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Chap3 决策的基本理论决策的基本理论n n决决策策科科学学与与艺艺术术1 决策系统一、系统输入与输出一、系统输入与输出系统系统系统系统（决策研（决策研 究对象）究对象）系统的输入系统的输入系统的输入系统的输入系统的输出系统的输出系统的输出系统的输出可控可控可控可控决策变量（其取值称方案）决策变量（其取值称方案）决策变量（其取值称方案）决策变量（其取值称方案）不可控不可控不可控不可控自然状态变量（其取值称状态）自然状态变量（其取值称状态）自然状态变量（其取值称状态）自然状态变量（其取值称状态）【输入的取值输入的取值输入的取值输入的取值方案和状态的各种组合方案和状态的各种组合方案和状态的各种组合方案和状态的各种组合后果后果后果后果】【输入（后果）的函数输入（后果）的函数输入（后果）的函数输入（后果）的函数】目标函数（益损函数）：由决策目标决定目标函数（益损函数）：由决策目标决定目标函数（益损函数）：由决策目标决定目标函数（益损函数）：由决策目标决定约束函数：用来规定方案的可行性约束函数：用来规定方案的可行性约束函数：用来规定方案的可行性约束函数：用来规定方案的可行性二、决策系统的概念结构图二、决策系统的概念结构图 以单决策变量、单状态变量、单决策主体的离以单决策变量、单状态变量、单决策主体的离散型决策为例。散型决策为例。决策变量决策变量决策变量决策变量x x约束条件约束条件约束条件约束条件(l+kl+k)个个个个其它约束其它约束其它约束其它约束k k个个个个目标函数目标函数目标函数目标函数f f(mm个）个）个）个）决策系统决策系统决策系统决策系统S S自然状态变量自然状态变量自然状态变量自然状态变量环境系统环境系统SeSe约束函数约束函数约束函数约束函数v v(l l个）个）个）个）效用函数效用函数效用函数效用函数u u最优（满意）方案最优（满意）方案最优（满意）方案最优（满意）方案决策决策决策决策决策规则决策规则决策目标决策目标决策者决策者决策者决策者r r个可行个可行方案方案rqrq个个后果后果rqmrqm个个目标函数值目标函数值rqmrqm个个效用函数值效用函数值rqlrql个约束函数值个约束函数值q q个状态个状态m m个个目标函数目标函数目标函数目标函数S(S(人人人人)自然状态：自然状态：SeSe(天气天气)效用函数效用函数效用函数效用函数u u决策规则决策规则目标：舒适目标：舒适方案方案带伞带伞不带伞不带伞2222个个后果后果下雨下雨不下雨不下雨出门者偏好出门者偏好决策决策决策决策例：带伞问题决策例：带伞问题决策2 决策问题的模型描述一、决策系统的结构模型一、决策系统的结构模型1.决策系统的机理结构模型决策系统的机理结构模型 了解系统的运行机理了解系统的运行机理2.目标函数和约束函数的确定目标函数和约束函数的确定3.决策变量和自然状态变量的确定决策变量和自然状态变量的确定4.决策系统的变量结构模型决策系统的变量结构模型速生林木材剩余物制浆机械加工木浆造纸绿色消费废弃物n进口废纸浆、进口木浆进口废纸废弃物处理剩余物绿色消费废弃物碱、水回收处理废水资源再利用农田灌溉废液高压蒸汽燃烧苛化发电、供热污泥高强度包装板有机肥料CO2n n林林纸纸一一体体化化创创新新模模式式的的循循环环经经济济机机理理模模型型 BackBack2.目标函数和约束函数的确定目标函数和约束函数的确定n n广义上，有些约束函数和目标函数并无本质区别，都广义上，有些约束函数和目标函数并无本质区别，都广义上，有些约束函数和目标函数并无本质区别，都广义上，有些约束函数和目标函数并无本质区别，都由决策目标派生而来。例如由决策目标派生而来。例如由决策目标派生而来。例如由决策目标派生而来。例如“成本函数成本函数成本函数成本函数”：作为目标函数，在方案第二轮筛选（需求最优方案）时，作为目标函数，在方案第二轮筛选（需求最优方案）时，作为目标函数，在方案第二轮筛选（需求最优方案）时，作为目标函数，在方案第二轮筛选（需求最优方案）时，寻求成本最低方案；寻求成本最低方案；寻求成本最低方案；寻求成本最低方案；作为约束函数，在方案第一轮筛选（需求可行方案）时，作为约束函数，在方案第一轮筛选（需求可行方案）时，作为约束函数，在方案第一轮筛选（需求可行方案）时，作为约束函数，在方案第一轮筛选（需求可行方案）时，将成本高于某一约束界限值的方案舍弃。