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2021年下半年全国老师资格考试高中数学2021年下半年中小学老师资格考试数学学科知识与教学能力高级中学一、选择题1.若多项式()432341fxxxxx=+-和()321gxxxx=+-，则f(x)和g(x)的公因式为A.x+lB.x+3C.x-1D.X-2【解析】A：由辗转相除法可得2.已知变换矩A=100020003,阵则A将空间曲面(x?1)2+(y?2)2+(Z?1)2=1变成A.球面B.椭球线C.抛物线D.双曲线【解析】B：由已知的条件设曲面经矩阵A变化后为100020003xyz=x2y3z=xyz,则x=x,y=12y,z=13y故其方程为(x?1)2+(12y?2)2+(13Z?1)2=1；3.为研究7至10岁少圭牢手儿嚣的身高情况，甲、乙两名研究人员分别随机抽取了某城市100名和1000名两组调查样本，若甲、乙抽取的两组样本平均身高分别记为、(单位:cm阴阳、严的大小关系为A.B.C.=D.不能确定【解析】D:随机抽样的结果之间关系无法确定；4.已知数列an与数列bn，n=1,2,3则下列结论不正确的是A若对任意的整数n,有anbn，limnbn=b,且bN时，anbn则a>bD若对任意的正整数n,有anbn，limnan=a,limnbn=b,且b>0,则a>0【解析】B:取an=1n,bn=1?1n,limnan=0,limnbn=b,0b1=0,a1=b1=12，因而结论不正确；5.下列关系不正确的是C.(a?b?)2+(a?×b?)2=a?2b?2D.(a?×b?)×c?=(a?c?)b?+(b?c?)a?【解析】B:由向量积的性质可得(a?+c?)×b?=a?×b?+c?×b?A.(-3，3)B.(?13,13C.?13,13D.-3,37.20世纪初对国际数学教育产生重要影响的是A贝利-克莱因运动B.群众教学C新数学运动D.PISA项目【解析】A:第一次数学课程改革发生在20世纪初，史部"克菜园-贝利运动'.英国数学家贝利提出"数学教育应该面向群众"、"数学教育必须重视应用"的改革指导思想；德国数学家克莱因以为，数学教育的意义、内容、教材、方法等，必须紧跟时代步伐，结合近代数学和教育学的新进展，不断进行改革。8.（普通高中数学课程标准实验）提出了五种基本能力，其中不包括A.抽象概括B.推理论证C.观察操作D.数据处理【解析】C:（普通高中数学课程标准(实验)）提出了五项基本能力，包括:抽象概括、推理论证、数据处理、空间想象、运算求解；二、简答题9.一条光线斜射在一水平放置的平面上，入射角为6，请建立空间直角坐标系，并求出反射光线的方程.若将反射光线绕平面镜的法线旋转一周，求出旋转曲面的方程。解析以此光线与平面的交点为原点建立空间直角坐标系，如下列图:则入射光线所在直线过原点且在yoz坐标面上，所以入射光线的直线方程为若将反射光线绕法线旋转一周，也就是绕z轴旋转一周，则得出旋转曲面的方11122233,abvavbab?=?1323cvcc?=?线性无关。解析1若向量11122233,abvavbab?=?1323cvcc?=?线性无关时，知足方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩相等这一条件，则方程组有解。先证实唯一性：设方程组有两个解：即111213212223,(1),(2)xvyvzvdxvyvzvd+=+=两式作差得()()()1211221230xxvyyvzzv-+-+-=由于11122233,abvavbab?=?1323cvcc?=?