九年级数学直线和圆的方程知识点精讲.docx

九年级数学直线和圆的方程知识点精讲直线和圆的方程一、直线方程.1.直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是0180注：当或时，直线垂直于轴，它的斜率不存在.每一条直线都存在唯一的倾斜角，除与轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有唯一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.2.直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.十分地，当直线经过两点，即直线在轴，轴上的截距分别为时，直线方程是：.注：若是一直线的方程，则这条直线的方程是，但若则不是这条线.附：直线系：对于直线的斜截式方程，当均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，假如变化时，对应的直线也会变化.当为定植，变化时，它们表示过定点0，的直线束.当为定值，变化时，它们表示一组平行直线.3.两条直线平行：两条直线平行的条件是：和是两条不重合的直线.在和的斜率都存在的前提下得到的.因而，应十分注意，抽掉或忽视其中任一个“前提都会导致结论的错误.一般的结论是：对于两条直线，它们在轴上的纵截距是，则，且或的斜率均不存在，即是平行的必要不充分条件，且推论：假如两条直线的倾斜角为则.两条直线垂直：两条直线垂直的条件：设两条直线和的斜率分别为和，则有这里的前提是的斜率都存在.，且的斜率不存在或，且的斜率不存在.即是垂直的充要条件4.直线的交角：直线到的角方向角；直线到的角，是指直线绕交点依逆时针方向旋转到与重合时所转动的角，它的范围是，当时.两条相交直线与的夹角：两条相交直线与的夹角，是指由与相交所成的四个角中最小的正角，又称为和所成的角，它的取值范围是，当，则有.5.过两直线的交点的直线系方程x90=12xx=lxx),0(),0,(baxy)0,0(,baba1=+byax232-=xy232-=xy)0(232-=xxybkxy+=bk,bk,bkbkb1l212kkl=?1l2l1l2l21,lly21,bb1l212kkl=?21bb21,ll2121ABBA=21CC21,ll21,1l212=?l1l2l1k2k12121-=?kkll21,ll0121=?kll2l02=k1l01221=+BABA1l2l1l2l1l2l),0(9021121tankkkk+-=1l2l1l2l1l2l1l2l?2,09021121tankkkk+-=?=+=+0:0:22221111CyBxAlCyBxAl(0)(222111=+CyBxACyBxA为参数，不包括在内6.点到直线的距离：点到直线的距离公式：设点，直线到的距离为，则有.注：两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式：.特例：点P(x,y)到原点O的距离：定比分点坐标分式。若点P(x,y)分有向线段,其中P1(x1,y1),P2(x2,y2).则特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。直线的倾斜角0°180°、斜率:过两点.当即直线和x轴垂直时，直线的倾斜角，没有斜率两条平行线间的距离公式：设两条平行直线，它们之间的距离为，则有.注；直线系方程1.与直线：Ax+By+C=0平行的直线系方程是：Ax+By+m=0.(m?R,Cm).2.与直线：Ax+By+C=0垂直的直线系方程是：Bx-Ay+m=0.(m?R)3.过定点x1,y1的直线系方程是：A(x-x1)+B(y-y1)=0(A,B不全为0)4.过直线l1、l2交点的直线系方程：A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2=0(?R注：该直线系不含l2.7.关于点对称和关于某直线对称：关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等.若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线.点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上方程，过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直方程可解得所求对称点.0222=+CyBxA),(00yxPPCByAxl,0:=+ld2200BACByAxd+=21221221)()(|yyxxPP-+-=|OP=1212PPPPPP=所成的比为即+=+=1,12121yyyxxxtan=k1212222111),(),(xxyykyxPyxP-=的直线的斜率公式：12()xx2121,yyxx=?90王新敞)(0:,0:212211CCCByAxlCByAxl=+=+d2221BACCd+-=注：曲线、直线关于一直线对称的解法：y换x，x换y.