将成本高于某一约束界限值的方案舍弃。将成本高于某一约束界限值的方案舍弃。将成本高于某一约束界限值的方案舍弃。思考：如何确定目标函数和约束函数？一般而言：一般而言：n目标函数是决策者需要追求并努力使其达到目标函数是决策者需要追求并努力使其达到最优的变量，如销售量、利润、工期、质量等。最优的变量，如销售量、利润、工期、质量等。n约束函数是决策者希望确保并用以实现决策方案约束函数是决策者希望确保并用以实现决策方案的基本条件（如资金、劳动力、产能、原料供应等）的基本条件（如资金、劳动力、产能、原料供应等）或不希望违反的制约因素（如环保、政策、法律）或不希望违反的制约因素（如环保、政策、法律）即在于决策者是追求即在于决策者是追求即在于决策者是追求即在于决策者是追求“最优最优最优最优”，还是必须，还是必须，还是必须，还是必须“达标达标达标达标”。3.决策变量和自然状态变量的确定决策变量和自然状态变量的确定n n决策变量是实现决策目标的手段和途径。n n决策变量的确定一般没有固定方法，经验和创造性思维很重要。n n一些分析工具有益于决策变量的确定，如决策系统的输入体系结构（与输出体系类似）；目标手段链等。4.决策系统的变量结构模型决策系统的变量结构模型n n将决策系统的输入变量、输出变量体系间的关联画在一张图上，即形成决策系统的变量结构模型。决策变量决策变量x x1 1决策变量决策变量x x2 2决策变量决策变量x x3 3决策变量决策变量x x4 4状态变量状态变量 1 1状态变量状态变量 2 2状态变量状态变量 3 3目标函数目标函数f f1 1目标函数目标函数f f2 2约束函数约束函数v v1 1约束函数约束函数v v2 2约束函数约束函数v v3 3输入变量输入变量关联关联输出变量输出变量n n决策系统的变量结构模型决策系统的变量结构模型决策系统的变量结构模型决策系统的变量结构模型二、决策系统模型 描述了系统的输出和输描述了系统的输出和输入之间的函数关系，包括目标入之间的函数关系，包括目标函数（或效用函数）模型和约函数（或效用函数）模型和约束函数模型。束函数模型。1.目标函数模型一般形式：n nfi=fi(x,),i=1,m fi第i个目标函数；i=1,mn nx=x1,x2,xnT决策变量向量 xi第i个决策变量，i=1,nn n=1,2,pT自然状态变量向量 i第i个自然状态变量，i=1,p2.约束函数模型 一般形式：n nvi i=vi i(x,(x,),i),i=1,=1,l l vi i第第i i个约束函数个约束函数3.效用函数模型n nui i=ui i(x,(x,),i),i=1,=1,m m ui i第第i i个效用函数（效用函数总是越大个效用函数（效用函数总是越大越好。）越好。）F思考：效用函数总是越大越好。目标函数是否也如此？n目标函数有可能越大越好，如利润；目标函数有可能越大越好，如利润；n目标函数有可能越小越好，如成本；目标函数有可能越小越好，如成本；n目标函数有可能越接近某一定值越好，目标函数有可能越接近某一定值越好，例如：例如：按法正林思想，幼龄林、中龄林、按法正林思想，幼龄林、中龄林、近成熟林的面积比以各近成熟林的面积比以各1/3为佳；蓄积比以为佳；蓄积比以1：3：6为佳。为佳。三、决策模型n决策模型由决策目标模型和决策约束模型两部分组成。决策模型由决策目标模型和决策约束模型两部分组成。n决策模型的一般形式（以单目标决策模型为例）：决策模型的一般形式（以单目标决策模型为例）：s.t.上式中：求取使目标函数到达最大值的求取使目标函数到达最大值的 决策向量决策向量X的值。的值。第第i个约束函数的约束界限值。个约束函数的约束界限值。F满足所有约束条件的方案成为可行方案；所有满足所有约束条件的方案成为可行方案；所有可行方案的集合称为决策变量的可行域。可行方案的集合称为决策变量的可行域。决策变量的可行域表示为：决策变量的可行域表示为：X x|vi（x）（或，或，）i i,i=,i=1 1,l l,x xX。n类似地，多目标决策模型的一般形式为：类似地，多目标决策模型的一般形式为：s.t.i=i=1 1,l,ln离散型决策模型n对于离散型决策问题，决策模型难以对于离散型决策问题，决策模型难以表示成解析形式，只能以各变量和函数表示成解析形式，只能以各变量和函数的离散值的集合、矩阵、表格或图形等的离散值的集合、矩阵、表格或图形等形式给出。