两个原理与排列、组合的基本问题.ppt

计算原理、概率与统计计算原理、概率与统计知识体系考纲1.理理解解分分类类加加法法计计算算原原理理和和分分步步乘乘法法计计数数原原理理，并并会会用用分分类类加加法法计计数数原原理理或或分分步步乘乘法法计数原理分析和解决一些简单的实际问题计数原理分析和解决一些简单的实际问题.2.理理解解排排列列、组组合合的的概概念念，能能利利用用计计数数原原理理推推导导排排列列数数公公式式、组组合合数数公公式式，能能解解决决简简单的实际问题单的实际问题.3.能能用用计计数数原原理理证证明明二二项项式式定定理理,会会用用二二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.4.了了解解随随机机事事件件发发生生的的不不确确定定性性和和频频率率的的稳稳定定性性，了了解解概概率率的的意意义义，了了解解频频率率和和概概率率的的区区别别，了了解解两两个个互互斥斥事事件件的概率加法公式的概率加法公式.5.理理解解古古典典概概型型及及其其概概率率计计算算公公式式.会会计计算算一一些些随随机机事事件件所所含含的的基基本本事事件件数数及事件发生的概率及事件发生的概率.6.了了解解随随机机数数的的意意义义，能能运运用用模模拟拟方法估计概率方法估计概率.了解几何概型的意义了解几何概型的意义.7.概率概率.（1）理理解解取取有有限限个个值值的的离离散散型型随随机机变变量量及及其其分分布布列列的的概概念念，了了解解分分布布列列对对于于刻刻画画随随机现象的重要性机现象的重要性.（2）理理解解超超几几何何分分布布及及其其导导出出过过程程，并并能进行简单的应用能进行简单的应用.（3）了了解解条条件件概概率率和和两两个个事事件件相相互互独独立立的的概概念念，理理解解n次次独独立立重重复复试试验验的的模模型型及及二二项分布，并能解决一些简单的实际问题项分布，并能解决一些简单的实际问题.（4）理理解解取取有有限限个个值值的的离离散散型型随随机机变变量量均均值值、方方差差的的概概念念，能能计计算算简简单单离离散散型型随随机机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题变量的均值、方差，并能解决一些实际问题.(5)利利用用实实际际问问题题的的直直方方图图，了了解解正正态态分分布曲线的特点及曲线所表示的意义布曲线的特点及曲线所表示的意义.8.统计案例统计案例.了了解解下下列列一一些些常常见见的的统统计计方方法法，并并能能应应用用这些方法解决一些实际问题这些方法解决一些实际问题.(1)独立性检验独立性检验.了了解解独独立立性性检检验验（只只要要求求22列列联联表表）的的基本思想、方法及其简单应用基本思想、方法及其简单应用.(2)回归分析回归分析.了了解解回回归归分分析析的的基基本本思思想想、方方法法及及其其简简单单应用应用.两个原理与排列、组合的两个原理与排列、组合的基本问题基本问题1.理理解解分分类类和和分分步步的的含含义义，掌掌握握分分类类加加法法计计数数原原理理与与分分步步乘乘法法计计数数原原理理，并并能能应应用用他他们们分分析析和和解解决决一一些些简简单单的的应用问题应用问题.2.理理解解排排列列、组组合合的的概概念念，能能利利用用计计数数原原理理推推理理排排列列数数、组组合合数数公公式式，能解决简单的实际问题能解决简单的实际问题.1.某某女女孩孩有有红红、绿绿、黄黄、白白4件件上上衣衣，红红、绿绿、黄黄、白白、黑黑条条裙裙子子,双双不不同同的的鞋鞋子子,双双不不同同的的袜袜子子,某某一一天天出出行行，则则不不同的穿法种数为同的穿法种数为()BA.17 B.300 C.280 D.150 根根据据分分步步乘乘法法计计数数原原理理知知，不不同同的的穿法种数为穿法种数为4535=300(种种).2.