线性无关所以1212120xxyyzz-=-=-=11122233,abvavbab?=?1323cvcc?=?线性相关，所以存在不全为0的实数使得1112130xvyvzv+=，组有唯一解矛盾。11122233,abvavbab?=?1323cvcc?=?线性无关。11.某飞行表演队由甲乙两队组成。甲队有喷红色雾和绿色雾的飞机组成，各3架.乙队仅有3架喷红色雾的飞机。在一次表演中，需要从甲队抽3架到乙队组合混合表演队，并且任意指定一架为领飞机，求领飞机是绿色雾的概率。第一步:选出甲中喷绿色烟雾的飞机，设X为选出的喷绿色烟雾的飞机的数量第二步:6架飞机中有1架喷绿色烟雾的飞机时，所选到领飞机是喷绿色烟雾的飞机的6架飞机中有2架喷绿色烟雾的飞机时，所选到领飞机是喷绿色烟雾的飞机的6架飞机中有3架喷绿色烟雾的飞机时，所选到领飞机是喷绿色烟雾的飞机的12.阐述确定数学课程内容的根据【解析】数学课程标准、单元目的和详细数学知识点三者的结合。确定教学内容时，十分要注意下面三点:一是数学知识的主要特征。一个数学知识点内容是极为庞杂的，我们应该选择该数学知识点最本质的东西作为教学的重点；二是学生的需要。确定知识点的教学内容也不是由教材一个要素决定的，还涉及到学生认知发展阶段性的问题。因而也不可能是教材有什么我们就教什么、学什么，我们只能选择教材内容与学生认知发展相一致的内容作为教学内容；三是编者的意图。编者的意图主要是通过例题以及课后的练习题来体现的。数学例题以及课后练习题的重要性在数学课程中要远远高于其他学科，由于数学例题以及练习题是数学课程内容建设一个不可或缺的组成部分。在其他课程中，练习题最多只是课程内容的重现，有的只属于教学领域，作为一种教学手段，对课程本身并没有很大影响。但数学课不是这样，数学课“教什么在相当程度上是由练习题或明或暗指示给老师的。13.举例讲明向量内容的学习对高中生理解数学运算的作用【解析】平面向量是高中数学引入的一个新概念利用平面向量的定义、是理、性质及有关公式，能够简化解题经过，便于学生的理解和把握。向量运算主要作用能够提高学生针对数学运目的理解层次，本身这个运算学生总最初接触的运算都是数与数之间的运算，而参加向量运算之后，向最运算涉及到数学元素更高，比方讲实数、字母、甚至向量，至还能够把几何图形参加运算当中，这本身对数学层次更大的一个提高。而且向量运算对数学的思想也体现的比拟多，就是在解析几何当中，或者是在平面几何当中，向量应用确实很方便，一个运算既有代数运算又有几何意义，但是到了立体几何的话，我觉得向革运算仅仅就变成算术了，算术对立体几何本意还是没有一点想象，就是它到底人学生重点把握什么，把握运算还是把握思维相想象。向量在代数中的应用根据复数的几何意义，在复平面上能够用向量来表示复数，这样复数的加减法，就能够看成是向量的加减，复数的乘除法能够用商量的旋转和数乘向量得到，学了向量，复数事实上已没有过多的本质性内容.因此变选学内容也就不难理解了。另外向量所建立的数形对应可以用来证实代数中的一些恒等式、不等式问题，只要建立一定的数模型，能够较灵敏地给出证题方法。二、向量在三角中的应用当我们利用单位圆来研究三角函数的几何意义时，表示三角函数就是平面向量.利用向量的高关知识能够导出部分诱导公式.由于用向量解决问题时经常是从三角形入手的，这使它在三角里解决有关三角形的问题发挥了重要作用，一个最有力的证据就是教材中所提供的余弦定理。证实:只要在根据向量三角形得出的关系式的两边平方就可利用向量的运算性质得出要证的结论，它比用综合法提供的证实要简便得多。三、向量在平面解析几何中的应用由于向量是作为一种有向线段，本身就是有向量上的一段，且向量的坐标能够用起点、终点的坐标来表示，使向量与平面解析几何十分是其中有关直线的部分保持着一种天然的联络.