(精品)第五章 角动量守恒与刚体的定轴转动.ppt
第五章第五章 角动量守恒与刚体的定轴转动角动量守恒与刚体的定轴转动安徽大学出版社ANHUI UNIVERSITY大学物理学 安徽大学出版社安徽大学出版社 大学物理学 28 January 2023Page2ANHUI UNIVERSITY 51 角动量与角动量守恒定律 52 刚体的定轴转动 5 53 3 刚体定轴转动中的功能关系刚体定轴转动中的功能关系第五章第五章 角动量守恒与刚体的定轴转动角动量守恒与刚体的定轴转动 5 54 4 刚体进动刚体进动 5 55 5 对称性和守恒定律对称性和守恒定律 大学物理学Page 第五章第五章角动量守恒与刚体的定轴转动角动量守恒与刚体的定轴转动 ANHUI UNIVERSITY 28 January 20233 51 角动量与角动量守恒定律一、质点的角动量定理和角动量守恒定律一、质点的角动量定理和角动量守恒定律 类似于描述转动运动时的角量类似于描述转动运动时的角量(角速度和角加速度角速度和角加速度),引引入入角动量角动量,也称也称动量矩动量矩.1.质点的角动量质点的角动量(angular momentum)质量为质量为 的质点以速度的质点以速度 在在空间运动空间运动,某时刻相对原点某时刻相对原点 O 的位的位矢为矢为 ,质点相对于原点的角动量质点相对于原点的角动量定义为定义为:大小大小:方向方向:的方向垂直于的方向垂直于 和和 所组成的平面所组成的平面,符合右手法符合右手法则则.单位单位:大学物理学Page 第五章第五章角动量守恒与刚体的定轴转动角动量守恒与刚体的定轴转动 ANHUI UNIVERSITY 28 January 20234 说明说明a).并非质点作周期性曲线运动才有角动量并非质点作周期性曲线运动才有角动量.b).质点的角动量是相对于选定的参考点定义的质点的角动量是相对于选定的参考点定义的.2.质点的角动量定理质点的角动量定理(牛顿第二定律牛顿第二定律)力矩力矩 大学物理学Page 第五章第五章角动量守恒与刚体的定轴转动角动量守恒与刚体的定轴转动 ANHUI UNIVERSITY 28 January 20235冲量矩冲量矩 质点所受合外力对任一参考点的力矩等质点所受合外力对任一参考点的力矩等于质点对该点角动量随时间的变化率于质点对该点角动量随时间的变化率.质点角动量定理的微分形式质点角动量定理的微分形式质点角动量定理的积分形式质点角动量定理的积分形式质点所受外力的冲量矩等于质点角动量的增量质点所受外力的冲量矩等于质点角动量的增量.牛顿定律牛顿定律质点角动量定理质点角动量定理导出导出惯性系惯性系适用适用 大学物理学Page 第五章第五章角动量守恒与刚体的定轴转动角动量守恒与刚体的定轴转动 ANHUI UNIVERSITY 28 January 202363.质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律 恒矢量恒矢量 质点所受质点所受合外力对某一固定点的力矩为合外力对某一固定点的力矩为零零,则质则质点点对该点的角动量对该点的角动量保持不变保持不变.力矩为零的两种可能力矩为零的两种可能 a)合外力为零合外力为零,质点不质点不受外力作用受外力作用.b)合外力不为零合外力不为零,合外合外力是有心力力是有心力.大学物理学Page 第五章第五章角动量守恒与刚体的定轴转动角动量守恒与刚体的定轴转动 ANHUI UNIVERSITY 28 January 20237二、质点系的角动量定理和角动量守恒定律二、质点系的角动量定理和角动量守恒定律定义定义:组成质点系的各质点对给定参考点的角动量的矢量和组成质点系的各质点对给定参考点的角动量的矢量和.1.