第四章功和能习题.docx

第四章功和能习题4-1判定正误1质点系的总动量为零，总角动量也一定为零。错2一质点做直线运动，质点的角动量一定为零。错3一质点做直线运动，质点的角动量一定不变。错4一质点做匀速率圆周运动，其动量方向在不断改变，所以角动量的方向也随之不断改变。错4-2两个自由质点，其质量分别为m1和m2，它们之间的互相作用符合万有引力定律，开场时，两质点间的距离为l，它们都处于静止状态，试求当它们的距离变为l21时，两质点的速度各为多少解：把两个质点当一个系统考虑，没有外力作用，动量和机械能守恒。:2211=+vmvm动量守恒2222112121212120vmvmLmmGLmmG+-=+-机械能守恒解得：)(2,)(221122121mmLGmvmmLGmv+-=+=4-3如附图所示，一根线密度为的均匀柔软链条，上端被人用手提住，下端恰好碰到桌面。现将手忽然松开，链条下落，设每节链环落到桌面上之后就静止在桌面上，求链条下落距离y时对桌面的瞬时作用力。解：在落到桌面前，链条个部分为自由落体，当链条下落y时，下落部分速率知足：gyvmgymv2212=?=dt时刻内将会有dy长度的链条落到桌面上，此时桌面上的链条遭到支持力N和重力G的作用，二者的合力改变了链条的动量，若指定向上为正，则)(d0d)(vytGN-=-即2vdtdyvygN=-所以gygygyygvN322=+=+=4-4作用在质量为10kg的物体上的力为F=10+2tN，式中t的单位为s。1求4s后，这物体的动量和速度的变化，以及力给予物体的冲量。2为了使这力的冲量为200Ns，该力应在这物体上作用多久，试就一原来静止的物体和一个具有初速度-6m/s的物体，回答这两个问题。解：1根据动量定理，m/skg56)10()()()210(40240?=+=?=?=+=?ttmvImvttIxxm/s6.51056m/skg56=?=?=?vvmmv2当物体原来静止时，在x方向s10020010200)210(02=?=-+?=+=?tttdttItx当初速度为m/s60jv-=时，ttvmttvmppvmpttd)210(d)210(,0000100?+=-+=-=由于y方向无力作用，y方向动量为恒矢量，故仍为10s。4-5一颗子弹由枪口射出时速率为v0m/s，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为F=a-btNa，b为常数，其中t以s为单位：1假设子弹运行到枪口处合力恰好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需时间；2求子弹所受的冲量；3求子弹的质量。解：1子弹到枪口时，有batbtaF=?=-=0)(2子弹受的冲量2021)(btatdtbtaIt?-=-=，将bat=带入得baI22=3由动量定理，得0202bvavIm=4-6务实验室内观察到相距很远的一个质子质量为mp和一个氦核质量为4mp，沿一直线相向运动，速率都是v0，求二者能到达的近期距离R。解：如图当质子和氦核相距近期时，它们的速度一定同方向且相等，由动量守恒得00053)4(4vVVmmvmvmpppp=?+=-质子带电量为e，氦核带电量为2e，它们相距为r时具有的势能为rkereekEp222=?=，其中k为静电力常量。由能量守恒得min2220202)4(2121421rkeVmmvmvmpppp+=+?得：22min45vmkerp=4-7Fx=30+4t式中Fx的单位为N，t的单位为s的合外力作用在质量为m=10kg的物体上，试求：1在开场2s内此力的冲量；2若冲量I=300Ns，此力作用的时间；3若物体的初速度v1=10m/s，方向与Fx一样，在t=时，此物体的速度v2。解：10-2s内此力的冲量sN68)302(d)430(d20222?=+=+=?tttttFIx2sN300?=I时，3003022=+tt，解得s86.6=t30300mvmvI-=，解得m/s40=v4-8如附图所示，在水平地面上，有一横截面S=的直角弯管，管中有流速为v=s的水通过，求弯管所受力的大小和方向。