统的振幅越大驱动力频率越接近系统的固有频率，系统的振幅越大【解析解析】选选C C。由如图所示的共振曲线可判断出。由如图所示的共振曲线可判断出f f驱驱与与f f固固相差相差越大，受迫振动的振幅越小，越大，受迫振动的振幅越小，f f驱驱与与f f固固越接近，受迫振动的越接近，受迫振动的振幅越大，并从中看出振幅越大，并从中看出f f驱驱越接近越接近f f固固，振幅的变化越慢。比，振幅的变化越慢。比较各组数据知较各组数据知f f驱驱在在505060 Hz60 Hz范围内时，振幅变化最小。因此，范围内时，振幅变化最小。因此，50 Hzf50 Hzf固固60 Hz0 x0的空间中存在沿的空间中存在沿y y轴负方向的匀强轴负方向的匀强电场和垂直于电场和垂直于xOyxOy平面向里的匀强磁场，电场强度大小为平面向里的匀强磁场，电场强度大小为E E，磁，磁感应强度大小为感应强度大小为B B。一质量为。一质量为m,m,带电量为带电量为q(qq(q0)0)的粒子从坐标的粒子从坐标原点原点O O处，以初速度处，以初速度v v0 0沿沿x x轴正方向射入，粒子的运动轨迹见图轴正方向射入，粒子的运动轨迹见图甲甲(不计粒子的重力不计粒子的重力)。现只改变入射粒子初速度的大小，发现。现只改变入射粒子初速度的大小，发现考查内容考查内容振动的处理方法在综合问题中的应用振动的处理方法在综合问题中的应用初速度大小不同的粒子虽然运动轨迹初速度大小不同的粒子虽然运动轨迹(y-x(y-x曲线曲线)不同，但具有不同，但具有相同的空间周期性，如图乙所示；同时，这些粒子在相同的空间周期性，如图乙所示；同时，这些粒子在y y轴方向轴方向上的运动上的运动(y-t(y-t关系关系)是简谐运动，且都有相同的周期是简谐运动，且都有相同的周期当入射粒子的初速度大小为当入射粒子的初速度大小为v v0 0时，其时，其y-ty-t图像如图丙所示，求该图像如图丙所示，求该粒子在粒子在y y轴方向上做简谐运动的振幅轴方向上做简谐运动的振幅A,A,并写出并写出y-ty-t的函数表达式。的函数表达式。【规范解答规范解答】设粒子在设粒子在y y方向上的最大位移为方向上的最大位移为y ym m(图丙曲线的最图丙曲线的最高点处高点处)，对应的粒子运动速度大小为，对应的粒子运动速度大小为v v2 2(方向沿方向沿x x轴轴)，因为粒，因为粒子在子在y y方向的运动为简谐运动，因而在方向的运动为简谐运动，因而在y=0y=0和和y=yy=ym m处粒子所受的处粒子所受的合外力大小相等，方向相反，则合外力大小相等，方向相反，则qvqv0 0B-qE=-(qvB-qE=-(qv2 2B-qE)B-qE)由动能定理有由动能定理有-qEy-qEym m=又又A Ay y=y=ym m 由由式解得式解得可写出图丙曲线满足的简谐运动可写出图丙曲线满足的简谐运动y-ty-t函数表达式为函数表达式为答案：答案：单摆单摆模型模型 1.1.模型构建模型构建在细线的一端挂上一个小球，另一端固定在悬点上，这样的装在细线的一端挂上一个小球，另一端固定在悬点上，这样的装置的振动是一种简谐运动也是变速圆周运动。置的振动是一种简谐运动也是变速圆周运动。2.2.模型条件模型条件(1)(1)细线和小球的质量相比，细线的质量可以忽略。细线和小球的质量相比，细线的质量可以忽略。(2)(2)小球与线的长度相比，细线的长度远大于小球的直径，细小球与线的长度相比，细线的长度远大于小球的直径，细线的伸缩可以忽略。线的伸缩可以忽略。(3)(3)阻力可以忽略。阻力可以忽略。3.3.模型特点模型特点(1)(1)受力特征受力特征当单摆做小角度摆动时，其受力情况为：受到一个恒定的竖直当单摆做小角度摆动时，其受力情况为：受到一个恒定的竖直向下的重力向下的重力mgmg和一个变化的始终沿绳方向指向悬点的拉力和一个变化的始终沿绳方向指向悬点的拉力T T，而将这些力分别沿垂直于和平行于而将这些力分别沿垂直于和平行于运动速度方向分解，其中垂直于速运动速度方向分解，其中垂直于速度方向上的力使摆球的速度方向发度方向上的力使摆球的速度方向发生改变，充当摆球绕悬点做变速圆生改变，充当摆球绕悬点做变速圆周运动所需的向心力，周运动所需的向心力，平行于速度平行于速度方向上的力使摆球的速度大小发生改变，充当摆球的回复力。