第十章数学命题教学.ppt

第十章第十章 数学命题及其教学数学命题及其教学数学命题的逻辑基础数学命题的逻辑基础数学命题的教学数学命题的教学数学命题的逻辑基础数学命题的逻辑基础判断的意义和种类判断的意义和种类1.数学判断数学判断 对思维对象有所肯定或否定的思维形式叫做对思维对象有所肯定或否定的思维形式叫做“判断判断”。数学判断是关于数学对象及其属性的判断。数学判断是关于数学对象及其属性的判断。判断与真假：判断有真假之分，是否符合客观实际判断与真假：判断有真假之分，是否符合客观实际情况、是否与事实相一致是一个判断真实与虚假的情况、是否与事实相一致是一个判断真实与虚假的标准。标准。2.判断的构成判断的构成 如果用如果用S表示判断的对象，表示判断的对象，P表示性质，则表示性质，则S叫做判叫做判断的断的“主项主项”，P也叫做也叫做“谓项谓项”。“所有的所有的”或或“有的有的”表示主项的数量，叫做表示主项的数量，叫做“量词量词”，在全称判断中量词常常省略不写；，在全称判断中量词常常省略不写；“是是”或或“不是不是”称为称为联结词联结词，表示肯定或否定。，表示肯定或否定。数学命题的意义数学命题的意义 在数学中，用来表示数学判断的语句或符号的组合叫在数学中，用来表示数学判断的语句或符号的组合叫做做“数学命题数学命题”。对于对于无法判断无法判断其真假的语句，称为其真假的语句，称为开（语）句开（语）句。注注：形式逻辑专门研究判断的形式，而不管判断的内：形式逻辑专门研究判断的形式，而不管判断的内容，只从真值的角度研究命题的形式及各种命题之容，只从真值的角度研究命题的形式及各种命题之间的关系。但在数学中，间的关系。但在数学中，既既研究命题的内容，研究命题的内容，又又研研究命题的形式，把内容和形式统一起来研究数学命究命题的形式，把内容和形式统一起来研究数学命题。题。如如在形式逻辑中，命题在形式逻辑中，命题“如果如果13,那么那么1+23+2.”但在数学中但在数学中4.数学命题数学命题数学命题有真假之分。不是所有的语句数学命题有真假之分。不是所有的语句或数学式子都是数学命题。或数学式子都是数学命题。在命题逻辑中，通常用在命题逻辑中，通常用“p,q,r,s,t”等表示命题，这种等表示命题，这种命题符号称为命题变元（变量、变项），命题符号称为命题变元（变量、变项），命题变元的取值只能是命题变元的取值只能是“真真”和和“假假”，分别用，分别用“1”和和“0”表示。表示。请请大家判断以下语句是否是数学命题：大家判断以下语句是否是数学命题：（1）数学是一门科学；）数学是一门科学；（2）；（3）67;（6）你在干什么？你在干什么？（7）禁止吸烟！禁止吸烟！（8）2比比3大吗？大吗？（9）哎呀！那还得了）哎呀！那还得了！数学命题一般可分为数学命题一般可分为简单命题简单命题和和复合命复合命题题两大类。简单命题就是不包含其他命两大类。简单命题就是不包含其他命题的命题，又可分为题的命题，又可分为性质命题性质命题和和关系命关系命题题两种。两种。象象“一切矩形都是平行四边形一切矩形都是平行四边形”、“自自然数不是无理数然数不是无理数”、“有些奇数是素数有些奇数是素数”等都是等都是性质性质命题；命题；象象“一切正数都大于零一切正数都大于零”、“直线直线a平行平行于直线于直线b”等都是等都是关系关系命题。命题。简单命题简单命题（1）性质命题）性质命题性质命题：判断某事物具有（不具有）某种性性质命题：判断某事物具有（不具有）某种性质的命题。质的命题。性质命题的结构：主项、谓项、量项和联项。性质命题的结构：主项、谓项、量项和联项。有些有些 一元二次方程一元二次方程 没有没有 实数根实数根（量项）（量项）（主项）（主项）（联项）（联项）（谓项）（谓项）量项有量项有“全称全称”和和“特称特称”之分，联项有之分，联项有“肯肯定定”和和“否定否定”之分，将之组合，可以得到四之分，将之组合，可以得到四种形式的性质命题：全称肯定、全称否定、特种形式的性质命题：全称肯定、全称否定、特称肯定、特称否定。