例：曲线f(x,y)=0关于直线y=x2对称曲线方程是f(y+2,x2)=0.曲线C:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线方程是f(ax,2by)=0.二、圆的方程.1.曲线与方程：在直角坐标系中，假如某曲线上的与一个二元方程的实数建立了如下关系：曲线上的点的坐标都是这个方程的解.以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线方程；这条曲线叫做方程的曲线图形.曲线和方程的关系，本质上是曲线上任一点其坐标与方程的一种关系，曲线上任一点是方程的解；反过来，知足方程的解所对应的点是曲线上的点.注：假如曲线C的方程是f(x,y)=0，那么点P0(x0,y)线C上的充要条件是f(x0,y0)=02.圆的标准方程：以点为圆心，为半径的圆的标准方程是.特例：圆心在坐标原点，半径为的圆的方程是：.注：特殊圆的方程：与轴相切的圆方程与轴相切的圆方程与轴轴都相切的圆方程3.圆的一般方程：.当时，方程表示一个圆，其中圆心，半径.当时，方程表示一个点.当时，方程无图形称虚圆.注：圆的参数方程：为参数.方程表示圆的充要条件是：且且.圆的直径或方程：已知用向量可征.4.点和圆的位置关系：给定点及圆.在圆内在圆上bxy+±=C0),(=yxf),(yxM0),(=yxf),(yx0),(=yxf0),(=yxf),(baCr222)()(rbyax=-+-r222ryx=+x222)()(bbyax=±+-),(),(,bababr-=或圆心y222)()(abyax=-+±),(),(,babaar-=或圆心xy222)()(aayax=±+±),(,aaar±±=圆心022=+FEyDxyx0422FED-+?-2,2EDC2422FEDr-+=0422=-+FED?-2,2ED0422FED-+?+=+=sincosrbyrax022=+FEyDxCyBxyAx0=B0=CA0422AFED-+0)()(),(),(21212211=-+-?yyyyxxxxyxByxA),(00yxM222)()(:rbyaxC=-+-MC22020)()(rbyax-+-?MC22020)()rbyax=-+-?在圆外5.直线和圆的位置关系：设圆圆：；直线：；圆心到直线的距离.时，与相切；附：若两圆相切，则相减为公切线方程.时，与相交；附：公共弦方程：设有两个交点，则其公共弦方程为.时，与相离.附：若两圆相离，则相减为圆心的连线的中与线方程.由代数特征判定：方程组用代入法，得关于或的一元二次方程，其判别式为，则：与相切；与相交；与相离.注：若两圆为同心圆则，相减，不表示直线.6.圆的切线方程：圆的斜率为的切线方程是过圆上一点的切线方程为：.一般方程若点(x0,y0)在圆上，则(xa)(x0a)+(yb)(y0b)=R2.十分地，过圆上一点的切线方程为.若点(x0,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则，联立求出切线方程.7.求切点弦方程：方法是构造图，则切点弦方程即转化为公共弦方程.如图：ABCD四类共MC22020)()(rbyax-+-?C)0()()(222rrbyax=-+-l)0(022+=+BACByAx),(baCl22BACBbAad+=rd=lC?=+=+002222211122FyExDyxFyExDyxrdlC0)()()(212121=-+-+-FFyEExDDrdlC?=+=+002222211122FyExDyxFyExDyx21OO?=+=-+-0)()(222CBxAxrbyaxxy?l?=?0Cl?0Cl?0C011122=+FyExDyx022222=+FyExDyx222ryx=+krkkxy21+±=022=+FEyDxyx),(00yxP0220000=+FyyExxDyyxx222ryx=+),(00yxP200ryyxx=+?+-=-=-1)()(2110101RxakybRxxkyy?k0:0:222222111221=+=+FyExDyxCFyExDyxCBC)圆.已知的方程又以ABCD为圆为方程为，所以BC的方程即代，相切即为所求.O022=+FEyDxyx2)()(kbxyyaxxxAA=-+-4)()(222byaxRAA-+-=