平面直角坐标系内两点间的距离公式，也就是平面内相应的向量的长度公式；分一条线段成定比的分点坐标，可根据相应的两个向量的坐标直接求得;用直线的方向向量a，b表示直线方向比直线的斜率更具高一般性，且斜率实际是方向量在a=0时的特殊情形。另外向量的平移可以用化简二次曲线，即通过移动图形的变换来到达简二次曲线的目的，实际上与解析几何中移轴变换到达同样的效果。四、向量在几何中的应用在解决几何中的有关度量、角度、平行、垂直等到问题时用向量解决也很方便。十分是平面向量能够推广到空间用来解决立体几何问题.例如在空间直线和平面这部分内容光焕发中，解决平行、相交、包含以及计算夹角、距离等问题用传统的方法往往较为繁琐，但只要引入向量，利用向量的线性运算及向量的数量积和向量和以后，一切都归结为数字式符号运算。这些运算都高法则可循，比传统的方法要容易得多总之，平面向量已经浸透到中学数学的很多方面，向量法代替传统教学方法已成为当代数学发展的必然趋势。向量法是一种值得学生花费时间、精神去把握的一种新生方法，学好向最知识苟助于理解和把握与之有关联的学科.因而在职中数学教学中加强向量一章的教学，为更好地学习其它知识做好必要的准备工作就显得尤为重要。但传统教学思想对向量抵触较大，很多学者以为向量去削弱了学生的空间想象能力，且学生初学向量时接受较为困难，这就要求我们不断探索，找出最佳的教和学的方法，发挥向量的作用，使向量真正地面为当代数学的基础.三、解答题14.叙述并证实拉格朗日微分中值定理，并简述拉格朗日中值定理与中学数学内容的联络。【解析】假如函数y=f(x)知足1在开区间(a,b)内可导2在闭区间a,b内连续证实：假如函数y=f(x)在开区间(a,b)内可导，在闭区间a,b内连续，构又由于函数g(x)在开区间(a,b)内可导，在闭区间a,b内连续，且'=()0gx拉格朗日中值定理在微积分学中是一个重要的理论基础，是应用数学研究函数在区间上整体性质的有力工具。拉格朗日中值定理在中学数学中应用非常广泛，如利用导数来研究函数的某些性艇、证实不等式和方程根的存在性、描绘函数的固像、解决极值、最值等等。15.叙述“严谨性与量力性相结合数学教学原则的内涵，并以"是无理数"的教学经过为例讲明在教学中怎样体现该教学原则。解析(1)数学的严谨性，是指数学具有很强的逻辑性和较高的准确性，即逻辑的严格性和结论确实定性。量力性是指学生的可接受性。这一原则，讲明教学中的数学知识的逻辑严谨性与学生的可接受性之间相适应的关系。理论知识的严谨程度要合适学生的一般知识构造与智力发展水平，随着学生知识构造的不断完善，心理发展水平的提高，逐步加强理论的严谨程度;反过来，又要通过恰当的理论严谨性逐步促进学生的接受能力。显然，这一原则是根据数学本身的特点及学生心理发展的特点提出的.但是，在学习经过中，学生的心理发展是逐步构成的，不同的年龄阶段，其感悟、记忆、想象、思维、能力等心理因素都有不同的发展水平.这种心理发展的渐变性决定了在教学中不可能对数学理论的研究到达完全严密的程度，而应该在不同的教学阶段，根据不同的教学目的和内容而提出不同的严谨性要求，即数学教学的严谨性是相对的.(2)在证实"是无理数"的教学经过中，对严谨性要求应设法安排使学生逐步适应的经过与时机，逐步提高其严谨程度，要求做到推理有据，证实要步步有根据、处处有逻辑.在推理有据的同时并不排挤直观和猜测，强调思维的严谨性，允许猜测，辩证的处理好推理的有据和猜测的关系.由于学生对无理数不熟悉，在实际教学经过中我们采用反证法，先假设是有理数.教学中能够由老师给出证实步骤，让学生只填每一步的理由，鼓励学生发扬"跳一跳够得到"的精神，逐步过渡到学生本人给出严格证实，最后要求到达立论是整数，且互质的形式，于是22=，所以p也是偶数。