此外还有单称肯定和单称称肯定、特称否定。此外还有单称肯定和单称否定。否定。（2）关系命题）关系命题关系命题：判断事物与事物之间关系的关系命题：判断事物与事物之间关系的命题命题关系命题的结构：主项、谓项和量项关系命题的结构：主项、谓项和量项 直线直线a 平行于平行于 直线直线b （主项）主项）（谓项）（谓项）（主项）（主项）（前项）（前项）（后项）（后项）数学中常见的是二元关系：数学中常见的是二元关系：aRb复合命题与逻辑联结词复合命题与逻辑联结词 复合命题是由两个或两个以上简单命题通过复合命题是由两个或两个以上简单命题通过逻逻辑联结词辑联结词结合起来而构成的命题。结合起来而构成的命题。常用的逻辑联结词有以下五种：常用的逻辑联结词有以下五种：否定、合取、析取、蕴涵、等价否定、合取、析取、蕴涵、等价形成的命题分别称为：形成的命题分别称为：负命题、联言命题、选负命题、联言命题、选言命题、假言命题和充要条件假言命题言命题、假言命题和充要条件假言命题1.否定（非）否定（非），其真值表如下：其真值表如下：0 1 1 0否定（非）：在一个语否定（非）：在一个语句之前加上句之前加上“并非并非”，就构成一个新的语句，就构成一个新的语句，叫原来语句的否定。叫原来语句的否定。2.合取（与，且）合取（与，且）1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0P:ABC是等腰三角形是等腰三角形q:ABC是直角三角形是直角三角形pq:ABC是等腰直是等腰直角三角形角三角形.p:ABCDq:AB=CDpq:AB CD合取（与、并且）：两个语句合取（与、并且）：两个语句p和和q用用“与与”联接起来构成新的语句联接起来构成新的语句“p与与q”称为合取式，亦称为联言称为合取式，亦称为联言命题，命题，“p q”3.析取（或）析取（或）1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0p:x2q:x=2pq:x 2P:ABC是等腰三角形是等腰三角形q:ABC是直角三角形是直角三角形Pq:ABC是等腰三角形或是等腰三角形或直角三角形直角三角形.析取（或）：两个语句析取（或）：两个语句p、q用用或联接起来所构成的新的语句或联接起来所构成的新的语句“q或或p”称为析取式，亦称为选称为析取式，亦称为选言命题言命题4.蕴涵（如果蕴涵（如果，则，则）1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1P:a和和b都是偶数，都是偶数，Q:a+b也是偶数。也是偶数。当前件为假时，无论后当前件为假时，无论后当前件为假时，无论后当前件为假时，无论后件为真还是假，都不与件为真还是假，都不与件为真还是假，都不与件为真还是假，都不与原来的命题矛盾。原来的命题矛盾。原来的命题矛盾。原来的命题矛盾。蕴涵（如果。，那么。）：把命题蕴涵（如果。，那么。）：把命题p、q用用“如果。，那么。联如果。，那么。联接起来，得到新的命题接起来，得到新的命题”如果如果p，那么那么q”，pq，这个式叫蕴涵式，这个式叫蕴涵式，“p蕴涵蕴涵q”，p、q分别叫前后件（即前提和结分别叫前后件（即前提和结论）。论）。5.等价（当且仅当）等价（当且仅当）1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0等价（当且仅当）：将两个命题等价（当且仅当）：将两个命题p、q用用“当且仅当当且仅当”联接起来，联接起来，构成复合命题构成复合命题“p当且仅当当且仅当q”，pq例如：（例如：（1）2+3=5（真）（真）（2）47=30（假），等价式：（假），等价式：（2+3=5）（47=30）（假）（假）例如：（例如：（1）三角形两边之和小于第三边）三角形两边之和小于第三边（假）（假）（2）李白是清朝文人（假）。