大学物理下电学.ppt
1蔡亮蔡亮Email:手机：手机：13488729714课件可见于课件可见于2 概率论与数理统计概率论与数理统计课程介绍课程介绍:48学时学时,共讲共讲8章章.5 5章是章是概率论，概率论，章是章是数理统计数理统计本课程的平时成绩包括作业本课程的平时成绩包括作业,测验和点名测验和点名平时成绩所占的比例在全校范围内统一规定平时成绩所占的比例在全校范围内统一规定.3作业一律写在作业一律写在 数学作业纸数学作业纸 上上,每次作业都要写上自己的姓名学号和班号每次作业都要写上自己的姓名学号和班号,每周收每周收 一一 次作业次作业.每周作业必须在下周的周一上课的时候每周作业必须在下周的周一上课的时候 交给课代表交给课代表;然后然后,再由课代表交给老师再由课代表交给老师4作业题就写书上的习题号码作业题就写书上的习题号码,要认真要认真;要按要按时交作业时交作业;过时不收过时不收,不算成绩不算成绩.若有三分若有三分之一作业未交之一作业未交,取消考试资格取消考试资格.考试严格要求考试严格要求:全校统一命题全校统一命题,统一阅卷统一阅卷.希望大家刻苦努力希望大家刻苦努力,认真学习认真学习,最后取得最后取得好成绩好成绩!5 引引 言言 1.1.决定性决定性 现象现象在一定条件下必然发生（出现）在一定条件下必然发生（出现）某一结果的现象称为决定性现象某一结果的现象称为决定性现象.特点特点 在在相相同同的的条条件件下下，重重复复进进行行实实验验或或观观察察，它它的的结结果果总总是是确确定定不变的。不变的。6随机现象随机现象 即在相同的条件下，重复进行观测即在相同的条件下，重复进行观测或试验，它的结果未必是相同的。或试验，它的结果未必是相同的。在在一一定定的的条条件件下下，可可能能出出现现这这样样的的结结果果，也也可可能能出出现现那那样样的的结结果果，而而试试验验或或观观察察前，不能预知确切的结果。前，不能预知确切的结果。7随机现象随机现象的特点的特点：虽虽然然在在个个别别试试验验中中，其其结结果果呈呈现现出出不不确确定定性性，但但是是人人们们经经过过长长期期实实践践并并深深入入研研究究之之后后，发发现现在在大大量量重重复复试试验验或或观观察察下下，这类现象的结果呈现出某种规律性这类现象的结果呈现出某种规律性 这种在大量重复试验或观察中，这种在大量重复试验或观察中，所呈现出的固有规律性称之为统计规所呈现出的固有规律性称之为统计规律性律性8概率论与数理统计概率论与数理统计正是研究随机现象的这种统计规律性的正是研究随机现象的这种统计规律性的数学分支数学分支9 下面我们就来开始这门课程的学习下面我们就来开始这门课程的学习10概率论是数学的一个分支，它研究随机现象概率论是数学的一个分支，它研究随机现象的数量规律，的数量规律，概率论的应用几乎遍及所有的概率论的应用几乎遍及所有的科学领域，例如天气预报、科学领域，例如天气预报、地震预报、产品地震预报、产品的抽样调查，在通讯工程中概率论可用以提的抽样调查，在通讯工程中概率论可用以提高信号的抗干扰性、分辨率等等高信号的抗干扰性、分辨率等等.总之总之:概率概率论与数理统计在自然科学和社会科学的很多论与数理统计在自然科学和社会科学的很多领域都具有非常广泛的应用领域都具有非常广泛的应用.我对此不再展开我对此不再展开介绍了介绍了.先看一看概率论的有关应用先看一看概率论的有关应用11*下面看一个具体的例子：掷硬币下面看一个具体的例子：掷硬币_3.（大数定律）能不能相信，对于一个均匀硬币来讲，（大数定律）能不能相信，对于一个均匀硬币来讲，试验的次数越多，正面向上的比例越接近试验的次数越多，正面向上的比例越接近1/2呢？呢？4.（假设检验）假设不知道硬币是否均匀，是不是可（假设检验）假设不知道硬币是否均匀，是不是可以通过掷硬币来判断呢？要掷多少次呢？以通过掷硬币来判断呢？要掷多少次呢？1.（赌徒问题）（赌徒问题）甲有本金甲有本金100元，决心再赢元，决心再赢50元停止赌元停止赌博，赌法就是掷硬币，问：甲有多大可能输光？博，赌法就是掷硬币，问：甲有多大可能输光？2.