不妨设p=2a，可2pq得22=，所以q应该也是偶数，这样与p,q互质矛盾，因而，x是无理数。42aq在教学经过中，不能消极适应学生，降低理论要求，必须在符合内容科学性的前提下，结合学生实际组织教学。五、案例分析16.在“三角函数求值的教学中，老师给出来如下问题.老师让两位学生板书演示，他们的演示经过如下： (sin+(sin+当(cos+则125525xx+=问题:(1)你怎样评价这两位学生的解题经过(10分)(2)假设你是该老师,针对学生扮演的情况,怎样组织进一步的教学,完成课题的教学任务(10分)参考解析(1)学生一的解题思路从开场看是比拟明晰的,利用两次22sincos1+=,后又结合分类讨论利用两角差的余弦公式求出cos的值，但是分类讨论后忘记验证所以会与教师期望得到的结果不同。学生二利用两角正弦公式，后化为解一元二次方程得出两个结果，后也是没有验证结果的正确性。和学生一犯了一样的错误.整体来讲学生对三角函数公式把握的比拟牢固，运用的也比拟熟练，只是再熟练的基础之上还不能更好的内化数学思想，即验证结果的成立与分类讨论的应用.2首先请全班同学同桌两人为一组讨论扮演同学的答案能否正确，若对，讲出解题患路以及解题亮点，若不对应该怎样纠正。时间为两分钟，在此期间老师到学生中间巡场，走进学生，找到学生的疑惑点。时间后老师请学生代表来分析此题，井讲出正确结果.由于学生对此知识点把握相对薄弱，我会在此处着重强调在得到答案之后验证的重要性，让学生从题目中总结所学到的方法。六、教学设计题17."基本不等式"是高中数学教学中的重要内容，请完成下列任务:(1)在"基本不等式"起始课的"教学重点"设计中，有两种方案强调基本不等式在求数值中的应用，将基本不等式的应用作为重点强调基本不等式的背景，经过与意义，将学生感受和体验基本不等式"中"基本"的意义作为重点你赞同哪种方案？简述理由10分3为了让高中生充分认识“基本不等式中“基本的意义，作为老师应该对此有多个维度的理解，请至少从两个维度谈谈你对“基本意义的认识。10分17.参考答案】1我更赞同第二种方案，理由如下:本节课定位为"基本不等式"的起始课，它是在学生已经系统的学习了不等式关系和不等式性质，把握了不等式性质的基础上进行教学的，学生对于“基本不等式还处于初步感悟阶段，不能一步就理解怎样实现基本不等式在求解简单最大(小)信当中的应用，因而，在“基本不等式的起始课当中，应当先让学生结合基本不等式的背景和意义远行自主探索，了解不等式的证实经过，加深印象及存在原因后再学习应用会更好。从新课程标准的要求出发，高中数学课程标准是指导老师进行课程安排，课程设计难易度的标尺，高考阶段的要求也是根据新课程标准来制定的，数学阶段，应将探索并了解基本不等式的证实经过放在重点位置。从教材的编写来看，在基本不等式的这节一开场，是以北京召开的第24届国际数学家大会的会标准为问题的背景，提问学生“你能在这个图中一些相等关系或不等关系吗？利用面积间存在数量关系，抽象出不等式222+，abab在之后的例题应用当中，才提及“基本不等式在解决实际问题当中是解决最大小值问题的有力工具。因而，从这三点来看，基本不等式的起始课的教学重点应该采用第二种方案，即强调基本不等式的背景、经过及意义，将学生感受和体验“基本不等式中“基本的意义作为教学重点。(2)222abab+的几何解释是：大正方形的面积大于四个三角形的面积和，当且仅当a=b时，等号成立即正方形的对角线正方形分成4个等腰直 (2)重要不等式的推广三维形式：对于三个正数a,b,c,有3，当且仅当a=b=c时，等号成立。多维形式：若123,naaaaR+则12312nnnaaaaaaa+当且仅当123naaaa=时，等号成立。B