解：水在竖直方向和水平方向分别利用冲量定理求冲力分量，弯管所受力大小为水所受的冲力合力。在竖直方向：tvSvmvtFd)(dd1-=在水平方向：tvSvtFdd2=水所受的冲力合力大小为：N105.2N0.320.0101223232221?=?=+=SvFFF，方向沿直角平分线指向弯管内侧。由牛顿第三定律，弯管所受力大小为N105.23?，方向沿直角平分线指向弯管外侧。4-9如附图所示，一做斜抛运动的物体，在最高点炸裂为质量相等的两块，最高点距离地面为。爆炸后，第一块落到爆炸点正下方的地面上，此处距抛出点的水平距离为×102m。问第二块落在距抛出点多远的地面上设空气的阻力不计。解：物体在最高点处爆炸的经过，由于爆炸内力远大于重力，重力的冲量可或略，物体爆照经过动量守恒。设作斜抛物体的初速率为v0，到最高点所需时间为t0，则由000=-gtvy，200021gttvhy-=，得到ght20=hgxtxvx21010=1物体爆炸后，第一块碎片竖直落下的运动方程为21121gttvhy-=，当该碎片落地时，有s00.1,011=tty，则得到第一块碎片抛出的速率1v121121tgthv-=2再根据动量守恒定律，在最高点处有xxmvmv2021=3;ymvmv2121210+-=4联解式14，得m/s100222102=hgxvvxx;m/s7.142112112=-=tgthvvy爆炸后，第二块碎片作斜抛运动，其运动方程为2212tvxxx+=52222221gttvhyy-+=6落地时，02=y，由式5和6可解得m5002=x4-10如附图所示，质量为×10-23kg，速率为×107m/s的粒子A，与另一质量为其一半而静止的粒子B发生二维弹性碰撞，碰撞后粒子A的速率为×107m/s.求：1粒子B的速率及相对粒子A原来速度方向的偏转角；2粒子A的偏转角。解：由动量守恒BBAAAAvmvmvm+='，即coscos'BBAAAAvmvmvm+=1;sinsin'BBAAvmvm=2;弹性碰撞，动能不变22221'2121BBAAAAvmvmvm+=3;把kg102.723-?=Am，kg106.3223-?=ABmm，m/s100.67?=Av，m/s100.57'?=Av代入式1-3，得m/s1069.47?=Bv，'2022=，'654=4-11如附图所示，一个质量为m的小球，从内壁为半球形的容器边缘点A滑下。设容器质量为'm，半径为R，内壁光滑，并放置在摩擦能够或略的水平桌面上，开场时小球和容器都处于静止状态。当小球沿内壁滑到容器底部的点B时，遭到向上的支持力为多大解：水平方向系统动量守恒，下滑经过中系统机械能守恒0''=-mmvmmv;2'2'2121mmvmmvmgR+=其中mv、'mv分别表示小球到达B点时小球、容器相对于桌面的速度，得''2mmgRmvm+=，''2''mmgRmmmvm+=以容器为参考系，求在B点小球相对容器的速度'mv由于)(''mmmvvv-+=，得')'(2''mmmgRvvvmmm+=+=容器参考系中，小球圆周运动的向心力为)'23(')'(2'2mmmgmgRmmmmgRFRmvmgFNmN+=+=?=-4-12如附图所示,质量为m,速度为v的钢球,射向质量为m的靶，靶中心有一小孔,内有劲度系数为k的弹簧，此靶最初处于静止状态,，但可在水平面上做无摩擦滑动，求钢球射入靶内弹簧后,弹簧的最大压缩距离。分析这也是一种碰撞问题碰撞的全经过是指小球刚与弹簧接触直至弹簧被压缩到最大,小球与靶恰好到达共同速度为止,在这经过中,小球和靶组成的系统在水平方向不受外力作用,外力的冲量为零,因而,在此方向动量守恒但是,仅靠动量守恒定律还不能求出结果来又考虑到无外力对系统作功,系统无非保守内力作功,故系统的机械能也守恒应用上述两个守恒定律,并考虑到球与靶具有一样速度时,弹簧被压缩量最大这一条件,即可求解应用守恒定律求解,可免除碰撞中的很多细节问题解设弹簧的最大压缩量为x0小球与靶共同运动的速度为v1由动量守恒定律,有()1'mv=m+mv(1)又由机械能守恒定律,有()22210111222mkx'+v=m+mv(2)由式(1)、(2)可得()mmxk'='m+m4-13自动步枪连发时每分钟可射出120发子弹，每颗子弹质量为，出口速率为735m/s，求射击时所需的平均力。