形式给出。例如：离散型决策模型的矩阵形式X=x(1),x(2),x(r)T=(1),(2),(q)TP=p(1),p(2),p(q)TU 式中，X决策变量x的可行方案向量；自然状态变量的状态向量；P自然状态变量的概率分布向量；U效用矩阵再如：离散型决策模型的决策表形式 自然状态 及其概率3 主观概率 决策后果的两个基本特征产生了决策的决策后果的两个基本特征产生了决策的两个基本问题：两个基本问题：n n后果的不确定性后果的不确定性主观概率主观概率n n后果的效用性后果的效用性 效用函数效用函数一、主观概率概念1.1.客观概率客观概率2.主观概率二、主观概率的估计方法1.1.逻辑推理法逻辑推理法逻辑推理法逻辑推理法 例如，每一张彩票中奖的概率例如，每一张彩票中奖的概率P=P=m/nm/n（n n为本期彩为本期彩票销量，票销量，mm为本期彩票中奖总数）为本期彩票中奖总数）2.2.利用过去、现在的数据资料估计（频度估算）利用过去、现在的数据资料估计（频度估算）利用过去、现在的数据资料估计（频度估算）利用过去、现在的数据资料估计（频度估算）例如，某商场根据例如，某商场根据A A商品过去商品过去3030天的日销售记录统计，天的日销售记录统计，计算各销量区间的发生频度，由此预计下月该产品某计算各销量区间的发生频度，由此预计下月该产品某销量区间的概率。销量区间的概率。3.3.概率分布模型法概率分布模型法概率分布模型法概率分布模型法 根据某随机变量的理论概率分布模型，由已知数据根据某随机变量的理论概率分布模型，由已知数据确定模型参数，由此预测该随机变量的概率分布。确定模型参数，由此预测该随机变量的概率分布。4.4.市场调查法市场调查法市场调查法市场调查法5.5.专家调查法（经验估计法）专家调查法（经验估计法）专家调查法（经验估计法）专家调查法（经验估计法）6.后验估计法后验估计法n用已发生的随机试验的信息修正原先得到用已发生的随机试验的信息修正原先得到的主观概率，得到新的主观概率。的主观概率，得到新的主观概率。n该方法的使用前提：能够得到后验信息。该方法的使用前提：能够得到后验信息。4 决策的效用理论一、效用函数一、效用函数一、效用函数一、效用函数1.1.效用函数是后果的实值函数效用函数是后果的实值函数效用函数是后果的实值函数效用函数是后果的实值函数 单目标决策问题的效用函数可表示为：单目标决策问题的效用函数可表示为：单目标决策问题的效用函数可表示为：单目标决策问题的效用函数可表示为：u=u=u(cu(c)=)=uc(x,uc(x,)=)=u(x,u(x,)式中式中,c c=c(x,c(x,）后果，由决策变量和自然状态变后果，由决策变量和自然状态变量决定。其矩阵形式如下：量决定。其矩阵形式如下：c c=c(x,c(x,）效用函数和后果的关系效用函数和后果的关系1 1）若决策者认为后果）若决策者认为后果c c（i i1 1,i i2 2）优于后果优于后果c c（j j1 1,j j2 2），），记作：记作：c c（i i1 1,i i2 2）c c（j j1 1,j j2 2）则则 u u（i i1 1,i i2 2）u u（j j1 1,j j2 2）2 2）若决策者认为后果）若决策者认为后果c c（i i1 1,i i2 2）劣于后果劣于后果c c（j j1 1,j j2 2），），记作：记作：c c（i i1 1,i i2 2）c c（j j1 1,j j2 2）则则 u u（i i1 1,i i2 2）u u（j j1 1,j j2 2）3 3）若决策者认为后果）若决策者认为后果c c（i i1 1,i i2 2）无异于后果无异于后果c c（j j1 1,j j2 2），），记作：记作：c c（i i1 1,i i2 2）c c（j j1 1,j j2 2）则则 u u（i i1 1,i i2 2）u u（j j1 1,j j2 2）2.效用函数效用函数u是后果优劣的一种度量，掺和着决策是后果优劣的一种度量，掺和着决策者的偏好和对风险的态度。者的偏好和对风险的态度。甲属于中间型决策者；乙属于保守型决策者；丙属于冒险型决策者。二、效用函数的类型二、效用函数的类型冲动型冲动型冲动型冲动型超脱型超脱型超脱型超脱型三、期望效用函数及其决策规则1.