等价）李白是清朝文人（假）。等价是：是：“三角形两边之和小于第三边三角形两边之和小于第三边”当且当且仅当仅当“李白是清朝文人李白是清朝文人”（真）（真）几点说明：几点说明：一个命题中如果没有逻辑联接词出现，一个命题中如果没有逻辑联接词出现，那么该命题一定是简单命题那么该命题一定是简单命题以上五种式子是复合命题中最简单的形以上五种式子是复合命题中最简单的形式，由这些基本形式经过各种组合，可式，由这些基本形式经过各种组合，可以得到更加复杂的复合命题。以得到更加复杂的复合命题。简单命题的真假由数学内容来决定，而简单命题的真假由数学内容来决定，而经过复合后的命题其真假值则由真值表经过复合后的命题其真假值则由真值表来决定。来决定。复合命题的值复合命题的值 求复合命题的值，可先求复合命题的值，可先穷尽穷尽地列出地列出p、q取值可能，取值可能，然后再根据联结词的强弱顺序，逐步得出各层复然后再根据联结词的强弱顺序，逐步得出各层复合命题的值，直到最后求出整个复合命题的值。合命题的值，直到最后求出整个复合命题的值。联结词的联结词的强弱顺序强弱顺序：恒真命题：一个命题在任何情况下都为真恒真命题：一个命题在任何情况下都为真恒假命题：一个命题在任何情况下都为假恒假命题：一个命题在任何情况下都为假 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0恒真命题恒真命题111100001010101011001100 用真值表验证用真值表验证是恒真是恒真命题命题1 10 01 11 11 10 01 11 11 11 11 11 10 01 10 01 11 11 11 11 11 10 00 01 11 10 01 11 10 00 00 01 11 11 11 11 11 11 11 11 1逻辑等价逻辑等价如果两个复合命题如果两个复合命题A、B的的真值表相同真值表相同，我，我们就称们就称A、B逻辑等价逻辑等价。记为记为“”0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0结果相同结果相同可以验证下列逻辑等价式：可以验证下列逻辑等价式：幂等律幂等律双重否定律双重否定律交换律交换律结合律结合律分配律分配律德德摩根律摩根律余补律余补律同一律同一律吸收律吸收律数学命题的四种形式及其关系数学命题的四种形式及其关系为了更好地研究数学命题：若为了更好地研究数学命题：若p则则q，有必要研有必要研究命题的四种形式及其关系究命题的四种形式及其关系命题的四种形式：（命题的四种形式：（1）原命题：）原命题：pq；（；（2）逆命题：逆命题：qp；（；（3）否命题：否命题：pq；（4）；）；逆否命题：逆否命题：qp。四种命题的关系：原命题和逆命题是互逆的，四种命题的关系：原命题和逆命题是互逆的，否命题和逆否命题是互逆的，原命题和否命题否命题和逆否命题是互逆的，原命题和否命题是互否的，逆命题和逆否命题是互否的，原命是互否的，逆命题和逆否命题是互否的，原命题和逆否命题是互为逆否的，逆命题和否命题题和逆否命题是互为逆否的，逆命题和否命题是互为逆否的。是互为逆否的。假言命题的四种形式及其之间的关系假言命题的四种形式及其之间的关系原原命题命题逆命题逆命题否否命题命题逆否逆否命题命题互互 逆逆互互 逆逆互互 否否 互互 否否 逆否（等价）逆否（等价）例子：例子：1.原原命题：如果两个三角形全等，则这两个三角命题：如果两个三角形全等，则这两个三角形等积。形等积。逆逆命题：如果两个三角形等积，则这两个三角命题：如果两个三角形等积，则这两个三角形全等。形全等。否否命题：如果两个三角形不全等，则这两个三命题：如果两个三角形不全等，则这两个三角形不等积。角形不等积。逆否逆否命题：如果两个三角形不等积，则这两个命题：如果两个三角形不等积，则这两个三角形不全等。三角形不全等。真真假假假假真真2.