解：枪射出每发子弹所需时间：t=60/120=，对子弹应用动量定理：3/7.910735/0.511.6FtpFptmvtN-?=?=?=?=?=4-14水力采煤,是用高压水枪喷出的强力水柱冲击煤层。设水柱直径30mmD=，水速56m/s=，水柱垂直射在煤层外表上，冲击煤层后的速度为零，求水柱对煤的平均冲力。解t时间内射向煤层的水柱质量为214mVDx?=?=?煤层对水柱的平均冲击力如图以向右为正方向为211xxxmmmFtt?-?=-?2114xxDt?=-?3322311.010(3010)562.2210(N)4-=-?=-?水柱对煤层的平均冲力为'32.2210NFF=-=?，方向向右。4-15Fx304的力作用在质量为10kg的物体上，求：(1)在开场2内此力的冲量；(2)若冲量I300N·s,此力作用的时间；(3)若物体的初速度10m·s-1,方向与F一样,在t时,此物体的速度是多少分析此题可由冲量的定义式21dttFt=?I,求变力的冲量,继而根据动量定理求物体的速度v2解(1)由分析知()122200304d302|68Nstttt=+=+=?I(2)由I30030t2t2,解此方程可得t686s(另一解不合题意已舍去)(3)由动量定理,有Imv2-mv1由(2)可知t686s时I300N·s,将I、m及v1代入可得-11240msImm+=?vv4-16质量为m的质点在xOy平面内运动，其运动方程jirtbtasincos+=，求：(1)质点的动量；(2)从t0到2=t这段时间内质点遭到的合力的冲量；(3)在上述时间内，质点的动量能否守恒为什么解质点的速度jirvtbtatcossindd+-=(1)(1)质点的动量()jivptbtammcossin+-=(2)由(1)式得0=t时，质点的速度jvb=02=t时，质点的速度为jjivbba=+-=2cos2sint根据动量定理00t=-=?=mvmvpI解法二：jiaFjivajirvtmbwtmamtbwtattbtatsincossincosddcossindd2222-=-=+-=()0dsincosd202220=-=?ttmbwtmatjiFI(3)质点的动量不守恒，由于由第一问结果知动量随时间t变化。4-17将一空盒放在台秤盘上，并将台秤的读数调节到零，然后从高出盒底h处将石子以每秒n个的速率连续注入盒中，每一石子的质量为m。假定石子与盒子的碰撞是完全非弹性的，试求石子开场落入盒后t秒时，台秤的读数。解t秒钟后台秤的读数包括下面两部分，一部分是已落入盒中的石子对称盘的压力1N，另一部分是正下落的石子对秤的冲力2N，显然nmgtN=1取t?时间下落的石子为研究对象，设它们所遭到的平均冲力为N'，根据动量定理ghtnmtvnmptN2002?-=?-=?=?'所以ghnmN22-='故t?时间下落的石子对称的冲力ghnmNN222='-=因而秤的读数为ghnmnmgtNNN221+=+=4-18以速度0v前进的炮车，向后发射一炮弹，已知炮车的仰角为，炮弹和炮车的质量分别为m和M，炮弹相对炮车的出口速率为v，如下图。求炮车的反冲速率是多大解以大地为参照系，取炮弹与炮弹组成的系统为研究对象，系统水平方向的动量守恒。由图可知炮弹相对于地面的速度的水平分量为vv'-cos，根据动量守恒定律()()vMvvmvmM'-'-=+-cos0所以()mMmvvmMv+='cos0此即为炮车的反冲速率。4-19一质点的运动轨迹如下图。已知质点的质量为20g，在A、B两位置处的速率都是20sm，Av与x轴成045角，Bv与y轴垂直，求质点由A点运动到B点这段时间内，作用在质点上外力的总冲量。解由题意知，质点由A点到B点动量的改变为smkg683.02220202020202045cos330ABx?-=?-?-=-=?