概念 后果效用值只反映了后果的优劣而不能反映方后果效用值只反映了后果的优劣而不能反映方后果效用值只反映了后果的优劣而不能反映方后果效用值只反映了后果的优劣而不能反映方案的优劣（例如单目标、单变量的效用矩阵中，案的优劣（例如单目标、单变量的效用矩阵中，案的优劣（例如单目标、单变量的效用矩阵中，案的优劣（例如单目标、单变量的效用矩阵中，每个方案每个方案每个方案每个方案x xi i都有都有都有都有q q个效用值来描述其优劣）。个效用值来描述其优劣）。个效用值来描述其优劣）。个效用值来描述其优劣）。因此方案之间的优劣无法直观地比较。需因此方案之间的优劣无法直观地比较。需因此方案之间的优劣无法直观地比较。需因此方案之间的优劣无法直观地比较。需要对其求数学期望。要对其求数学期望。要对其求数学期望。要对其求数学期望。即即即即 u(xu(x)=)=E E u(xu(x,)2.基于期望效用函数的风险型决策规则n n贝努利原理：期望效用值最大者为最优贝努利原理：期望效用值最大者为最优方案。方案。n n对决策者进行询问，如心理测试法对决策者进行询问，如心理测试法对决策者进行询问，如心理测试法对决策者进行询问，如心理测试法标标标标准测定法。准测定法。准测定法。准测定法。n n原理：采用问答方式，了解决策者对随机原理：采用问答方式，了解决策者对随机原理：采用问答方式，了解决策者对随机原理：采用问答方式，了解决策者对随机事件与确定型事件在效用值上的等价关系，事件与确定型事件在效用值上的等价关系，事件与确定型事件在效用值上的等价关系，事件与确定型事件在效用值上的等价关系，通过损益值及其对应的效用值得出相应坐通过损益值及其对应的效用值得出相应坐通过损益值及其对应的效用值得出相应坐通过损益值及其对应的效用值得出相应坐标点，以光滑曲线连接起来，得到该决策标点，以光滑曲线连接起来，得到该决策标点，以光滑曲线连接起来，得到该决策标点，以光滑曲线连接起来，得到该决策者的效用曲线。者的效用曲线。者的效用曲线。者的效用曲线。四、效用函数的构造四、效用函数的构造具体做法：n n对于特定的决策者，在不同的对于特定的决策者，在不同的5 5个事件中（个事件中（A A、B B、C C、D D、E E）确定其）确定其“最满足最满足”和和“最厌恶最厌恶”的事件（例如的事件（例如A A最满足，最满足，E E最厌恶），令最满足事件的效用为最厌恶），令最满足事件的效用为1 1，最，最厌恶事件的效用为厌恶事件的效用为0u(A)=1,u(E)=00u(A)=1,u(E)=0。若要测定若要测定u(Bu(B)，则提问：，则提问：“有方案有方案a a1 1,a,a2 2,:,:a a1 1可以可以P P的概率获得的概率获得A A和（和（1 1P P）的概率获得）的概率获得E E；a a2 2有有1 1概率获得概率获得B B。你认为你认为P P？时，方案？时，方案a a1 1与与a a2 2等效？等效？”此时，有此时，有P*u(A)+(1-P)*P*u(A)+(1-P)*u(Eu(E)=)=u(Bu(B)5 多目标决策理论多目标决策理论一、多目标决策问题及其模型一、多目标决策问题及其模型uu1.多目标决策问题：多目标决策问题：选择一个最优的可行方案，以满足若干个选择一个最优的可行方案，以满足若干个目标目标f1,f2,fm的要求。的要求。2.多目标决策问题的数学模型 或或s.t.vi(x)(或=,)i,i=1,.,l 表示形式：表示形式：上式中：xx1,xn T n维欧几里得空间R n（称作决策空间决策空间）中的决策向量；xi 第i个决策变量，i=1,.,n；X 决策空间可行域；X 决策空间值域；f(x)=f1(x),f2(x),.,fm(x)T m维欧几里得空间Rm（称作目标空间目标空间）中的目标向量；fi(x)第i个目标函数，i=1,.,m；vi(x)第i个约束函数，i=1,.,l；i 第i个约束函数的约束界限值，i=1,.,l。3.映射与反映射映射与反映射n n决策向量决策向量x x x x1 1,x xn n T T的某个常数向量值：的某个常数向量值：x x(k k)=)=x x1 1(k k1 1),),x xn n(k kn n)T T称为该多目标决策问题的一个备选决策称为该多目标决策问题的一个备选决策方案方案方案方案，又称为决，又称为决策空间的一个策空间的一个决策解决策解决策解决策解。可行方案又称为。可行方案又称为可行解可行解可行解可行解。