原原命题：如果一个四边形是平行四边形，则它命题：如果一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分。的对角线互相平分。逆逆命题：如果一个四边形的对角线互相平分，则它命题：如果一个四边形的对角线互相平分，则它是平行四边形。是平行四边形。否否命题：如果一个四边形不是平行四边形，则它的命题：如果一个四边形不是平行四边形，则它的对角线不互相平分。对角线不互相平分。逆否逆否命题：如果一个四边形的对角线不互相平分，命题：如果一个四边形的对角线不互相平分，则它不是平行四边形。则它不是平行四边形。真真真真3.原原命题：如果一个四边形是平行四边形，则命题：如果一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相垂直。它的对角线互相垂直。逆否逆否命题：如果一个四边形的对角线不互相命题：如果一个四边形的对角线不互相垂直，则它不是平行四边形。垂直，则它不是平行四边形。逆逆命题：如果一个四边形的对角线互相垂直，命题：如果一个四边形的对角线互相垂直，则它是平行四边形。则它是平行四边形。否否命题：如果一个四边形不是平行四边形，命题：如果一个四边形不是平行四边形，则它的对角线不互相垂直。则它的对角线不互相垂直。假假假假它们之间的关系可以用真值表来证明：它们之间的关系可以用真值表来证明：1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 110101100结果相同结果相同从真值表中可以得出：原命题和逆否命题从真值表中可以得出：原命题和逆否命题等价；逆命题和否命题等价。所有四种命等价；逆命题和否命题等价。所有四种命题中实质不同的只有两种，其它两种只是题中实质不同的只有两种，其它两种只是形式不同而已。形式不同而已。在数学论证中经常用到具有逆否关系命题在数学论证中经常用到具有逆否关系命题的等价性，在证明一个命题时，可以将之的等价性，在证明一个命题时，可以将之转换成它的逆否命题的形式加以证明。转换成它的逆否命题的形式加以证明。同一原理同一原理 互互逆逆的的两两个个命命题题未未必必等等价价。但但是是,当当一一个个命命题题的的条条件件和和结结论论都都唯唯一一存存在在,它它们们所所指指的的概概念念的的外外延延完完全全相相同同,是是同同一一概概念念时时,这这个个命命题题和和它它的的逆逆命命题题等等价价。这这一一性性质质通通常常称称为为同同一一原原理理或或同同一一法法则则。例例如如,“等等腰腰三三角角形形底底边边上上的的中中线线是是底底边边上上的的高高线线”是是一一个个真真命命题题,这这个个命命题题的的条条件件“底底边边上上的的中中线线”有有一一条条且且只只有有一一条条,结结论论“底底边边上上的的高高线线”也也是是有有一一条条且且只只有有一一条条。这这就就是是说说,命命题题的的条条件件和和结结论论都都唯唯一一存存在在。由由于于这这个个命命题题为为真真,所所以以命命题题的的条条件件和和结结论论所所指指概概念念的的外外延延完完全全相相同同,是是同同一一概概念念。因因此此,这这个个命命题题的的逆逆命命题题“等等腰腰三三角角形形底底边边上上的的高高线线是是底底边边上上的的中中线线”也也必必然然为为真真。同同一一原原理理是是间间接接证证法法之之一一的的同同一一法法的的逻逻辑辑根根据据。对对于于符符合合同同一一原原理理的的两两个个互互逆逆命命题题,在在判判定定其其真真假假时时,只只要要判判定定其其中中的的一一个个就就可可以以了了。在在实实际际判判定定时时,自然要选择易判定的那个命题。自然要选择易判定的那个命题。偏偏逆命题及其否命题逆命题及其否命题把原命题中数目相同的把原命题中数目相同的部分部分前提和结论互换后前提和结论互换后得到的命题称为原命题的得到的命题称为原命题的偏逆命题偏逆命题。例如例如原原命题：如果命题：如果a和和b都是偶数，则都是偶数，则a+b也是也是偶数。偶数。