-mvmvpsmkg283.02220202045sin030Ay?-=?-=-=?-mvp根据动量定理，作用在质点上的外力的冲量xxpI?=;yypI?=所以()()()()sN739.0283.0683.0222y2x2y2x?=-+-=?+?=+=ppIII冲量与x轴之间的夹角0xg5.202683.0283.0arctanarctan=-=II4-20如下图，砂子从h处下落到以=0v3sm的速率沿水平向右运动的传输带上，若每秒钟落下100kg的砂子，求传输带对砂子作用力的大小和方向。 解如下图，设t?时间内落下的砂子的质量为m?，则m?的动量改变()10vvp-?=?m显然有ghv21=由图可知()()2212021vvmmvmvp+?=?+?=?根据动量定理pF?=?t所以2020212vghtmvvtmtpF+?=+?=?=N49738.08.921002=+?=4-21矿砂从传输带A落到另一传输带B，其速度大小为1v4sm，2v2sm方向如下图。设传输带的运送量tm?2000hkg，求矿砂作用在传输带B上的力的大小和方向。解取t?时间内落下的矿砂m?为研究对象，建立如下图的坐标系，其动?mv1?p?mv0yx量的改变为()22111122xcossinsincosvvmmvmvp-?=?+?-=?()22111122ysincoscossinvvmmvmvp+?=?+?=?根据动量定理pF?=?t;xxptF?=?;yyptF?=?所以()()N1079.315cos230sin436002000cossin2002211xx-?=-=-?=?=vvtmtpF()()N21.230cos415sin236002000cossin001122yy=+=+?=?=vvtmtpF故矿砂作用在传输带B上的力()N22.21079.311.22322y2x=?+=+=-FFF与竖直方向的夹角03yx111.21079.3arctgarctg=?=-FF4-22某弹道火箭初始总质量9.120=Mt，内装m的燃料，由静止开场发射。发射时喷气速率3100.2?=usm，喷气流量为q125skg，二者都是常量。不计重力及空气阻力，求火箭遭到的反推力和它在燃料烧尽后的速度。解取dt时间内喷出的气体为研究对象，根据动量定理muptFddd='所以uqtmutpF='dddd火箭遭到的反推力uqFF='=(1)N105.2125100.253?=?=F设燃料燃烧尽后火箭的速度为v，根据动量定理()vqtMtFdd0-=(2)燃料燃烧时间qmT0=(3)联立(1)、(2)两式得qtMtuqv-=0dd(4)将上式积分得?-=TvqtMtuqv000dd(5)联立(3)、(5)两式得m104.20.99.129.12ln100.2ln33000?=-?=-=mMMuv4-23初始质量为0M的火箭，在地面附近空间以相对于火箭的速率u垂直向下喷射高温气体，每秒钟消耗的燃料量tmdd为常量C。设初速为零，试求火箭上升速度与时间的函数关系。解：经过时间t后，火箭的速度为v因而gtctMMuv-=00ln4-24依靠火箭将卫星进入轨道。发射前火箭和卫星的总质量为0.120=Mt。其中燃料质量m=。若希望在燃料烧尽后火箭能到达第一宇宙速度v=skg，不计空气阻力和重力，则燃料喷气相对于火箭的速率u应为多大解：mMMuv-=00ln所以skm7.5sm107.50.90.120.12ln109.7ln3300=?=-?=-=mMMvu4-25质量为m的质点，当它处在r=-2i+4j+6k的位置时的速度v=5i+4j+6k，试求其对原点的角动量。解：质点对原点的角动量为vrprL?=?=m)2842(645642kjkji-=-=mm4-26一质量为m2200kg的汽车v=60hkm的速率沿一平直公路行驶。求汽车对公路一侧距公路为d50m的一点的角动量是多大对公路上任一点的角动量又是多大解：根据角动量的定义式vrLm?=(1)smkg1083.150360*sin263?=?=mvdrmvL(2)对公路上任一点rv，所以0=L4-27哈雷彗星绕太阳运行的轨道是一个椭圆。