有有不不同同的的语语文文书书7本本，不不同同的的英英语语书书5本本，不不同同的的数数学学书书4本本，若若从从中中选选出出不不属属于于同同一一科科目目的的两两本本书书，则则不不同同的的选选法法种种数数为为 种种.83 选选语语文文、英英语语各各一一本本有有7535种种选选法法;选选语语文文、数数学学各各一一本本有有7428种种选选法法;选选英英语语、数数学学各各一一本本有有5420种种选选法法，所所以以共共有有35+28+2083种种不不同同的的选法选法.3.有有A、B、C、D四个不同的元素，组成没四个不同的元素，组成没有重复元素的排列的个数有有重复元素的排列的个数有()DA.4个个 B.24个个C.48个个 D.64个个 按排列中所含元素的个数分为四类按排列中所含元素的个数分为四类,由由加法原理得加法原理得:+=64(个个).4.设设集集合合M=a|1a10，aN，A是是M的的三三元元素素子子集集，且且至至少少有有两两个个偶偶数数元元素素，则这样的集合则这样的集合A的个数有的个数有()AA.60个个 B.100个个C.120个个 D.160个个 因为集合因为集合M中有中有10个元素个元素,5个奇数个奇数,5个偶数个偶数,故满足条件的有故满足条件的有 +=60（个）（个）或或 -=60(个个),或或 =60(个个),故选故选A.5.在在三三张张卡卡片片的的正正反反两两面面上上，分分别别写写着着数数字字1和和2，4和和5，7和和8，当当将将它它们们并并排排组组成成三三位位数，不同的三位数的个数有数，不同的三位数的个数有()AA.48个个 B.36个个C.42个个 D.32个个 从三张卡片上选数有：从三张卡片上选数有：=8种，种，进行排列有进行排列有 种，由乘法原理，共有种，由乘法原理，共有8 =48（个）（个）.1.分类加法计数原理分类加法计数原理完完成成一一件件事事,有有n类类办办法法,在在第第1类类办办法法中中有有m1种种不不同同的的方方法法,在在第第2类类办办法法中中有有m2种种不不同同的的方方法法，在在第第n类类办办法法中中有有mn种种不不同同的的方方法法,那那么么完完成成这这件件事事共共有有N=种种不不同同的的方法方法.2.分步乘法计数原理分步乘法计数原理完完成成一一件件事事,需需要要分分成成n个个步步骤骤,做做第第1步步有有m1种种不不同同的的方方法法,做做第第2步步有有m2种种不不同同的的方方法法，,做做第第n步步有有mn种种不不同同的的方方法法,那那么么完完成成这这件件事共有事共有N=种不同的方法种不同的方法.m1+m2+m3+mnm1m2mn3.分类和分步的区别分类和分步的区别分分类类：完完成成一一件件事事同同时时存存在在n类类方方法法，每每一一类类都都能能独独立立完完成成这这件件事事，各各类类互互不不相相关关.分分步步：完完成成一一件件事事须须按按先先后后顺顺序序分分n步步进进行行，每每一一步步缺缺一一不不可可，只只有有当当所所有有步步骤骤完完成成，这这件件事才完成事才完成.4.排列基础理论排列基础理论(1)排列的定义排列的定义.从从n个个不不同同元元素素中中,任任取取m(mn)个个不不同同元元素素,按按照照一一定定的的 排排成成一一列列,叫叫做做从从n个个不同元素中取出不同元素中取出m个元素的一个排列个元素的一个排列.顺序顺序(2)排列数的定义排列数的定义.从从n不不同同元元素素中中,任任取取m(mn)个个不不同同元元素素的的所所有有排排列列的的个个数数,叫叫做做从从n个个不不同同元元素素中中取出取出m个元素的排列数个元素的排列数,用符号用符号 表示表示.(3)排列数计算公式排列数计算公式.=n(n-1)(n-2)(n-m+1)=(其其中中mn).()若若m=n，排列称为全排列，记，排列称为全排列，记 =123(n-1)n=n!(称为称为n的阶乘的阶乘)；()规定规定0!1.5.组合基础理论组合基础理论(1)组合的定义组合的定义.从从n个个不不同同元元素素中中，取取出出m(mn)个个不不同同元元素素组组成成一一组组，叫叫做做从从n个个不不同同元元素素中中取取出出m个元素的一个组合个元素的一个组合.(2)组合数的定义组合数的定义.从从n个个不不同同元元素素中中,取取出出m(mn)个个不不同同元元素素的的所所有有组组合合的的个个数数,叫叫做做从从n个个不不同同元元素素中中取出取出m个元素的组合数个元素的组合数,用符号用符号 表示表示.