2019版高中数学 第三章 统计案例 3.2 回归分析学案 苏教版选修2-3.doc

- 1 -3.23.2 回归分析回归分析学习目标 1.会建立线性回归模型分析两个变量间的相关关系.2.能通过相关系数判断两个变量间的线性相关程度.3.了解非线性回归分析知识点一 线性回归模型思考 某电脑公司有 5 名产品推销员，其工作年限与年推销金额数据如下表：推销员编号12345工作年限x/年35679推销金额y/万元23345请问如何表示推销金额y与工作年限x之间的相关关系？y关于x的线性回归方程是什么？梳理 线性回归模型(1)随机误差具有线性相关关系的两个变量的取值x、y，y的值不能由x完全确定，可将x，y之间的关- 2 -系表示为yabx，其中_是确定性函数，_称为随机误差(2)随机误差产生的主要原因所用的_不恰当引起的误差；忽略了_；存在_误差(3)线性回归模型中a，b值的求法y_称为线性回归模型a，b的估计值为 ，则abError!(4)回归直线和线性回归方程直线 x称为回归直线，此直线方程即为线性回归方程， 称为_， 称为yabab_， 称为_y知识点二 样本相关系数r具有相关关系的两个变量的线性回归方程 x .yba思考 1 变量 与真实值y一样吗？y思考 2 变量 与真实值y之间误差大了好还是小了好？y梳理 样本相关系数r及其性质(1)r_.(2)r具有以下性质：|r|_；|r|越接近于_，x，y的线性相关程度越强；|r|越接近于_，x，y的线性相关程度越弱知识点三 对相对关系数r进行显著性检验的基本步骤1_：变量x，y不具有线性相关关系；2如果以 95%的把握作出判断，那么可以根据 10.950.05 与n2 在教材附录 2 中查出一个r的临界值r0.05(其中 10.950.05 称为检验水平)；3计算_；- 3 -4作出统计推断：若|r|_，则否定H0，表明有_的把握认为x与y之间具有线性相关关系；若|r|r0.05，则_原来的假设H0，即就目前数据而言，没有充分理由认为y与x之间有线性相关关系类型一 求线性回归方程例 1 某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：x681012y2356(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程 x ；yba(3)试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为 9 的同学的判断力(相关公式： ， )bn i1xiyinx yn i1x2in x2aybx- 4 -反思与感悟 (1)求线性回归方程的基本步骤列出散点图，从直观上分析数据间是否存在线性相关关系计算： ，iyi.x yn i1x 2in i1x代入公式求出 x 中参数 ， 的值ybaba写出线性回归方程并对实际问题作出估计(2)需特别注意的是，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归方程才有实际意义，否则求出的回归方程毫无意义跟踪训练 1 某班 5 名学生的数学和物理成绩如下表：学生编号12345学科编号ABCDE数学成绩(x)8876736663物理成绩(y)7865716461(1)画出散点图；(2)求物理成绩y对数学成绩x的线性回归方程；(3)一名学生的数学成绩是 96，试预测他的物理成绩- 5 -类型二 线性回归分析例 2 现随机抽取了某中学高一 10 名在校学生，他们入学时的数学成绩(x)与入学后第一次考试的数学成绩(y)如下：学生号12345678910x12010811710410311010410599108y84648468696869465771请问：这 10 名学生的两次数学成绩是否具有线性关系？反思与感悟 相关关系的两种判定方法及流程(1)利用散点图判定的流程- 6 -(2)利用相关系数判定的流程计算r结合r与相关关系的关系判断跟踪训练 2 一台机器由于使用时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点的零件的多少，随机器运转的速度而变化，下表为抽样试验的结果：转速x(转/秒)1614128每小时生产有缺点的零件数y(件)11985对变量y与x进行线性相关性检验类型三 非线性回归分析例 3 下表为收集到的一组数据：x21232527293235y711212466115325(1)作出x与y的散点图，并猜测x与y之间的关系；(2)建立x与y的关系；(3)利用所得模型，估计当x40 时y的值- 7 -反思与感悟 非线性回归问题的处理方法(1)指数函数型yebxa函数yebxa的图象处理方法：两边取对数，得 ln yln ebxa，即 ln ybxa.令zln y，把原始数据(x，y)转化为(x，z)，再根据线性回归模型的方法求出a，b.(2)对数函数型ybln xa函数ybln xa的图象：处理方法：设xln x，原方程可化为ybxa，再根据线性回归模型的方法求出a，b.(3)ybx2a型处理方法：设xx2，原方程可化为ybxa，再根据线性回归模型的方法求出a，b.跟踪训练 3 已知某种食品每千克的生产成本y(元)与生产该食品的重量x(千克)有关，经生产统计得到以下数据：x123510y10.155.524.082.852.11x203050100200- 8 -y1.621.411.301.211.15通过以上数据，判断该食品的生产成本y(元)与生产的重量x(千克)的倒数 之间是否具有线1 x性相关关系若有，求出y关于 的回归方程，并估计一下生产该食品 500 千克时每千克的1 x生产成本是多少(精确到 0.01)1设有一个线性回归方程 21.5x，当变量x增加 1 个单位时，y平均_个单位y2如图四个散点图中，适合用线性回归模型拟合其中两个变量的是_(填序号)3某厂节能降耗技术改造后，在生产A产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据如表：x3456y2.5t44.5根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为 0.7x0.35，则上表中的yt_.4下表是x和y之间的一组数据，则y关于x的回归直线必过点_x1234y13575.