真真(a是偶数是偶数)(b是偶数是偶数)(a+b是偶数是偶数)偏逆偏逆1：(a是偶数是偶数)(a+b是偶数是偶数)(b是偶数是偶数)偏逆偏逆2：(a+b是偶数是偶数)(b是偶数是偶数)(a是偶数是偶数)例如例如 原命题：在圆内，原命题：在圆内，弦的垂直平分线弦的垂直平分线必必过圆心并且平分这条弦所对的弧过圆心并且平分这条弦所对的弧。逆命题：在圆内，过圆心并且平分弦所逆命题：在圆内，过圆心并且平分弦所对的弧的直线必垂直平分这弦。对的弧的直线必垂直平分这弦。偏逆命题偏逆命题1：在圆内，过圆心且平分弦的：在圆内，过圆心且平分弦的直线必垂直这弦所对的弧，直线必垂直这弦所对的弧，一个原命题的偏逆命题一般有数个。一个原命题的偏逆命题一般有数个。偏逆命题和其它三个命题没有前面那样偏逆命题和其它三个命题没有前面那样的简单关系。的简单关系。请请大家作出下面这个命题的偏逆命题：大家作出下面这个命题的偏逆命题：如果四边形如果四边形ABCD是平行四边形，则它的对边是平行四边形，则它的对边相等。相等。(ABCD)(BCAD)(AB=CD)(BC=AD)(ABCD)(AB=CD)(BCAD)(BC=AD)(AB=CD)(BCAD)(ABCD)(BC=AD)(ABCD)(BC=AD)(AB=CD)(BCAD)(BC=AD)(BCAD)(AB=CD)(ABCD)充分条件和必要条件充分条件和必要条件数学数学命题中的条件分成充分条件、必要条数学数学命题中的条件分成充分条件、必要条件和充分必要条件。件和充分必要条件。充分条件：如果命题充分条件：如果命题“若若p则则q”为真，则条件为真，则条件p就称为使就称为使q成立的充分条件成立的充分条件必要条件：如果命题必要条件：如果命题“若若q则则p”为真，则条件为真，则条件p就称为使就称为使q成立的必要条件成立的必要条件显然若显然若p是是q成立的充分条件，则成立的充分条件，则q一定是使一定是使p成立的必要条件，反过来也对。成立的必要条件，反过来也对。充分必要条件：如果充分必要条件：如果“若若p则则q”和和“若若q则则p”均为真，则均为真，则p是是q成立的充分必要条件。成立的充分必要条件。在解题或证明中要明确充分条件和充要条件在解题或证明中要明确充分条件和充要条件关于公理和公理化方法关于公理和公理化方法（新概念（新概念旧概念旧概念更旧的概念更旧的概念原始概念）原始概念）定理定理旧命题旧命题更旧的命题更旧的命题公理公理不加定义的原始概念称为基本概念；不加证明而承不加定义的原始概念称为基本概念；不加证明而承认的命题称为公理。认的命题称为公理。公理化方法：从尽可能少的基本概念和公理出发，公理化方法：从尽可能少的基本概念和公理出发，运用逻辑推理，建立数学分支的方法。运用逻辑推理，建立数学分支的方法。公理系统中的公理应满足的三个条件：公理系统中的公理应满足的三个条件：（1）相容性：同一公理系统中的公理本身不能矛盾，）相容性：同一公理系统中的公理本身不能矛盾，由公理推导的结果也不能矛盾由公理推导的结果也不能矛盾（2）独立性：任一公理不能由其它公理推出）独立性：任一公理不能由其它公理推出（3）完备性：该系统中的全部命题均可推出而不能）完备性：该系统中的全部命题均可推出而不能借助直观借助直观演绎数学演绎数学的兴起的兴起欧几里得欧几里得Euclid Euclid(ca.325-ca.270BC)(ca.325-ca.270BC)必须承认，直觉是不可靠的公理化方法与欧几里得的公理化方法与欧几里得的几何原本几何原本原本(Elements)共十三卷，包括五条公理、五条公设、一百一十九个定义和四百六十五条命题第11、12、13卷：立体几何及穷竭法第10卷：不可公度量第7、8、9卷：数论的内容第5卷：比例理论第6卷：比例理论的几何应用第1卷：23个定义、公理、公设第1、3、4卷：平面几何内容第2卷：几何代数内容基本定义1、假定从任意一点到任意一点可作一直线 2、一条有限直线可不断延长 3、以任意中心和直径可以画圆 4、凡直角都彼此相等 5、若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小 于两直角，那么把两直线无限延长，它们将在同旁内角和小于两直角的一侧相交公理1、等于同量的量彼此相等2、等量加等量，和相等3、等量减等量，差相等4、彼此重合的图形是全等形5、整体大于部分公设点、线、面、圆等定理定理：根据已知概念和真命题，遵照逻辑规律，运：根据已知概念和真命题，遵照逻辑规律，运用正确逻辑方法来证明其真实性的命题。