(3)组合数计数公式组合数计数公式.=.=.规定规定 =1.(4)组合数的两个性质组合数的两个性质.()=;()=+.6.排列与组合的区别排列与组合的区别排排列列与与组组合合的的共共同同点点是是“从从n个个不不同同元元素素中中，任任取取m个个不不同同元元素素”；而而不不同同点点是是排排列列要要“按按照照一一定定的的顺顺序序排排成成一一列列”，而而组组合合却却是是“只只需需组组成成一一组组（与与顺顺序序无无关关）”.因因此此，“有有序序”与与“无无序序”是是排排列列与与组组合合的的重重要要标标志志.“”为为排排列列问问题题,“”为组合问题为组合问题.有序有序无序无序题型一题型一 利用两个计数原理求方法数利用两个计数原理求方法数例例1 （1）现现要要排排一一份份天天的的值值班班表表，每每天天有有一一人人值值班班，共共有有人人，每每人人可可以以多多天天值值班班或或不不值值班班，但但相相邻邻两两天天不不准准由由同同一一人人值值班班，问此值班表共有问此值班表共有 种不同排法种不同排法.1280 (1)值值班班表表须须依依题题设设一一天天一一天天的的分分步步完完成成.第第一一天天有有5人人可可选选，有有5种种排排法法，第第二二天天不不能能用用第第一一天天的的人人，有有4种种排排法法，同同理理，第第三三天天、第第四四天天、第第五五天天也也有有4种种，故故由由分分步步计计数数原原理理排排值值班班表表共共有有54444=1280种，应填种，应填1280.(2)设另两边长为设另两边长为x、y,且且1xy11 (x、yZ)，构构成成三三角角形形，则则x+y12，当当y取取11时时，x=1,2,3,11,有有11个个;当当y取取10时时，x=2,3,10,有有个个;当当y取取9时时，x=3,4,9,共共7个个;当当y取取6时时，x也也只只能能为为6，有有1个个，故故 满满 足足 题题 设设 的的 三三 角角 形形 共共 有有：11+9+7+5+3+1=36个，故选个，故选C.(2)三三角角形形的的三三边边长长均均为为整整数数,且且最最长长的的边边长长为为11,则则这这样样的的三三角角形形的的个个数数有有()A.25个个 B.26个个 C.36个个 D.37个个C （1）是分步问题，用分步计数原）是分步问题，用分步计数原理理;(2)是分类问题，用分类计数原理是分类问题，用分类计数原理.题型二题型二 排列、组合数方程问题排列、组合数方程问题例例2 解下列方程：解下列方程：(1)+1=140 ;(2)=+.(1)根据排列的意义及公式得根据排列的意义及公式得 42x+1 3x (2x+1)2x(2x-1)(2x-2)=140 x(x-1)(x-2),x (4x-23)(x-3)=0,解之并检验得解之并检验得x=3.则有则有(2)由组合数的性质可得由组合数的性质可得 +=+=+.又又 =,所以所以 =+,即即 +=+,所以所以 =，所以所以5=x+2,x=3,经检验知经检验知x=3.凡凡遇遇到到解解排排列列、组组合合的的方方程程,不不等等式式问问题题时时，应应首首先先应应用用性性质质和和排排列列、组组合合的的计计算算公公式式进进行行变变形形与与化化简简，并并注注意意有有关关解解排排列列、组组合合的的方方程程、不不等等式式问问题题，最最后后结结果果都都需需要检验要检验.题型三题型三 结合两个计数原理求结合两个计数原理求排列、组合问题的方法数排列、组合问题的方法数例例3 用用0,1,2,3,4这这五五个个数数字字，可可以以组组成成多多少少个个满满足足下下列列条条件件的的没没有有重重复复数数字的五位数：字的五位数：(1)比比21034大的偶数；大的偶数；(2)左起第二位、第四位是奇数的偶数左起第二位、第四位是奇数的偶数.(1)（方法一）可分五类（方法一）可分五类:当末位数字是当末位数字是0,而首位数字是而首位数字是2,+=6(个个);当末位数字是当末位数字是0,而首位数字是而首位数字是3或或4,有有 =12(个个);当末位数字是当末位数字是2,而首位数字是而首位数字是3或或4,有有 =12(个个);当末位数字是当末位数字是,而首位数字是而首位数字是2,有有 +=3(个个);当末位数字是当末位数字是4,而首位数字是而首位数字是3，有，有 =6(个个).