（风险刻划）赌法是掷硬币，一种是每次赌金（风险刻划）赌法是掷硬币，一种是每次赌金10000元，一种是每次赌金元，一种是每次赌金10元，这两种赌博都是公平的，元，这两种赌博都是公平的，但你会参加哪一种呢？但你会参加哪一种呢？12 第一章第一章 古典概型与概率空间古典概型与概率空间在考虑一个在考虑一个(未来未来)事件是否会发生的时候事件是否会发生的时候,人人们常关心该事件发生的可能性的大小们常关心该事件发生的可能性的大小.就像用尺子测量物体的长度、我们用概率测就像用尺子测量物体的长度、我们用概率测量一个未来事件发生的可能性大小量一个未来事件发生的可能性大小.将概率作用于被测事件就得到该事件发生的将概率作用于被测事件就得到该事件发生的可能性大小的测量值可能性大小的测量值.为了介绍概率为了介绍概率,需要先介绍试验和事件需要先介绍试验和事件.131.1 1.1 试验与事件试验与事件1.试验试验我们把按照一定的想法去做的事情称为我们把按照一定的想法去做的事情称为随机试验随机试验.下面都是试验的例子下面都是试验的例子.掷一个硬币掷一个硬币,观察是否正面朝上观察是否正面朝上,掷两枚骰子掷两枚骰子,观察掷出的点数之和观察掷出的点数之和,在一副扑克牌中随机抽取两张在一副扑克牌中随机抽取两张,观察是否得到数字相观察是否得到数字相同的一对同的一对.在概率论的语言中在概率论的语言中,试验还是指对试验的一次观测或试验还是指对试验的一次观测或试验结果的测量过程试验结果的测量过程.142.样本空间样本空间投掷一枚硬币投掷一枚硬币,用用 表示硬币正面朝上表示硬币正面朝上,用用 表示硬币反面朝上表示硬币反面朝上,则试验有两个可能的则试验有两个可能的结果：结果：和和 .我们称我们称 和和 是是样本点样本点,称样本点的集合称样本点的集合 为试验的为试验的样本空间样本空间.15投掷一枚骰子投掷一枚骰子,用用1表示掷出点数表示掷出点数1,用用2表示掷表示掷出点数出点数2,用用6表示掷出点数表示掷出点数6.试验的可能结果是试验的可能结果是1,2,3,4,5,6.我们称这我们称这6个数是试验的样本点个数是试验的样本点.称样本点的集合称样本点的集合 是试验的样本空间是试验的样本空间.16为了叙述的方便和明确为了叙述的方便和明确,下面把一个特定的试下面把一个特定的试验称为试验验称为试验S.样本点样本点(sample point):称试验称试验 S 的可能结果的可能结果为样本点为样本点,用用 表示表示.样本空间样本空间(sample space):称试验称试验 S 的样本点的样本点构成的集合为样本空间构成的集合为样本空间,用用 表示表示.于是 173.事件事件投掷一枚骰子的样本空间是投掷一枚骰子的样本空间是A=3 表示掷出表示掷出3点点,则则A是是 的子集的子集.我们称我们称A是是事件事件.掷出掷出3点点,就称事件就称事件A发生发生,否则称事件否则称事件A不发生不发生.用集合用集合B=2,4,6表示掷出偶数点表示掷出偶数点,B是是 的的子集子集,我们也称我们也称B是是事件事件.当掷出偶数点当掷出偶数点,称事件称事件B发生发生,否则称事件否则称事件B不不发生发生.事件事件B发生和掷出偶数点是等价的发生和掷出偶数点是等价的.18设设 是试验是试验S的样本空间的样本空间.当当 中只有有限个样本点时中只有有限个样本点时,称称 的子集为事件的子集为事件.当试验的样本点当试验的样本点(试验结果试验结果)落在落在A中中,称事称事件件A发生发生,否则称否则称A不发生不发生.按照上述约定按照上述约定,子集符号子集符号 表示表示A是事件是事件.通常用大写字母通常用大写字母 A,B,C,D 等表示事件等表示事件.19例例1.将一枚硬币抛掷两次，则样本空间为将一枚硬币抛掷两次，则样本空间为事件事件A表示表示“两次出现的面不同两次出现的面不同”,可记可记作作 A:“两次出现的面不同两次出现的面不同”或或 A=两次出现的面不同两次出现的面不同 用样本空间的子集可表达为用样本空间的子集可表达为A=(H,T),(T,H)=(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)HheadTtail20特殊的事件：特殊的事件：必件然事 ：在每次试验中必出现在每次试验中必出现 中一个样本点，中一个样本点，即在每次试验中即在每次试验中 必发生必发生,因此称因此称 为必然事件为必然事件;不件可事能：在每次试验中，所出现的样本点都不在在每次试验中，所出现的样本点都不在f中，即在每次试验中中，即在每次试验中 都不发生，因此称都不发生，因此称 为不可能发生的事件。