方向上的力使摆球的速度大小发生改变，充当摆球的回复力。(2)(2)运动特征运动特征由于回复力与偏离平衡位置的位移的比例系数为由于回复力与偏离平衡位置的位移的比例系数为将其代入简谐运动周期的一般表达式中，得将其代入简谐运动周期的一般表达式中，得即单摆振动周期与摆球质量即单摆振动周期与摆球质量m m、振幅、振幅A A都无关，与摆长都无关，与摆长l和重力和重力加速度加速度g g有关。有关。【典例典例】(2012(2012大纲版全国卷大纲版全国卷)一单摆在地面处的摆动周期与一单摆在地面处的摆动周期与在某矿井底部摆动周期的比值为在某矿井底部摆动周期的比值为k k。设地球的半径为。设地球的半径为R R。假定地。假定地球的密度均匀。已知质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为球的密度均匀。已知质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为零，求矿井的深度零，求矿井的深度d d。【深度剖析深度剖析】设地面处重力加速度为设地面处重力加速度为g g，地球质量为，地球质量为M M，地球的，地球的密度为密度为，根据重力等于万有引力，有，根据重力等于万有引力，有把地球看做球体，地球质量把地球看做球体，地球质量设摆长为设摆长为l的单摆在地面处的周期的单摆在地面处的周期设矿井底部的重力加速度为设矿井底部的重力加速度为gg，质量为，质量为m m的物体在距地面深为的物体在距地面深为d d的矿井底的重力等于万有引力，有：的矿井底的重力等于万有引力，有：式中球核的质量式中球核的质量M=M=该单摆在矿井底的周期该单摆在矿井底的周期由题意：由题意：T=kTT=kT联立以上各式得：联立以上各式得：d=R(1-kd=R(1-k2 2)答案：答案：R(1-kR(1-k2 2)【名师指津名师指津】利用单摆公式应注意的问题利用单摆公式应注意的问题在有些振动系统中在有些振动系统中l不一定是绳长，不一定是绳长，g g也不一定为也不一定为9.8 m/s9.8 m/s2 2，因，因此出现了等效摆长和等效重力加速度的问题。此出现了等效摆长和等效重力加速度的问题。(1)(1)等效摆长：在图中，等效摆长：在图中，三根等长的绳三根等长的绳l1 1、l2 2、l3 3共同系住一密共同系住一密度均匀的小球度均匀的小球m m，球直径为，球直径为d d。l2 2、l3 3与天花板的夹角与天花板的夹角3030。若摆球在纸面内做小角度的左右摆动，则摆动圆弧的圆。若摆球在纸面内做小角度的左右摆动，则摆动圆弧的圆心在心在O O1 1处，故等效摆长为处，故等效摆长为l1 1 周期周期若摆球做垂直纸面的小角度摆动，则摆动圆弧的圆心在若摆球做垂直纸面的小角度摆动，则摆动圆弧的圆心在O O处，处，故等效摆长为故等效摆长为l1 1l2 2sinsin周期周期T T2 2(2)(2)等效重力加速度：公式中的等效重力加速度：公式中的g g由单摆由单摆所在的空间位置决定。由所在的空间位置决定。由 知，知，g g随地球表面不同位置、不同高度而变化，在不同星球上也不相随地球表面不同位置、不同高度而变化，在不同星球上也不相同，应求出单摆所在处的等效值同，应求出单摆所在处的等效值gg代入公式代入公式 ，即，即g g不一定等不一定等于于9.8 m/s9.8 m/s2 2。【变式训练变式训练】有两个同学利用假期分别去参观北大和南大的物有两个同学利用假期分别去参观北大和南大的物理实验室，各自在那里利用先进的理实验室，各自在那里利用先进的DISDIS系统较准确地探究了系统较准确地探究了“单摆的周期单摆的周期T T与摆长与摆长l的关系的关系”，他们通过校园网交换实验数，他们通过校园网交换实验数据，并由计算机绘制了据，并由计算机绘制了T T2 2-l图像，如图甲所示。去北大的同学图像，如图甲所示。去北大的同学所测实验结果对应的图线是所测实验结果对应的图线是_(_(选填选填“A”A”或或“B”)B”)。另。另外，在南大做探究的同学还利用计算机绘制了外，在南大做探究的同学还利用计算机绘制了a a、b b两个摆球的两个摆球的振动图像振动图像(如图乙如图乙)，由图可知，两单摆摆长之比，由图可知，两单摆摆长之比 _。