质点系的角动量质点系的角动量2.质点系的角动量定理质点系的角动量定理内力矩内力矩 大学物理学Page 第五章第五章角动量守恒与刚体的定轴转动角动量守恒与刚体的定轴转动 ANHUI UNIVERSITY 28 January 20238 质点系的角动量随时间的变化质点系的角动量随时间的变化率等于它所受到的合外力矩率等于它所受到的合外力矩.质点系角动量定理的微分形式质点系角动量定理的微分形式质点系角动量定理的积分形式质点系角动量定理的积分形式 质点系获得的冲量矩等于其角质点系获得的冲量矩等于其角动量的增量动量的增量.3.质点系的角动量守恒定律质点系的角动量守恒定律 恒矢量恒矢量 质点质点系系所受所受合外力矩为合外力矩为零零时时,其其角动量角动量守恒守恒.大学物理学Page 第五章第五章角动量守恒与刚体的定轴转动角动量守恒与刚体的定轴转动 ANHUI UNIVERSITY 28 January 20239证:先证明质点在运动过程中所受力矩为零先证明质点在运动过程中所受力矩为零.例1 质量为m的质点，在 xy 平面内运动，质点的矢径为 其中a,b,均为正常量，且ab,证明运动过程中角动量守恒求其大小及方向.质点的角动量守恒质点的角动量守恒.恒矢量恒矢量 按定义按定义,有有 大学物理学Page 第五章第五章角动量守恒与刚体的定轴转动角动量守恒与刚体的定轴转动 ANHUI UNIVERSITY 28 January 202310例2 在光滑的水平面上,质量为M的木块连在劲度系数为k原长为 的轻弹簧上,弹簧的另一端固定在平面上的O点.一质量为m的子弹,以水平速度 (与OA垂直)射向木块,并停在其中,然后一起由A点沿曲线运动到B点.已知OB=l,求物体在B点的速度的大小和 角的大小.联立三式联立三式,可解得可解得:解:设子弹入射木块后的速度为设子弹入射木块后的速度为 .根据动量守恒根据动量守恒,机械能机械能守恒和角动量守恒守恒和角动量守恒,有有 大学物理学Page 第五章第五章角动量守恒与刚体的定轴转动角动量守恒与刚体的定轴转动 ANHUI UNIVERSITY 28 January 202311试问试问:是否可以对全过程用机械能守恒定律计算是否可以对全过程用机械能守恒定律计算,为什么为什么?大学物理学Page 第五章第五章角动量守恒与刚体的定轴转动角动量守恒与刚体的定轴转动 ANHUI UNIVERSITY 28 January 202312 52 刚体的定轴转动一、一、定轴转动定轴转动刚体的角动量和转动惯量刚体的角动量和转动惯量 刚体可以看成刚体可以看成质点系质点系,考虑刚考虑刚体绕固定轴转动的情况体绕固定轴转动的情况.1.定轴转动定轴转动刚体的角动量刚体的角动量方向方向:沿轴方向沿轴方向,若在轴上选定正方向若在轴上选定正方向,则定轴转动刚则定轴转动刚体的角动量是一个代数量体的角动量是一个代数量.质量为质量为 的第的第 个质点到转个质点到转轴的距离为轴的距离为 ,刚体以角速度刚体以角速度 绕绕定轴转动时定轴转动时,可得其角动量为可得其角动量为:大学物理学Page 第五章第五章角动量守恒与刚体的定轴转动角动量守恒与刚体的定轴转动 ANHUI UNIVERSITY 28 January 202313转动惯性的量度转动惯性的量度,与平动中质量地位相当与平动中质量地位相当.对于质量连续分布刚体的转动惯量对于质量连续分布刚体的转动惯量：质量元：质量元2.