用正确逻辑方法来证明其真实性的命题。定理的结构：条件（题设或已知）、结论（题断或定理的结构：条件（题设或已知）、结论（题断或求证）求证）逆定理逆定理：一个定理的逆命题若为真，则称其为该定：一个定理的逆命题若为真，则称其为该定理的逆定理。理的逆定理。判定定理判定定理：用来确定某个对象存在的充分条件的定：用来确定某个对象存在的充分条件的定理。理。性质定理性质定理：确定某个对象存在的必要条件的定理。：确定某个对象存在的必要条件的定理。引理引理：为证明一个主要定理作准备，先证明的一个：为证明一个主要定理作准备，先证明的一个或几个或几个“小定理小定理”。推论推论（或系）：从公理或定理直接推出来的定理。（或系）：从公理或定理直接推出来的定理。证明题证明题：在教材中通常列入例题或习题，作为推理：在教材中通常列入例题或习题，作为推理 论证的练习论证的练习。关于定理关于定理：简单定理简单定理条件和结论中所含事项都只有一个条件和结论中所含事项都只有一个的定理称为简单定理。的定理称为简单定理。例如：同一个三角形中，大角对大边。例如：同一个三角形中，大角对大边。复合定理复合定理条件和结论中所含事项不只是一个的条件和结论中所含事项不只是一个的定理叫做复合定理。定理叫做复合定理。例如：等角的邻补角相等例如：等角的邻补角相等数学命题的教学数学命题数学命题数学命题数学命题学习的心理分析学习的心理分析学习的心理分析学习的心理分析命题教学的基本要求和教法探讨命题教学的基本要求和教法探讨命题教学的基本要求和教法探讨命题教学的基本要求和教法探讨学生学习数学命题的心理分析学生学习数学命题的心理分析对对公理、定理、公式的学习很大程度上公理、定理、公式的学习很大程度上依赖于直接感知依赖于直接感知难以从条件与结论的关系上把握条件命难以从条件与结论的关系上把握条件命题题孤立地学习定理、公式孤立地学习定理、公式数学命题的教学设计（见书数学命题的教学设计（见书P111）命题的命题的提出提出命题的明确命题的明确（已知条件、结论和适用范围）（已知条件、结论和适用范围）命题的证明与推导命题的证明与推导（思路、方法、技巧）（思路、方法、技巧）命题的运用与系统化命题的运用与系统化命题的引入方法：命题的引入方法：(1)通过对具体事物观察和实验与实践活动，通过对具体事物观察和实验与实践活动，做出猜想做出猜想（2）通过推理直接发现结论）通过推理直接发现结论（3）通过命题间的关系，对一个命题做出变）通过命题间的关系，对一个命题做出变形（逆命题、偏逆命题等）形（逆命题、偏逆命题等）公理、定理、公式的教法探讨公理、定理、公式的教法探讨公理的教法公理的教法 采用学生熟知的具体事例或生活经验出发采用学生熟知的具体事例或生活经验出发让学生了解什么是公理：它的真实性不能由逻辑推让学生了解什么是公理：它的真实性不能由逻辑推理来确定，是人们长期实践的总结，是数学的基石理来确定，是人们长期实践的总结，是数学的基石或出发点。或出发点。在教学中要让学生体会引入公理的必要性：如果没在教学中要让学生体会引入公理的必要性：如果没有公理的引入，则进一步的推理便无法进行。有公理的引入，则进一步的推理便无法进行。引入公理也要有个过程，通过引导学生对实际事物引入公理也要有个过程，通过引导学生对实际事物的观察，进行一定的实验和检验，从而不但让学生的观察，进行一定的实验和检验，从而不但让学生对公理的真实性确信不疑，也便于学生对公理的理对公理的真实性确信不疑，也便于学生对公理的理解和记忆。