为不可能发生的事件。214.事件与集合事件与集合当A,B都是事件,则 都是事件.也就是说事件经过集合运算得到的结果还是事件.我们也用AB表示 .当 时,也用A+B表示 .225.事件的关系与运算事件的关系与运算事件的关系与运算事件的关系与运算（1）若若A B，则则称称事事件件B包包含含事事件件A，事事件件A包包含含于于事事件件B，指指的的是是事事件件A发发生生必必然然导致导致B发生发生23（2）若若A B，B A，即即A=B，则则称称事事件件A与事件与事件B相等。相等。24（3）事事件件A B称称为为事事件件A与与事事件件B的的并并（或和）事件。（或和）事件。当当且且仅仅当当A、B中中至至少少有有一一个个发发生生时时，事件事件A B发生。发生。“A、B中中至至少少有有一一个个发发生生时时”，“A发发生生或或B发生发生”与与“事件事件A B发生发生”是等价的。是等价的。25类似地，类似地，称称为为n个事件个事件A1,An的和事件。的和事件。称称为可列个事件为可列个事件A1,An,的和事件。的和事件。26（4）事事件件A B称称为为事事件件A与与事事件件B的的交交（或积）事件，也记作（或积）事件，也记作AB。当当且且仅仅当当A、B同同时时发发生生时时，事事件件AB发生。发生。“事事件件A和和B同同时时发发生生”，“A和和B都都发发生生”与与“事件事件AB发生发生”是等价的。是等价的。27称称为可列个事件为可列个事件A1,An,的积事件。的积事件。类似地，类似地，称称为为n个事件个事件A1,An的积事件。的积事件。28（5）事事件件A B称称为为事事件件A与与事事件件B的的差差事事件。件。当当且且仅仅当当A发发生生，B不不发发生生时时，事事件件 A B发生。发生。29类似地，类似地，若若n个事件个事件A1,An中中两两两两互互不不相相容容，则则称称这这n个个事事件件是互不相容的。是互不相容的。若若事事件件A1,An,中中任任意意两两个个事事件件是是互互不不相相容容的的，则则称称这这可可列列无无穷穷多多个个事事件件是是互互不不相容的。相容的。（6）若若A B=，称称为为事事件件A与与事事件件B互互不相容。不相容。30（7）若若A B=,A B=，称称事事件件A与与事事件件B为对立事件或逆事件。为对立事件或逆事件。在在每每次次试试验验中中，事事件件A、B中中必必有有一一个个发生，且仅有一个发生。发生，且仅有一个发生。（8）事件事件称为事件称为事件A的补事件。的补事件。当且仅当事件当且仅当事件A不发生时，事件不发生时，事件发生。发生。31事件的运算公式就是集合的运算公式事件的运算公式就是集合的运算公式,具有性质具有性质1,2,3,4,5(见书见书 p4)结合律结合律 分配律分配律 对偶公式对偶公式交换律交换律32 是是A的对立事件，的对立事件，=两件产品不都是合格品两件产品不都是合格品也可叙述为：也可叙述为：=两件产品中至少有一个是不合格品两件产品中至少有一个是不合格品A=两件产品都是合格品两件产品都是合格品，例例2：从一批产品中任取两件，观察合格：从一批产品中任取两件，观察合格品的情况品的情况.记记问：问：33(1)A发生发生,B与与C不发生不发生设设A、B、C为三个事件，用为三个事件，用A、B、C的的运算关系表示下列各事件运算关系表示下列各事件.或或(2)A与与B都发生都发生,而而C不发生不发生或或34 1.2 古典概率模型古典概率模型假定随机试验假定随机试验S有有限个可能的结果，有有限个可能的结果，并且并且假定从该试验的条件及实施方法上去分析，假定从该试验的条件及实施方法上去分析，我们找不到任何理由认为其中某一结果出现我们找不到任何理由认为其中某一结果出现的机会比另一结果出现的机会大或小，我们的机会比另一结果出现的机会大或小，我们只好认为所有结果在试验中有同等可能的出只好认为所有结果在试验中有同等可能的出现机会现机会.352 3479108615 例如，一个袋子中装有例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同个大小、形状完全相同的球的球.