此外，目标向量此外，目标向量f f(x x)的某个常数向量值的某个常数向量值f f x x(k k)称为该称为该多多目标决策问题的一个目标决策问题的一个目标值目标值目标值目标值，又称为目标空间的一个，又称为目标空间的一个目目目目标点标点标点标点。我们把目标点我们把目标点f f x x(k k)称作是决策空间的决策解称作是决策空间的决策解x x(k k)在在目标空间的目标空间的映射映射映射映射；反过来，称决策解反过来，称决策解x x(k k)为目标空间的目标点为目标空间的目标点f f x x(k k)在在决策空间的决策空间的反映射反映射反映射反映射。l映射和反映射示意以2维决策空间和2维目标空间为例决策空间可行域X决策解x(k)=x1(k1),x2(k2)Tx2x1目标空间可行域Ff2(x)=f2(x1,x2)f1(x)=f1(x1,x2)反映射映射目标点f x(k)=f1(x(k),f2(x(k)T决策空间和目标空间的映射和反映射决策空间和目标空间的映射和反映射二、多目标决策问题的基本特性二、多目标决策问题的基本特性1.目标间的矛盾性目标间的矛盾性例如：质量和成本；经济效益和生态环境效益；例如：质量和成本；经济效益和生态环境效益；例如：质量和成本；经济效益和生态环境效益；例如：质量和成本；经济效益和生态环境效益；旅游景点的开发和自然环境的保护旅游景点的开发和自然环境的保护旅游景点的开发和自然环境的保护旅游景点的开发和自然环境的保护 2.目标间的不可公度性目标间的不可公度性目标之间常常是没有共同的度量标准和量目标之间常常是没有共同的度量标准和量目标之间常常是没有共同的度量标准和量目标之间常常是没有共同的度量标准和量纲，因而难以比较，也难以通过加权等简单的方纲，因而难以比较，也难以通过加权等简单的方纲，因而难以比较，也难以通过加权等简单的方纲，因而难以比较，也难以通过加权等简单的方法综合成单目标。法综合成单目标。法综合成单目标。法综合成单目标。三、决策方案的二元优劣关系三、决策方案的二元优劣关系（备选方案两两比较的优劣关系）（备选方案两两比较的优劣关系）1.1.优于优于优于优于/劣于劣于劣于劣于 若某多目标决策问题的若某多目标决策问题的若某多目标决策问题的若某多目标决策问题的2 2个备选方案个备选方案个备选方案个备选方案x x(k k)和和和和x x(l l)的目标函数值有如下关系：的目标函数值有如下关系：的目标函数值有如下关系：的目标函数值有如下关系：n nf fi i x x(k k)f fi i x x(l l)i i=1,.,=1,.,mm，且至少且至少且至少且至少存在存在存在存在一个一个一个一个i i使使使使f fi i x x(k k)f fi i x x(l l)，则称方案，则称方案，则称方案，则称方案x x(k k)优于方优于方优于方优于方案案案案x x(l l)，记作，记作，记作，记作x x(k k)x x(l l)；同时，称方案；同时，称方案；同时，称方案；同时，称方案x x(l l)劣于方案劣于方案劣于方案劣于方案x x(k k)，记作，记作，记作，记作x x(l l)x x(k k)。上式中，上式中，上式中，上式中，x x(k k),),x x(l l)分别为决策向量分别为决策向量分别为决策向量分别为决策向量x x=x x1 1,x xn n T T的第的第的第的第k k和第和第和第和第l l个备选方案，个备选方案，个备选方案，个备选方案，x x(k k),),x x(l l)X X。2.无异于无异于 若某多目标决策问题的若某多目标决策问题的若某多目标决策问题的若某多目标决策问题的2 2个备选方案个备选方案个备选方案个备选方案x x(k k)和和和和x x(l l)的目标函数值有如下关系：的目标函数值有如下关系：的目标函数值有如下关系：的目标函数值有如下关系：n n f fi i x x(k k)=)=f fi i x x(l l)i i=1,.,=1,.,mm则称方案则称方案则称方案则称方案x x(k k)无异于方案无异于方案无异于方案无异于方案x x(l l)，记作，记作，记作，记作x x(k k)x x(l l)；或；或；或；或称方案称方案称方案称方案x x(l l)无异于方案无异于方案无异于方案无异于方案x x(k k)，记作，记作，记作，记作x x(l l)x x(k k)。3.