故有故有6+12+12+3+6=39(个个).(方法二方法二)不大于不大于21034的偶数可分为三类：的偶数可分为三类：1为万位数字的偶数，有为万位数字的偶数，有 =18(个个);2为万位数字，而千位数字是为万位数字，而千位数字是0的偶数，有的偶数，有 =2(个个);还有还有21034本身本身.而由而由0,1,2,3,4组成的五位偶数共有组成的五位偶数共有 +=60(个个).故满足条件的五位偶数共有故满足条件的五位偶数共有 60-1=39(个个).(2)（方法一）可分两类（方法一）可分两类:0是末位数，有是末位数，有 =4（个）；（个）；或是末位数，有或是末位数，有 =4(个个).故共有故共有4+4=8(个个).(方方法法二二)第第二二位位、第第四四位位从从奇奇数数1，3中中取取，有有 个个;首首位位从从,中中取取，有有 个个；余余下下排在剩下的两位，有排在剩下的两位，有 个个,故共有故共有 =8(个个).不不同同数数字字的的无无重重复复排排列列是是排排列列问问题题中中的的一一类类典典型型问问题题，常常见见的的附附加加条条件件有有：奇奇偶偶数数、位位数数关关系系及及大大小小关关系系等等，也也可可有有相相邻邻问问题题、不不相相邻邻问问题题等等，解解决决这这类类问问题题的的关关键键是是搞搞清清受受限限条条件件，然然后后按按特特殊殊元元素素（位位置置）的的性性质质分分类类.这这类类问问题题有有0参参与与时时，不不可可忽忽视视它它不不能能排排在在首位的隐含条件首位的隐含条件.为为了了参参加加学学校校的的元元旦旦文文艺艺会会演演，某某班班决决定定从从爱爱好好唱唱歌歌的的名名男男同同学学和和名名女女同同学学中中选选派派名名参参加加小小合合唱唱节节目目，如如果果要要求求男男女女同同学学至至少少各各选选派派名名，那那么么不不同同的的选派方法有多少种？选派方法有多少种？(方法一方法一)按选派的男同学的人数分三类：按选派的男同学的人数分三类：选选派派一一名名男男同同学学，三三名名女女同同学学有有 40种方法；种方法；选选派派两两名名男男同同学学，两两名名女女同同学学有有 60种方法；种方法；选选派派三三名名男男同同学学，一一名名女女同同学学有有 20种方法；种方法；由由分分类类计计数数原原理理，共共有有不不同同的的选选派派方方法法有有40+60+20=120种种.(方方法法二二)在在这这九九名名同同学学中中任任选选四四名名，有有 =126种种方方法法.其其中中四四人人都都是是男男同同学学的的有有 =1种种方方法法；四四人人都都是是女女同同学学的的有有 =5种种方方法法，因因此此符符合合要要求求的的选选派方法有派方法有126-1-5=120种种.有限制条件的组合应用题的限制条有限制条件的组合应用题的限制条件主要表现在被选出的元素件主要表现在被选出的元素“含含”或或“不不含含”某些元素，或是某些元素，或是“至少至少”“至多至多”等等类型的组合问题，对于这类组合应用题解类型的组合问题，对于这类组合应用题解题的总体思路为：题的总体思路为：(1)用直接法用直接法.一般是从整体分类，然后再局部分步一般是从整体分类，然后再局部分步.对于较复杂的从若干个集合里选元素的问对于较复杂的从若干个集合里选元素的问题，首先应以其中一个集合为基准进行分题，首先应以其中一个集合为基准进行分类（当然，为了使类别尽量少，这个集合类（当然，为了使类别尽量少，这个集合里的元素较少为好），里的元素较少为好），分分类类时时要要做做到到不不重重不不漏漏，也也就就是是各各类类的的并并集集是是全全集集，任任意意两两类类的的交交集集是是空空集集，在在合合理理正正确确分分类类的的前前提提下下，在在每每一一类类中中，依依据据题题目目的的要要求求进进行行分分步步，分分步步要要做做到到步步连续，各步之间相互独立步步连续，各步之间相互独立.()用间接法用间接法.