在在t t1 s1 s时，时，b b球振动的方向是球振动的方向是_。【解析解析】由单摆的周期公式由单摆的周期公式 得：得：T T2 2 即图像的即图像的斜率斜率 重力加速度越大，斜率越小，我们知道北京的重力重力加速度越大，斜率越小，我们知道北京的重力加速度比南京的大，所以去北大的同学所测实验结果对应的图加速度比南京的大，所以去北大的同学所测实验结果对应的图线是线是B B；从题图乙可以得出：；从题图乙可以得出：T Tb b1.5T1.5Ta a，由单摆的周期公式得：，由单摆的周期公式得：T Ta aT Tb b 联立解得：联立解得：从题图乙可以看出，从题图乙可以看出，t t1 s1 s时时b b球正在向负最大位移运动，所以球正在向负最大位移运动，所以b b球的振动方向沿球的振动方向沿y y轴负方轴负方向。向。答案：答案：B B 沿沿y y轴负方向轴负方向 【双基题组双基题组】1.1.弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动，在振子向平衡位置运弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动，在振子向平衡位置运动的过程中动的过程中()()A A振子所受的回复力逐渐增大振子所受的回复力逐渐增大 B B振子的位移逐渐增大振子的位移逐渐增大C C振子的速度逐渐减小振子的速度逐渐减小 D D振子的加速度逐渐减小振子的加速度逐渐减小【解析解析】选选D D。在振子向平衡位置运动的过程中，振子的位移。在振子向平衡位置运动的过程中，振子的位移逐渐减小，逐渐减小，B B错；振子所受回复力逐渐减小，加速度逐渐减小，错；振子所受回复力逐渐减小，加速度逐渐减小，A A错，错，D D对；但加速度方向与速度方向相同，故速度逐渐增大，对；但加速度方向与速度方向相同，故速度逐渐增大，C C错。错。2 2一质点做简谐运动时，其振动图像如图所示。由图可知，一质点做简谐运动时，其振动图像如图所示。由图可知，在在t t1 1和和t t2 2时刻，质点运动的时刻，质点运动的()()A A位移相同位移相同 B B回复力相同回复力相同C C速度相同速度相同 D D加速度相同加速度相同【解析解析】选选C C。从题图中可以看出在。从题图中可以看出在t t1 1和和t t2 2时刻，质点的位移大时刻，质点的位移大小相等、方向相反。则在小相等、方向相反。则在t t1 1和和t t2 2时刻质点所受的回复力大小相时刻质点所受的回复力大小相等、方向相反，加速度大小相等、方向相反，等、方向相反，加速度大小相等、方向相反，A A、B B、D D错误；错误；在在t t1 1和和t t2 2时刻，质点都是从负最大位移向正最大位移运动，速时刻，质点都是从负最大位移向正最大位移运动，速度方向相同，由于位移大小相等，所以速度大小相等，度方向相同，由于位移大小相等，所以速度大小相等，C C正确，正确，故选故选C C。3 3如图为一弹簧振子的振动图像，由此可知如图为一弹簧振子的振动图像，由此可知()()A A在在t t1 1时刻，振子的动能最大，所受的弹力最大时刻，振子的动能最大，所受的弹力最大B B在在t t2 2时刻，振子的动能最大，所受的弹力最小时刻，振子的动能最大，所受的弹力最小C C在在t t3 3时刻，振子的动能最大，所受的弹力最小时刻，振子的动能最大，所受的弹力最小D D在在t t4 4时刻，振子的动能最大，所受的弹力最大时刻，振子的动能最大，所受的弹力最大【解析解析】选选B B。由振动图像可知，质点。由振动图像可知，质点t t2 2和和t t4 4时刻在平衡位置处，时刻在平衡位置处，t t1 1和和t t3 3时刻在最大位移处，根据弹簧振子振动的特征，弹簧振时刻在最大位移处，根据弹簧振子振动的特征，弹簧振子在平衡位置时的速度最大，动能最大，加速度为零，弹力为子在平衡位置时的速度最大，动能最大，加速度为零，弹力为零，零，B B对、对、D D错；在最大位移处，速度为零，动能最小，加速度错；在最大位移处，速度为零，动能最小，加速度最大，弹力最大，最大，弹力最大，A A、C C错。错。4 4如图所示，