优于或无异于优于或无异于/劣于或无异于劣于或无异于 若某多目标决策问题的若某多目标决策问题的若某多目标决策问题的若某多目标决策问题的2 2个备选方案个备选方案个备选方案个备选方案x x(k k)和和和和x x(l l)的目标函数值有如下关系：的目标函数值有如下关系：的目标函数值有如下关系：的目标函数值有如下关系：n n f fi i x x(k k)f fi i x x(l l)i i=1,.,=1,.,mm 则称方案则称方案则称方案则称方案x x(k k)优于或无异于方案优于或无异于方案优于或无异于方案优于或无异于方案x x(l l)，记作，记作，记作，记作x x(k k)x x(l l)；同时，称方案；同时，称方案；同时，称方案；同时，称方案x x(l l)劣于方案劣于方案劣于方案劣于方案x x(k k)，记作，记作，记作，记作x x(l l)x x(k k)。4.不可比不可比 若存在若存在若存在若存在i i j j（i i,j j=1,.,=1,.,mm），使得多目标决），使得多目标决），使得多目标决），使得多目标决策问题的策问题的策问题的策问题的2 2个备选方案个备选方案个备选方案个备选方案x x(k k)和和和和x x(l l)的目标函数值有的目标函数值有的目标函数值有的目标函数值有如下关系：如下关系：如下关系：如下关系：n n f fi i x x(k k)f fi i x x(l l)，且，且，且，且f fj j x x(k k)f fj j x x(l l)则称方案则称方案则称方案则称方案x x(k k)和和和和x x(l l)不可比，或不可比，或不可比，或不可比，或x x(l l)和和和和x x(k k)不可比，不可比，不可比，不可比，记作记作记作记作x x(k k)x x(l l)，或，或，或，或x x(l l)x x(k k)。5.二元优劣关系集二元优劣关系集优于劣于无异于可比不可比备选方案的二元关系备选方案的二元关系R 多目标决策的二元关系集n n多目标决策任意两个备选方案的优劣关系必定多目标决策任意两个备选方案的优劣关系必定多目标决策任意两个备选方案的优劣关系必定多目标决策任意两个备选方案的优劣关系必定是，且只能是以上是，且只能是以上是，且只能是以上是，且只能是以上4 4种关系之一。也就是说，二种关系之一。也就是说，二种关系之一。也就是说，二种关系之一。也就是说，二元关系集可表示为：元关系集可表示为：元关系集可表示为：元关系集可表示为：R R=四、决策方案的多元优劣关系四、决策方案的多元优劣关系 决策解的性质决策解的性质1.最优解最优解定义（定义（定义（定义（1 1）:若多目标决策问题存在可行解若多目标决策问题存在可行解若多目标决策问题存在可行解若多目标决策问题存在可行解x x*，满，满，满，满足以下条件：足以下条件：足以下条件：足以下条件：x x(k k)x x*k k=1,.,=1,.,r r；x x*X X=x x(k k)|)|k k=1,=1,.,.,r r 则则则则x x*为该多目标决策问题的最优解。上式中，为该多目标决策问题的最优解。上式中，为该多目标决策问题的最优解。上式中，为该多目标决策问题的最优解。上式中，X X为决策空间可行域。为决策空间可行域。为决策空间可行域。为决策空间可行域。定义（2）：对多目标决策问题的各目标函数分别进行单目对多目标决策问题的各目标函数分别进行单目标优化得：标优化得：若在决策空间中存在目标点（称作若在决策空间中存在目标点（称作理想点理想点理想点理想点）的反）的反映射决策解映射决策解x x*X X，即由上式解出的，即由上式解出的m m个单目标最个单目标最优解集优解集x x*(*(i i)（i i=1,=1,m m）的交集不为空集：）的交集不为空集：则称则称x x*X X*为决策空间的为决策空间的最优解最优解最优解最优解。n n 当最优解当最优解x x*存在时，存在时，x x*使得各个目标均达到使得各个目标均达到最优，因此也称作最优，因此也称作理想解理想解理想解理想解。说明：（1）最优解不一定存在。）最优解不一定存在。FF根据定义根据定义1 1，最优解，最优解x x*存在前提是：所有存在前提是：所有可行解的二元关系都是可比的，这一点难可行解的二元关系都是可比的，这一点难以保证。以保证。FF从定义从定义2 2来看，通常有：来看，通常有：因此多目标决策问题的最优解因此多目标决策问题的最优解x x*不一定存在。