当当正正面面求求解解较较为为困困难难时时，也也可可采采用用正正难难则则反反的的思思想想，用用“间间接接法法”求求解解，但但要注意找准对立面要注意找准对立面.球球台台上上有有4个个黄黄球球，6个个红红球球，击击黄黄球球入入袋袋记记2分分，击击红红球球入入袋袋记记1分分.欲欲将将此此0个个球球中中的的4个个球球击击入入袋袋中中，但但总总分不低于分不低于5分，则击球方法有几种？分，则击球方法有几种？设击入黄球设击入黄球x个个,红球红球y个符合要求个符合要求,x+y=4 2x+y5 x,yN*,x=1 x=2 x=3 x=4 y=3,y=2,y=1,y=0.故共有不同击球方法数为故共有不同击球方法数为 +=195.则有则有解得解得 本本题题需需运运用用不不等等式式的的知知识识，确确定定击击入入黄黄球球与与红红球球的的个个数数，有有时时则则需需利利用用集集合合的的运运算算等等知知识识，确确定定相相关关元元素素的的个个数数，再再利利用用排排列列或或组组合合的的知知识识解决方法种数问题解决方法种数问题.1.解解决决应应用用题题时时，应应分分析析：要要完完成成做做一一件件什什么么事事；这这件件事事怎怎样样做做才才可可以以做做好好；需需要要分分类类还还是是分分步步.运运用用分分类类计计数数原原理理和和分分步步计计数数原原理理，关关键键在在于于两两方方面面，认认真真分分析析题题意意，设设计计合合理理的求解程序是求解问题的关键的求解程序是求解问题的关键.2.如如果果任任何何一一类类办办法法中中的的任任何何一一种种方方法法都都能能完完成成这这件件事事，即即类类与与类类之之间间是是相相互互独独立立的的，即即分分类类完完成成，则则选选用用分分类类计计数数原原理理；如如果果完完成成一一件件事事要要经经历历几几个个步步骤骤（即即几几步步），且且只只有有当当这这些些步步骤骤都都做做完完，这这件件事事才才能能完完成成，即即步步与与步步之之间间是是相相互互依依存存、相相互互连连续续的的，即即分分步步完完成成，则则选选用用分分步步计计数原理数原理.3.排排列列与与组组合合的的本本质质区区别别在在于于排排列列不不仅仅取取而而且且排排，即即与与顺顺序序有有关关，而而组组合合只只取取出一组即可，与顺序无关出一组即可，与顺序无关.4.注注意意排排列列数数公公式式、组组合合数数公公式式有有连连乘形式与阶乘形式两种，乘形式与阶乘形式两种，公式公式 =n(n-1)(n-m+1),=常用于计算常用于计算,而而公公式式 =,=常常用用于于证证明恒等式明恒等式.学例1 (2009广广东东卷卷)2010年年广广州州亚亚运运会会组组委委会会要要从从小小张张、小小赵赵、小小李李、小小罗罗、小小王王五五名名志志愿愿者者中中选选派派四四人人分分别别从从事事翻翻译译、导导游游、礼礼仪仪、司司机机四四项项不不同同工工作作，若若其其中中小小张张和和小小赵赵只只能能从从事事前前两两项项工工作作，其其余余三三人人均均能能从从事事这四项工作这四项工作,则不同的选派方案共有则不同的选派方案共有()A.36种种 B.12种种C.18种种 D.48种种A 若若小小张张和和小小赵赵只只有有1人人被被选选中中,则则有有方方案案 =24种种；若若小小张张和和小小赵赵两两人人均均被被选选中中,则则有有方方案案 =12种种。故故符符合合题题意意的的选选派派方方案案共共有有24+12=36种种,从从而而选选A.学例2 (2008辽辽宁宁卷卷)一一生生产产过过程程有有道道工工序序，每每道道工工序序需需要要安安排排一一人人照照看看，现现从从甲甲、乙乙、丙丙等等名名工工人人中中安安排排人人分分别别照照看看一一道道工工序序，第第一一道道工工序序只只能能从从甲甲、乙乙两两工工人人中中安安排排人人，第第四四道道工工序序只只能能从从甲甲、丙丙两两工工人人中中安安排排人人，则则不不同同的的安安排排方方案案共有共有()BA.24种种 B.36种种C.48种种 D.72种种 一一、四四两两道道工工序序有有3种种安安排排方方案案，即即甲甲丙丙、乙乙丙丙、乙乙甲甲，其其余余两两道道工工序序安安排排方方案案有有 =12种种,所所以以四四道道工工序序不不同同的的安安排排方方案案有有3 =36种种.