将球编号为将球编号为110.把球搅匀，蒙上眼睛，从把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球中任取一球.36 因为抽取时这些球是因为抽取时这些球是完全平等的，我们没有理完全平等的，我们没有理由认为由认为10个球中的某一个个球中的某一个会比另一个更容易取得会比另一个更容易取得.也就是说，也就是说，10个球中的任个球中的任一个被取出的机会是相等一个被取出的机会是相等的，均为的，均为1/10.2 347910861537 我们用我们用 i 表示取到表示取到i号球，号球，i=1,2,=1,2,10.,10.34791086152且每个样本点且每个样本点(或者说或者说基本事件基本事件)出现的可能出现的可能性相同性相同 .=1,2,10,则该试验的样本空间则该试验的样本空间如如i=238古典概率模型古典概率模型设 是试验S的样本空间.对于 的事件A,我们用P(A)表示A发生的可能性的大小,称P(A)是事件A发生的概率,简称为A的概率.概率是介于0和1之间的数,描述事件发生的可能性的大小.按照以上原则,如果事件A,B发生的可能性相同,则有 P(A)=P(B).如果事件A发生的可能性比B发生的可能性大2倍,则有 P(A)=2P(B).39用 ,分别表示事件A和样本空间 中样本点的个数.定义2.1设试验S的样本空间 是有限集合,.如果 的每个样本点发生的可能性相同,则称 (2.1)为试验S下A发生的概率,简称为事件A的概率.能够用定义2.1描述的模型称为古典概率模型,简称为古典概型.排列组合是计算古典概率的重要工具排列组合是计算古典概率的重要工具.40基本计数原理基本计数原理1.加法原理加法原理设完成一件事有设完成一件事有m种方式，种方式，第一种方式有第一种方式有n1种方法，种方法，第二种方式有第二种方式有n2种方法种方法,；第第m种方式有种方式有nm种方法种方法,无论通过哪种方法都可以无论通过哪种方法都可以完成这件事，完成这件事，则完成这件事总共则完成这件事总共有有n1+n2+nm 种方法种方法.41基本计数原理基本计数原理则完成这件事共有则完成这件事共有种不同的方法种不同的方法.2.乘法原理乘法原理设完成一件事有设完成一件事有m个步骤，个步骤，第一个步骤有第一个步骤有n1种方法，种方法，第二个步骤有第二个步骤有n2种方法种方法,；第第m个步骤有个步骤有nm种方法种方法,必须通过每一步骤必须通过每一步骤,才算完成这件事，才算完成这件事，42从从n个不同元素取个不同元素取 k个（允许重复）个（允许重复）（1 k n)的不同排列总数为：的不同排列总数为：例如：从装有例如：从装有4张卡片的盒中张卡片的盒中有放回地摸取有放回地摸取3张张3241n=4,k=3123第第1张张4123第第2张张4123第第3张张4共有共有4.4.4=43种可能取法种可能取法43n个不同元素分为个不同元素分为k组，各组元素数目分别组，各组元素数目分别为为r1,r2,rk的分法总数为的分法总数为r1个个元素元素r2个个元素元素rk个个元素元素n个个元素元素因为因为44例例4在在一一袋袋中中有有10 个个相相同同的的球球，分分别别标标有有号号码码 1,2,10。从中任取一个球，求。从中任取一个球，求此球的号码为偶数的概率。此球的号码为偶数的概率。解：令解：令A=球的号码为偶数球的号码为偶数=2,4,6,8,1045例例5在一袋中有在一袋中有10 个相同的球，分别标有号码个相同的球，分别标有号码1,2,10。每每次次任任取取一一个个球球，记记录录其其号号码码后后放放回回袋袋中中，再再任任取取下下一一个个。这这种种取取法法叫叫做做“有有放放回回抽抽取取”.