不一定存在。说明：（2）最优解不一定是唯一的。）最优解不一定是唯一的。FF根据定义根据定义1 1，二元关系，二元关系“劣于或无异于劣于或无异于”包含包含了了“无异于无异于”的情况，因此与最优解的情况，因此与最优解x x*无差别无差别的决策解也是最优解。的决策解也是最优解。FF从定义从定义2 2来看，如果交集不为空成立，单目标来看，如果交集不为空成立，单目标最优解集的交集最优解集的交集X X*有可能含有多个解。有可能含有多个解。2.非劣解非劣解若多目标决策问题存在可行解若多目标决策问题存在可行解 满足以下条件：满足以下条件：x x(k k)k k=1,.,=1,.,r r；X X=x x(k k)|)|k k=1,=1,.,.,r r 则则 为该多目标决策问题的为该多目标决策问题的非劣解非劣解非劣解非劣解。上式中，符号上式中，符号“”表示不优于。表示不优于。n n由于由于“不优于不优于”=n n所以，若把式中的所以，若把式中的“”去掉，非劣解就成了去掉，非劣解就成了最优解。可见，最优解是非劣解的特例。最优解。可见，最优解是非劣解的特例。3.劣解劣解 若多目标决策问题至少存在一个可行解若多目标决策问题至少存在一个可行解x x(k k)，使得：，使得：x x(k k)X X=x x(k k)|)|k k=1,.,=1,.,r r 则则 为该多目标决策问题的为该多目标决策问题的劣解劣解劣解劣解。l l多目标决策时，劣解是不予考虑的多目标决策时，劣解是不予考虑的 。4.最佳调和解最佳调和解n n当多目标决策问题不存在最优解时，决策者须要在非劣解集中寻找一个能够使各个决策目标都取得比较满意的目标值的决策解，这个解就叫做多目标决策问题的最佳调和解最佳调和解。n n显然，判断最佳调和解并没有统一的标准，它将取决于决策规则和决策者对各目标的偏好。5.决策解优劣关系的几何解释决策解优劣关系的几何解释（1）离散型多目标决策）离散型多目标决策n n某企业欲决定某产品应当采用哪种生产工艺，某企业欲决定某产品应当采用哪种生产工艺，同时要进行原料的选择。设，这两者依次是决同时要进行原料的选择。设，这两者依次是决策变量策变量x x1 1和和x x2 2。为此，考虑。为此，考虑2 2个决策目标：产量个决策目标：产量f f1 1(x x)和质量和质量f f2 2(x x)。n n下图给出了下图给出了7 7个可行的决策备选方案。有的方个可行的决策备选方案。有的方案生产工艺比较复杂，能够提高产品质量，但案生产工艺比较复杂，能够提高产品质量，但产量则会下降；有些原料对提高质量有好处，产量则会下降；有些原料对提高质量有好处，但加工起来难度较大，很费工时，因而产量受但加工起来难度较大，很费工时，因而产量受到影响到影响这就需要决策者对这两个目标进行这就需要决策者对这两个目标进行综合和权衡。综合和权衡。l下图给出了7个可行的决策备选方案，决策者需要对质量和产量两个目标进行综合和权衡。产量产量f1(x)=f1(x1,x2)（决策空间）（决策空间）原料原料x2工艺工艺x1（目标空间（目标空间）质量质量f2(x)=f2(x1,x2)反映射反映射映射映射x(2)x(7)x(6)x(5)x(4)x(1)x(3)f x(1)f x(2)f x(5)f x(6)f x(4)f x(7)f x(3)n离散型多目标决策的决策空间和目标空间示例离散型多目标决策的决策空间和目标空间示例max f=f1,f2 T思考：根据上图目标空间中的目标点的关系，看思考：根据上图目标空间中的目标点的关系，看出决策空间中的决策解之间的关系？出决策空间中的决策解之间的关系？n n 优于：优于：x x(2)(2)x x(1)(1)，x x(6)(6)x x(2)(2)等。等。n n 不可比：不可比：x x(5)(5)x x(6)(6)，x x(2)(2)x x(3)(3)等。等。n n 劣解：劣解：x x(1)(1)、x x(2)(2)、x x(3)(3)。n n 非劣解：非劣解：x x(4)(4)、x x(5)(5)、x x(6)(6)、x x(7)(7)。n n 最优解：不存在全局的最优解。局部来看，例如在最优解：不存在全局的最优解。局部来看，例如在x x(1)(1)、x x(2)(2)、x x(3)(3)、x x(6)(6)范围内看，范围内看，x x(6)(6)是局部最优解。是局部最优解。