转动惯量转动惯量：质量元到转轴距离：质量元到转轴距离对质量线分布的刚体：对质量线分布的刚体：质量线密度：质量线密度对质量面分布的刚体：对质量面分布的刚体：质量面密度：质量面密度 大学物理学Page 第五章第五章角动量守恒与刚体的定轴转动角动量守恒与刚体的定轴转动 ANHUI UNIVERSITY 28 January 202314对质量体分布的刚体：对质量体分布的刚体：质量线密度：质量线密度单位单位:例例1 1 求质量为 ,半径为 的均匀薄圆盘,对通过盘中心且与盘面垂直的轴的转动惯量.ORO 解解 设圆盘面密度为设圆盘面密度为 ，在盘，在盘上取半径为上取半径为 ,宽为宽为 的圆环的圆环.圆环质量圆环质量圆环对轴的转动惯量圆环对轴的转动惯量 大学物理学Page 第五章第五章角动量守恒与刚体的定轴转动角动量守恒与刚体的定轴转动 ANHUI UNIVERSITY 28 January 202315 解解 在杆上任取一长度元在杆上任取一长度元 ,该线元的质量为该线元的质量为 O例例2 2 一一质量为质量为 ,长为长为 的的均匀细杆的转动惯量均匀细杆的转动惯量.(1)转轴转轴垂直于杆并通过杆的中点垂直于杆并通过杆的中点;(2)转轴垂直于杆并通过杆的一转轴垂直于杆并通过杆的一端端.O转轴过端点转轴过端点:故对中心转轴故对中心转轴:大学物理学Page 第五章第五章角动量守恒与刚体的定轴转动角动量守恒与刚体的定轴转动 ANHUI UNIVERSITY 28 January 202316*平行轴定理平行轴定理 转动惯量取决于刚体的质量转动惯量取决于刚体的质量,形状及转轴的位置形状及转轴的位置.质量为质量为 的刚体的刚体,如果对其质如果对其质心轴的转动惯量为心轴的转动惯量为 ,则对任一与则对任一与该轴平行该轴平行,相距为相距为 的转轴的转动的转轴的转动惯量惯量:CO说明说明例例2 2第二问结果可改写为第二问结果可改写为*常见刚体转动惯量常见刚体转动惯量几何形状不规则的刚体的转动惯量几何形状不规则的刚体的转动惯量,由实验测定由实验测定.大学物理学Page 第五章第五章角动量守恒与刚体的定轴转动角动量守恒与刚体的定轴转动 ANHUI UNIVERSITY 28 January 202317 圆环转轴通过中心圆环转轴通过中心与盘面垂直与盘面垂直r圆环转轴沿直径圆环转轴沿直径r 大学物理学Page 第五章第五章角动量守恒与刚体的定轴转动角动量守恒与刚体的定轴转动 ANHUI UNIVERSITY 28 January 202318薄圆盘转轴通过薄圆盘转轴通过中心与盘面垂直中心与盘面垂直r2r1圆筒转轴沿几何轴圆筒转轴沿几何轴r 大学物理学Page 第五章第五章角动量守恒与刚体的定轴转动角动量守恒与刚体的定轴转动 ANHUI UNIVERSITY 28 January 202319lr圆柱体转轴沿几何轴圆柱体转轴沿几何轴lr 圆柱体转轴通过中圆柱体转轴通过中心与几何轴垂直心与几何轴垂直 大学物理学Page 第五章第五章角动量守恒与刚体的定轴转动角动量守恒与刚体的定轴转动 ANHUI UNIVERSITY 28 January 202320l 细棒转轴通细棒转轴通过中心与棒垂直过中心与棒垂直l 细棒转轴通过端细棒转轴通过端点与棒垂直点与棒垂直 大学物理学Page 第五章第五章角动量守恒与刚体的定轴转动角动量守恒与刚体的定轴转动 ANHUI UNIVERSITY 28 January 2023212r球体转轴沿直径球体转轴沿直径2r球壳转轴沿直径球壳转轴沿直径 大学物理学Page 第五章第五章角动量守恒与刚体的定轴转动角动量守恒与刚体的定轴转动 ANHUI UNIVERSITY 28 January 202322 刚体刚体的角动量随时间的变化率的角动量随时间的变化率等于它所受到的合外力矩等于它所受到的合外力矩.