它离大阳近期的距离是m1075.8101?=r，其时它的速率为sm1046.541?=v；它离太阳最远时的速率是sm1008.922?=v，这时它离太阳的距离2r是多少。解：彗星运行受的引力指向太阳，所以它对太阳的角动量守恒，它在走过离太阳近期或最远的地点时，速度的方向均与对太阳的矢径方向垂直，所以根据角动量守恒2211vmrvmr=由此得到m1026.51008.91046.51075.81224102112?=?=vvrr4-28若将月球轨道视为圆周，其转动周期为，求月球对地球中心的角动量及面积速度(221035.7?=月mkg，轨道半径R=81084.3?m)。解：设月球的速度为v，月球对地球中心的角动量为L，则TRv/2=TRmRvmL2月月=3600243.2714.32)1084.3(1035.72822?=/smkg1089.2234?=月球的面积速度为/sm1096.1/2112?=TRv面4-29氢原子中的电子以角速度srad1013.46?=在半径10103.5-?=rm的圆形轨道上绕质子转动。试求电子的轨道角动量，并以普朗克常数h表示之(sJ1063.634?=-h)。解：电子的轨道角动量()sJ106.11006.11013.4103.5101.99426210312?=?=?=-mrL2424110.Lh=?4-30海王星的轨道运动可看成是匀速率圆周运动，轨道半径约为km1059?=R，绕太阳运行的周期为T=165年。海王星的质量约为kg100.126?=m，试计算海王星对大阳中心的角动量的大小。解：海王星对太阳中心的角动量mRvL=;TRv2=联立两式得到()smkg1002.336002436516510100.52100.12242239262?=?=TRmL4-316月22日，地球处于远日点，到太阳的距离为111052.1?m，轨道速度为sm1093.24?。6个月后，地球处于近日点，到太阳的距离为111047.1?m。求：(1)在近日点地球的轨道速度；(2)两种情况下地球的角速度。解：设在近日点附近地球的轨道速度为1v，轨道半径为1r，角速度为1；在远日点地球的轨道速度为2v，轨道半径为2r，角速度为2。(1)取地球为研究对象，其对太阳中心的角动量守恒。2211vrmvrm地地=所以sm1003.31047.11093.21052.14114111221?=?=rvrv(2)srad1006.21047.11003.37114111-?=?=rv;srad1093.11053.11093.27114222-?=?=rv4-32光滑圆盘上有一质量为m的物体A，拴在一根穿过圆盘中心光滑小孔的细绳上，如下图。开场时，该物体距圆盘中心O的距离为0r，并以角速度0绕盘心O作圆周运动。现向下拉绳，当质点A的径向距离由0r减少到021r时，向下拉的速度为v，求下拉经过中拉力所作的功。解：质点所受合外力为有心力，角动量守恒rvmrmv'=00v'为021r时小球的横向速度。根据质点的动能定理，拉力作功2021221mvmvAB-=Bv为小球对地的总速度，而222vvvB+'=当021rr=时221202023mvmrA+=4-33如下图，在光滑的水平面上有一轻质弹簧(其劲度系数为k)，它的一端固定，另一端系一质量为m的滑块.最初滑块静止时，弹簧呈自然长度l0，今有一质量为m的子弹以速度v0沿水平方向并垂直于弹簧轴线射向滑块且留在其中，滑块在水平面内滑动，当弹簧被拉伸至长度l时，求滑块速度v的大小和方向.解：子弹射入滑块霎时，因属非弹性碰撞，根据动量守恒定律有()vv'+'=mmm0(1)在弹簧的弹力作用下，滑块与子弹一起运动的经过中，若将弹簧包括在系统内，则系统知足机械能守恒定律，有()()()2022212121llkmmmm-+'='+'vv(2)又在滑块绕固定点作弧线运动中，系统知足角动量守恒定律，故有()()lmmlmmsin0vv+'='+'(3)式中为滑块速度方向与弹簧线之间的夹角.联立解上述三式，可得()mmllkmmm+'-?+'=20202vv，()lmmlmvv+'=00arcsin