解和记忆。了解定理的由来：了解定理的由来：在教学过程中一般不在教学过程中一般不先提出命题的内容，最好通过实验、演先提出命题的内容，最好通过实验、演算等手段，先让学生自己思考，估计出算等手段，先让学生自己思考，估计出命题的内容，然后再去论证。命题的内容，然后再去论证。明确定理的条件和结论（定理的结构）：明确定理的条件和结论（定理的结构）：中学数学里，命题大部分是以充分条件中学数学里，命题大部分是以充分条件形式出现的，要对命题的结构进行分析，形式出现的，要对命题的结构进行分析，使学生分清已知条件和结论（使学生分清已知条件和结论（“在角的在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相平分线上的点到这个角的两边的距离相等等”“如果一点在一个角的平分线上，如果一点在一个角的平分线上，那么这点到这个角的两边的距离相等那么这点到这个角的两边的距离相等”）定理的教学定理的教学讲清定理证明的思路和方法：讲清定理证明的思路和方法：一般以口头分析探索一般以口头分析探索证明的途径，然后用综合法简练地表达出来，在该证明的途径，然后用综合法简练地表达出来，在该过程中学生的积极参与是重要的。先分析后综合不过程中学生的积极参与是重要的。先分析后综合不仅在几何中，在代数中可同样运用。仅在几何中，在代数中可同样运用。定理的应用：定理的应用：懂得不等于会用，使学生会用（甚至懂得不等于会用，使学生会用（甚至熟练）定理解决有关的问题是定理教学中的重要一熟练）定理解决有关的问题是定理教学中的重要一环。可通过例题、习题（反馈、修正）等使学生逐环。可通过例题、习题（反馈、修正）等使学生逐步掌握定理的应用。步掌握定理的应用。把所学定理纳入定理系统中：把所学定理纳入定理系统中：教学中的定理都是定教学中的定理都是定理系统中的一个，要让学生弄清定理在系统中的地理系统中的一个，要让学生弄清定理在系统中的地位和作用以及和其它定理之间的关系等，这样做可位和作用以及和其它定理之间的关系等，这样做可以使学生更加深刻地理解定理，同时也使对定理的以使学生更加深刻地理解定理，同时也使对定理的记忆更加容易。记忆更加容易。定理证明中要注意的：定理证明中要注意的：1、注意图形的正反方面的作用；、注意图形的正反方面的作用；2、严密的推理是论、严密的推理是论证的核心；证的核心；3、重视书写的格式。、重视书写的格式。公式的教学公式的教学公式是定理的另一种形式，是用字母和符号表示的公式是定理的另一种形式，是用字母和符号表示的命题。因此原则上公式的教学和定理的教学并没有命题。因此原则上公式的教学和定理的教学并没有什么区别。什么区别。要重视公式的推导，要在教师的指导下让学生自己要重视公式的推导，要在教师的指导下让学生自己进行推导，教师作必要的提示。公式的推导可以帮进行推导，教师作必要的提示。公式的推导可以帮助学生对公式的记忆、明确公式的条件以及培养学助学生对公式的记忆、明确公式的条件以及培养学生的推理能力。生的推理能力。利用公式的外形和特征进行记忆利用公式的外形和特征进行记忆注意公式的条件，忽视公式的条件是注意公式的条件，忽视公式的条件是发生错误发生错误的原的原因之一。因之一。注意公式的正反使用：注意公式的正反使用：法则的教学法则的教学法则是揭示对象之间普遍联系的一种命法则是揭示对象之间普遍联系的一种命题形式，一般是围绕运算展开的。题形式，一般是围绕运算展开的。法则可以分成定义型和公式型两类。定法则可以分成定义型和公式型两类。定义型法则的教学类似于概念的教学，公义型法则的教学类似于概念的教学，公式型法则的教学则类似于数学公式的教式型法则的教学则类似于数学公式的教学。学。法则教学的重点在应用：正确运用法则教学的重点在应用：正确运用熟熟练运用练运用迅速而合理迅速而合理简化运算过程。简化运算过程。设解：因为x0,y0,所以从而而所以 的最小值为