第四章随机变量的数字特征.ppt
第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征l随机变量的数学期望随机变量的数学期望l随机变量的方差随机变量的方差l随机变量的协方差和相关系数随机变量的协方差和相关系数 在前面的课程中，我们讨论了随机变在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量量及其分布，如果知道了随机变量X的概的概率分布，那么率分布，那么X的全部概率特征也就知道了的全部概率特征也就知道了.然而，在实际问题中，概率分布一然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的般是较难确定的.而在一些实际应用中，而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了性质，只要知道它的某些数字特征就够了.因此，在对随机变量的研究中，确定某因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的些数字特征是重要的.这一讲，我们先介绍随机变量的数学期望这一讲，我们先介绍随机变量的数学期望.在这些数字特征中，最常用的是在这些数字特征中，最常用的是期望期望和和方差方差一、离散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望 1、概念的引入：、概念的引入：某车间对工人的生产情况某车间对工人的生产情况进行考察进行考察.车工小王每天生产车工小王每天生产的废品数的废品数X是一个随机变量是一个随机变量.如何定义如何定义X的平均值呢？的平均值呢？某电话交换台每天某电话交换台每天8:00-9:00收到的呼叫数收到的呼叫数X是一个随机变量是一个随机变量.如何定义如何定义X的平均值即该的平均值即该交换台每天交换台每天8:00-9:00收到的平均呼叫数呢？收到的平均呼叫数呢？若统计若统计100天天,例例1 某车间对工人的生产情况进行考察某车间对工人的生产情况进行考察.车工小王每天生产的废品数车工小王每天生产的废品数X是一个随机是一个随机变量变量.如何定义如何定义X的平均值呢？的平均值呢？32天没有出废品天没有出废品;30天每天出一件废品天每天出一件废品;17天每天出两件废品天每天出两件废品;21天每天出三件废品天每天出三件废品;可以得到这可以得到这100天中天中 每天的平均废品数为每天的平均废品数为这个数能否作为这个数能否作为X的平均值呢？的平均值呢？可以想象，若另外统计可以想象，若另外统计100天，车工小张不天，车工小张不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的前面的100天一般不会完全相同，这另外天一般不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数也不一定是天每天的平均废品数也不一定是1.27.n0天没有出废品天没有出废品;n1天每天出一件废品天每天出一件废品;n2天每天出两件废品天每天出两件废品;n3天每天出三件废品天每天出三件废品.可以得到可以得到n天中每天的平均废品数为天中每天的平均废品数为(假定小张每天至多出假定小张每天至多出三件废品三件废品)一般来说一般来说,若统计若统计n天天,这是这是以频率为权的加权平均以频率为权的加权平均由频率和概率的关系由频率和概率的关系 不难想到，在求废品数不难想到，在求废品数X的平均值时，用的平均值时，用概率代替概率代替频率频率，得平均值为，得平均值为这是这是以概率为权的加权平均以概率为权的加权平均这样得到一个确定的数这样得到一个确定的数.我们就用这个数作我们就用这个数作为随机变量为随机变量X的平均值的平均值.定义定义 若若XPX=xk=pk,k=1,2,且且 2.数学期望的定义数学期望的定义例例 某人的一串钥匙上有某人的一串钥匙上有n把钥匙，其中只把钥匙，其中只有一把能打开自己的家门，他随意地试用有一把能打开自己的家门，他随意地试用这串钥匙中的某一把去开门这串钥匙中的某一把去开门.若每把钥匙若每把钥匙试开一次后除去，求打开门时试开次数的试开一次后除去，求打开门时试开次数的数学期望数学期望.解解:设试开次数为设试开次数为X,P(X=k)=1/n ,k=1,2,nE(X)于是于是例例 掷一颗均匀的骰子，以掷一颗均匀的骰子，以X表示掷得的点数，表示掷得的点数，求求X的数学期望。的数学期望。解解:求随机变量求随机变量Y=XY=X2 2的数学期望的数学期望XPk-1 0 1YPk1 0 3.3.离散型随机变量函数的数学期望离散型随机变量函数的数学期望定理：定理：若若 XPX=xk=pk,k=1,2,则则Y=g(X)的期望的期望E(g(X)为为 推论推论:若若 (X,Y)(X,Y)PX=x PX=xi i,Y=,Y=y yj j,=p pij ij,i,j=1,2,i,j=1,2,则则Z=g(XZ=g(X，Y)Y)的期望为的期望为二、连续型随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望 设设X是连续型随机变量，其密度函数为是连续型随机变量，其密度函数为f(x),在数轴上取很密的分点在数轴上取很密的分点x0 x1x2,则则X落在小区间落在小区间xi,xi+1)的概率是的概率是小区间小区间xi,xi+1)阴影面积阴影面积近似为近似为小区间小区间Xi,Xi+1)由于由于xi与与xi+1很接近很接近,所以区间所以区间xi,xi+1)中的值可以用中的值可以用xi来近似代替来近似代替.这正是这正是的渐近和式的渐近和式.阴影面积阴影面积近似为近似为近似近似,因此因此X与以概率与以概率取值取值xi的离散型的离散型r.v 该离散型该离散型r.v 的数的数学期望学期望是是由此启发我们引进如下定义由此启发我们引进如下定义.定义定义2 设设X是连续型随机变量，其密度函数是连续型随机变量，其密度函数 为为 f(x),如果如果有限有限,定义定义X的数学期望的数学期望为为也就是说也就是说,连续型随机变量的数学期望是一个连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分绝对收敛的积分.(3)(3)若若X X服从参数为服从参数为几个重要的随机变量的数学期望几个重要的随机变量的数学期望(4)若若XU(a,b),即即X服从服从(a,b)上的均匀分布上的均匀分布,则则（6）若）若X服从服从 例例 已知某地区成年男子身高已知某地区成年男子身高 X 这意味着，若从该地区抽查很多个成年男子，分别测这意味着，若从该地区抽查很多个成年男子，分别测量他们的身高，那么，这些身高的平均值近似是量他们的身高，那么，这些身高的平均值近似是1.68.解解:定理：定理：若若X Xf(xf(x),-,-xx0,DY0，则称为X与Y的相关系数相关系数.注：注：若记若记称为X的标准化，易知EX*=0，DX*=1.且2.相关系数的性质相关系数的性质 (1)|XY|1；(2)|XY|=1存在常数a,b 使PY=aX+b=1；(3)X与Y不相关 XY=0;例例 设设(X,Y)服从区域服从区域D:0 x1,0yx上的均匀分布上的均匀分布,求求X与与Y的相关系数的相关系数D1x=y解解解解1)2)三三.矩矩1.K阶原点矩阶原点矩 Ak=E(Xk),k=1,2,而而E(|X|k)称为称为X的的K阶绝对原点矩阶绝对原点矩；2.K阶中心矩阶中心矩 Bk=EX-E(X)k,k=1,2,而而E|X-E(X)|k称为称为X的的K阶绝对中心矩；阶绝对中心矩；3.K+l阶阶混合混合原点矩原点矩 E(Xk Yl),k,l=0,1,2,；4.K+l阶阶混合混合中心矩中心矩 EXE(X)kYE(Y)l,k,l=0,1,2,；四.协方差矩阵1.定义定义 设X1，,Xn为n个r.v.,记cij=cov(Xi,Xj),i,j=1,2,n.则称由cij组成的矩阵为随机变量 X1，,Xn的协方差矩阵C。即小结