n n 最佳调和解：在非劣解中，方案最佳调和解：在非劣解中，方案x x(5)(5)虽然质量很高，虽然质量很高，但产量太低，不可取。但产量太低，不可取。x x(7)(7)虽然产量很高，但质量太虽然产量很高，但质量太低，也不可取。剩下低，也不可取。剩下x x(4)(4)和和x x(6)(6)能够使得产量和质量能够使得产量和质量2 2个个目标都比较好，可在这两者中作选择。如果决策者认目标都比较好，可在这两者中作选择。如果决策者认为，质量目标比产量目标略显重要，则可选为，质量目标比产量目标略显重要，则可选x x(6)(6)作为最作为最佳调和解，即作为最终的决策。佳调和解，即作为最终的决策。上例中各决策解之间的关系：上例中各决策解之间的关系：5.决策解优劣关系的几何解释决策解优劣关系的几何解释（2）连续型多目标决策）连续型多目标决策 n n某企业有2种产品：产品和产品。现欲制定下一生产周期这两种产品的产量x1和x2。由于产量在一定范围内是连续变化的，故决策空间可行域X是一个有限的区域。该问题的决策目标有2个：产品的销售利润f1(x)和设备的开工率f2(x)。连续型多目标决策的决策空间和目标空间示例决策空间可行域X劣解产品产品产量产量x2产品产品产量产量x1目标空间可行域F开工率开工率f2(x)=f2(x1,x2)利润利润f1(x)=f1(x1,x2)C反映射映射BDA非劣解集劣点DABC最佳调和点非劣点集max f=f1,f2 T最佳调和解最佳调和解五、多目标决策的基本思路五、多目标决策的基本思路 n n多目标决策的方法，也就是求解最佳调和解的方法很多，但归纳起来主要有化多为单法和序贯消元法两种基本思路。1.化多为单法化多为单法n n通过各种途径将多目标化成单目标，然后通过各种途径将多目标化成单目标，然后通过各种途径将多目标化成单目标，然后通过各种途径将多目标化成单目标，然后用单目标决策的方法进行求解（新的单目标决用单目标决策的方法进行求解（新的单目标决用单目标决策的方法进行求解（新的单目标决用单目标决策的方法进行求解（新的单目标决策问题实际上包含了原来多目标的主要信息，策问题实际上包含了原来多目标的主要信息，策问题实际上包含了原来多目标的主要信息，策问题实际上包含了原来多目标的主要信息，也即也即也即也即“调和调和调和调和”了原有多目标的不同要求）。了原有多目标的不同要求）。了原有多目标的不同要求）。了原有多目标的不同要求）。n n化多为少的主要途径有：（化多为少的主要途径有：（化多为少的主要途径有：（化多为少的主要途径有：（1 1）剔除一些次要）剔除一些次要）剔除一些次要）剔除一些次要目标或重复目标；（目标或重复目标；（目标或重复目标；（目标或重复目标；（2 2）合并一些量纲一致的）合并一些量纲一致的）合并一些量纲一致的）合并一些量纲一致的目标；（目标；（目标；（目标；（3 3）把一些）把一些）把一些）把一些“硬目标硬目标硬目标硬目标”放到约束条件放到约束条件放到约束条件放到约束条件中去（如中去（如中去（如中去（如e e 约束法）；（约束法）；（约束法）；（约束法）；（4 4）将多目标综合成）将多目标综合成）将多目标综合成）将多目标综合成单目标，其中包括加权综合法、目标无量纲化单目标，其中包括加权综合法、目标无量纲化单目标，其中包括加权综合法、目标无量纲化单目标，其中包括加权综合法、目标无量纲化法（如功效系数法）、理想点法（如目标规划法（如功效系数法）、理想点法（如目标规划法（如功效系数法）、理想点法（如目标规划法（如功效系数法）、理想点法（如目标规划法）、层次分析法、模糊决策法等。法）、层次分析法、模糊决策法等。法）、层次分析法、模糊决策法等。法）、层次分析法、模糊决策法等。2.序贯消元法序贯消元法（目标排序法目标排序法）n n实际决策中，决策者有时是一个一实际决策中，决策者有时是一个一个目标分别考虑的，这样可以降低决策个目标分别考虑的，这样可以降低决策的难度。决策者首先考虑最重要的目标，的难度。决策者首先考虑最重要的目标，从备选方案中筛选出部分较好的方案；从备选方案中筛选出部分较好的方案；然后，在这些较好的方案中，考虑第二然后，在这些较好的方案中，考虑第二重要的目标，再从中筛选出一部分方案重要的目标，再从中筛选出一部分方案；如此下去，选中的方案越来越少，；如此下去，选中的方案越来越少，直到筛选出唯一方案为止。直到筛选出唯一方案为止。nEND