刚体定轴转动角动量定理的积分形式刚体定轴转动角动量定理的积分形式 刚体刚体角动量的增量等角动量的增量等于刚体受到的冲量矩于刚体受到的冲量矩.2.角动量守恒定律角动量守恒定律 恒矢量恒矢量 刚体刚体所受所受合外力矩为合外力矩为零零时时,其其角动量角动量守恒守恒.二、二、刚体刚体定轴转动定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律的角动量定理和角动量守恒定律刚体定轴转动角动量定理的微分形式刚体定轴转动角动量定理的微分形式1.刚体刚体定轴转动定轴转动的角动量定理的角动量定理 大学物理学Page 第五章第五章角动量守恒与刚体的定轴转动角动量守恒与刚体的定轴转动 ANHUI UNIVERSITY 28 January 202323角动量守恒实例角动量守恒实例茹科夫斯基转椅 大学物理学Page 第五章第五章角动量守恒与刚体的定轴转动角动量守恒与刚体的定轴转动 ANHUI UNIVERSITY 28 January 202324解法一解法一：用动量定理和角动量定理求解用动量定理和角动量定理求解.例例例例 一一质量为质量为M,长度为长度为l的均匀细棒的均匀细棒,可绕过其顶端的水平可绕过其顶端的水平轴轴O自由转动自由转动,质量为质量为m的子弹以水平速度的子弹以水平速度 射入静止的细射入静止的细棒下端棒下端,穿出后速度损失穿出后速度损失3/4,求子弹穿出后棒所获得的角速求子弹穿出后棒所获得的角速度度.设棒对子弹的阻力为设棒对子弹的阻力为f ,则由动量定理则由动量定理,子弹对棒的冲击力为子弹对棒的冲击力为f ,则由角动量定理则由角动量定理,而而比较两式比较两式,得得:大学物理学Page 第五章第五章角动量守恒与刚体的定轴转动角动量守恒与刚体的定轴转动 ANHUI UNIVERSITY 28 January 202325解法二解法二：用角动量守恒定律求解用角动量守恒定律求解.系统所受合力矩为零系统所受合力矩为零,角动量守恒角动量守恒.由此解得由此解得:三、三、刚体刚体定轴转动定轴转动定律定律(law of rotation)刚体在作定轴转动时，刚体的角刚体在作定轴转动时，刚体的角加速度与它所受到的合外力矩成加速度与它所受到的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比正比，与刚体的转动惯量成反比.注意注意 刚体定轴转动中得刚体定轴转动中得转动定律转动定律与牛顿定律在质点直与牛顿定律在质点直线运动中得地位相当线运动中得地位相当.大学物理学Page 第五章第五章角动量守恒与刚体的定轴转动角动量守恒与刚体的定轴转动 ANHUI UNIVERSITY 28 January 202326 例例 质量为质量为m,长为长为l 的均质细杆的均质细杆,可绕水平的光滑轴在竖可绕水平的光滑轴在竖直平面内转动直平面内转动,转轴在杆的转轴在杆的A 端端.若若使棒从静止开始由水平使棒从静止开始由水平位置下摆位置下摆,求：杆摆至铅直位置时的角速度和角加速度求：杆摆至铅直位置时的角速度和角加速度.解：考虑摆动到如图位置解：考虑摆动到如图位置,力力N 对轴无力矩对轴无力矩,重力的力矩为重力的力矩为:OAcmgN根据转动定律根据转动定律,有有:分离变量分离变量,求积分可得求积分可得:大学物理学Page 第五章第五章角动量守恒与刚体的定轴转动角动量守恒与刚体的定轴转动 ANHUI UNIVERSITY 28 January 202327解之得解之得:将将代入代入,得得因为在铅直位置因为在铅直位置,