今今有有放放回回抽抽取取3个个球球，求求这这3个个球球的的号号码码均均为为偶数的概率偶数的概率解：令解：令A=3个球的号码均为偶数个球的号码均为偶数 注意此处为有放回抽取注意此处为有放回抽取 46在一袋中有在一袋中有10 个相同的球，分别标有号码个相同的球，分别标有号码 1,2,10。每每次次任任取取一一个个球球，记记录录其其号号码码后后不不放放回回袋袋中中，再再任任取取下下一一个个。这这种种取取法法叫叫做做“不不放放回回抽抽取取”。今今不不放放回回抽抽取取3个个球球，求求这这3个个球球的的号号码码均均为偶数的概率。为偶数的概率。例例6解：令解：令A=3个球的号码均为偶数个球的号码均为偶数注意此处为无放回抽取注意此处为无放回抽取 47例例7在在一一袋袋中中有有10 个个相相同同的的球球，分分别别标标有有号号码码1,2,10。今今任任取取两两个个球球，求求取取得得的的第第一一个个球球号号码码为为奇奇数数，第第二二个个球球的的号号码码为偶数的概率。为偶数的概率。解：设解：设A=“取得的第一个球号码为奇数，第二个球取得的第一个球号码为奇数，第二个球的号码为偶数的号码为偶数”注意：第一个球是奇数，且第二个球是偶注意：第一个球是奇数，且第二个球是偶数，故有顺序要求，要用排列去做数，故有顺序要求，要用排列去做 48例例8设设一一批批同同类类型型的的产产品品共共有有N件件，其其中中次次品品有有M件件。今今从从中中任任取取n（假假定定n N-M）件件，求求次次品品恰恰有有k件件的的概概率率(0 k min(M,n)解答如下:49这是一种无放回抽样这是一种无放回抽样.解：令解：令B=恰有恰有k件次品件次品,P(B)=？次品正品M件件次品次品N-M件件正品正品50古典概率的基本性质古典概率的基本性质 设设S是古典概型，是古典概型，是其样本空间是其样本空间 A，A1，A2，An是试验是试验S中事件中事件,则有则有 0P（A）1 P（）=1，P（）=0 51 若若A1，A2，An是互不相容的事件，则有是互不相容的事件，则有 推论推论 52例例 9设有设有n个球，每个球都以同样的概率个球，每个球都以同样的概率1/N 落入到落入到N个格子个格子(N n)的每一个格子，试求的每一个格子，试求(1).某指定的某指定的n个格子中各有一球的概率个格子中各有一球的概率.(2).任何任何n个格子中各有一球的概率个格子中各有一球的概率.答案答案:(1)(2)53生日问题生日问题 一个一个50人的班级中，求至少有两个人生人的班级中，求至少有两个人生日相同的概率日相同的概率.(可参见可参见p7例例2.7)提示：A=(50人中至少有两个人生日相同人中至少有两个人生日相同)A short cut:故所求概率为故所求概率为:P(P(50人中没有两个人生日相同人中没有两个人生日相同)54 人数人数 至少有两人同至少有两人同 生日的概率生日的概率 20 0.411 21 0.444 22 0.476 23 0.507 24 0.538 30 0.706 40 0.891 50 0.970 60 0.994 关于生日问题有如下计算数据:55在概率论发展早期，人们就已经注意到在概率论发展早期，人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个样本点的随机试只考虑那种仅有有限个样本点的随机试验是不够的，还必须考虑试验结果是验是不够的，还必须考虑试验结果是无无穷多个的情形穷多个的情形，这中间最简单的一类是，这中间最简单的一类是试验结果是无穷多个，而又有某种试验结果是无穷多个，而又有某种“等等可能可能”的情形的情形56.G.g.如如 57几何概率几何概率定义定义 向向任任一一可可度度量量区区域域G G内内投投一一点点，如如果果所所投投的的点点落落在在G G中中任任意意可可度度量量区区域域g g内内的的可可能能性性与与g g的的度度量量成成正正比比，而而与与g g的的位位置置和和形形状状无无关关，则则称称这这个个随随机机试试验验为为几几何何型型随随机机试试验验。或或简简称称为为几几何何概概型。型。概率计算概率计算:P(A)=A的度量的度量/S的度量的度量58作业作业：1.2,1.3,1.4,1.51.2,1.3,1.4,1.5