已知x、y之间的一组数据如下表：- 9 -x0123y1357(1)分别计算： 、x1y1x2y2x3y3x4y4、xxxx；x y2 12 22 32 4(2)已知变量x与y线性相关，求出回归方程回归分析的步骤(1)确定研究对象，明确哪个变量是自变量，哪个变量是因变量；(2)画出确定好的自变量和因变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等)；(3)由经验确定回归方程的类型(如果呈线性关系，则选用线性回归方程 x )；yba(4)按一定规则估计回归方程中的参数- 10 -答案精析答案精析问题导学知识点一思考 画出散点图，由图可知，样本点散布在一条直线附近，因此可用回归直线表示变量之间的相关关系设所求的线性回归方程为 x ，yba则 0.5，b5 i1xixyiy5 i1xix210 20 0.4.aybx所以年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程为 0.5x0.4.y梳理 (1)abx (2)确定性函数某些因素的影响 观测(3)abx n i1xiyinx yn i1x2inx2ybx(4)回归截距 回归系数 回归值知识点二思考 1 不一定思考 2 越小越好梳理 (1)n i1xiyinx yn i1x2inx2n i1y2iny2- 11 -(2)1 1 0知识点三1提出统计假设H0 3.样本相关系数r4r0.05 95% 没有理由拒绝题型探究例 1 解 (1)如图：(2)iyi6×28×310×512×6158，4 i1x9， 4，x681012 4y2356 46282102122344，4 i1x 2i0.7，b1584 × 9 × 4 3444 × 9214 20 40.7×92.3，aybx故线性回归方程为 0.7x2.3.y(3)由(2)中线性回归方程可知，当x9 时， 0.7×92.34，预测记忆力为 9 的同学的y判断力约为 4.跟踪训练 1 解 (1)散点图如图(2) ×(8876736663)x1 573.2， ×(7865716461)67.8.y1 5- 12 -iyi88×7876×6573×7166×6463×6125 054.5 i1x88276273266263227 174.5 i1x 2i所以 b5 i1xiyi5x y5 i1x2i5x20.625.25 0545 × 73.2 × 67.8 27 1745 × 73.22 67.80.625×73.222.05.aybx所以y对x的线性回归方程是 0.625x22.05.y(3)当x96 时， 0.625×9622.0582，即可以预测他的物理成绩是 82.y例 2 解 (12010899108)107.8，x1 10(84645771)68.y1 1012021082992108210 i1x 2i116 584.84264257271247 384.10 i1y 2iiyi120×84108×6499×57108×7173 796.10 i1x所以相关系数为r73 79610 × 107.8 × 68116 58410 × 107.8247 38410 × 6820.751.由检验水平 0.05 及n28，在附录 2 中查得r0.050.632.因为 0.7510.632，由此可看出这 10 名学生的两次数学成绩具有较强的线性相关关系- 13 -跟踪训练 2 解 由题中数据可得 12.5， 8.25，xyiyi438,4 412.5，660，291，4 i1x x y4 i1x 2i4 i1y 2i所以r4 i1xiyi4x y4 i1x2i4x24 i1y2i4y2438412.5660625 × 291272.250.995.25.5656.25由检验水平 0.05 及n22，在教材附录表 2 中查得r0.050.950，因为rr0.05，所以y与x具有线性相关关系例 3 解 (1)作出散点图如图，从散点图可以看出x与y不具有线性相关关系，根据已有知识可以发现样本点分布在某一条指数型函数曲线yc1ec2x的周围，其中c1、c2为待定的参数(2)对两边取对数把指数关系变为线性关系，令zln y，则有变换后的样本点应分布在直线zbxa，aln c1，bc2的周围，这样就可以利用线性回归模型来建立y与x之间的非线性回归方程，数据可以转化为x21232527293235z1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784求得线性回归方程为0.272x3.849，z e0.272x3.849.y(3)当x40 时， e0.272x3.8491 131.y- 14 -跟踪训练 3 解 设u ，通过已知数据得到y与u的相应数据为1 xu1 x10.50.330.20.1y10.155.524.082.852.11u1 x0.050.030.020.010.005y1.621.411.301.211.15根据上述数据可求得相关系数r10 i1ui·yi10u·y10 i1u2i10·u210 i1y2i10·y20.999 8，于是有很大的把握认为y与 具有线性相关关系1 x而 8.973，b10 i1ui·yi10u·y10 i1u2i10u2 · 1.126，aybu于是y与 的回归方程为 1.126.1 xy8.973 x当x500 时， 1.1261.14.y8.973 500所以估计生产该食品 500 千克时每千克的生产成本是 1.14 元当堂训练1减少 1.5 2. 3.3 4.(2.5,4)5解 (1) 1.5， 4，x0123 4y1357 4x1y1x2y2x3y3x4y40×11×32×53×734，xxxx0212223214.2 12 22 32 4(2) 2，b344 × 1.5 × 4 144 × 1.52 42×1.51，aybx- 15 -故 2x1.y