2019版高中数学 第四章 4.2 用数学归纳法证明不等式举例试题 新人教A版选修4-5.doc
1二二 用数学归纳法证明不等式举例用数学归纳法证明不等式举例课后篇巩固探究巩固探究1 1.用数学归纳法证明 1+1)时,第一步是证下述哪个不等式成立( )1 2+1 31 2 - 1A.1-1,x0,则下列不等式正确的是( )A.(1+x)3 - 1 2A.1B.2C.3D.4解析当n=1 时,左边=1,右边=10=1,1>1,不成立;当n=2 时,左边=2+1=3,右边=,3>1112+ 2 221 2=2,成立;当n=3 时,左边=3+3+1=7,右边=31=3,7>3,成立.213+ 2 3+ 3 32所以n的最小值n0为 2.答案 B4 4.导学号 26394067 某同学回答“用数学归纳法证明时,f(2k+1)比f(2k)多的项为 .1 2+1 31 2解析f(2k+1)-f(2k)=1+.1 2+1 312 + 1(1 +1 2+1 3+ +12)=12+ 1+12+ 212 + 1答案+12+ 1+12+ 212 + 16 6.已知x>0,观察下列几个不等式:x+2;x+3;x+4;x+5归纳猜想一般的不等式1 422732564为 . 答案x+n+1(n为正整数)37 7.用数学归纳法证明(a,b是非负实数,nN N+)时,假设当n=k时不等式+ 2( + 2)(*)成立,再推证当n=k+1 时不等式也成立的关键是将(*)式两边同乘 .+ 2( + 2)解析对比k与k+1 时的结论可知,两边只需同乘即可. + 2答案 + 28 8.用数学归纳法证明 1+ 24n都成立,求正整数a的最大值,并证明你的结论.解取n=1,则有成立,1 2+1 3+1 4> 24所以,因此a 24即正整数a的最大值为 25.以下用数学归纳法证明.4+对一切正整数n都成立.1 + 1+1 + 2+1 + 31 3 + 1>25 24(1)当n=1 时不等式成立.(2)假设当n=k(k1)时不等式成立,即+,1 + 1+1 + 2+1 + 31 3 + 1>25 24当n=k+1 时,+1 ( + 1) + 1+1 ( + 1) + 2+1 ( + 1) + 31 3( + 1) + 1=.(1 + 1+1 + 2+1 + 3+ +1 3 + 1)+1 3 + 2+1 3 + 3+1 3 + 41 + 1>25 24+1 3 + 2+1 3 + 4-2 3( + 1)因为,1 3 + 2+1 3 + 4=6( + 1)92+ 18 + 8>6( + 1)92+ 18 + 9=6( + 1)9( + 1)2=2 3( + 1)所以>0,1 3 + 2+1 3 + 42 3( + 1)于是+,1 ( + 1) + 1+1 ( + 1) + 2+1 ( + 1) + 31 3( + 1) + 1>25 24即当n=k+1 时不等式成立.由(1)(2)知,对一切正整数n,都有+,且正整数a的最大1 + 1+1 + 2+1 + 31 3 + 1>25 24值等于 25.1010.导学号 26394069 已知数列an满足:a1=,且an=(n2,nN N+).3 23 - 12 - 1+ - 1(1)求数列an的通项公式;(2)求证对一切正整数n,不等式a1a2an1 2显然,左端每个因式皆为正数,先证明对nN N+,有××(1 -1 3)×(1 -132)(1 -13)1-.(1 3+132+ +13)下面用数学归纳法证明式:当n=1 时,显然式成立,假设当n=k(k1)时,式成立,即××(1 -1 3)×(1 -132)(1 -13)1-.(1 3+132+ +13)当n=k+1 时,××(1 -1 3)×(1 -132)(1 -13)×(1 -13 + 1)61 -(1 3+132+ +13)(1 -13 + 1)=1-(1 3+132+ +13)13 + 1+13 + 1·(13+132+ +13)>1-.(1 3+132+ +13+13 + 1)即当n=k+1 时,式也成立.故对一切nN N+,式都成立.利用,得(1 -1 3)×(1 -132)(1 -13)1-(1 3+132+ +13)=1-1 31 -(1 3)1 -1 3=1-.1 21 -(1 3)=1 2+1 2(1 3)>1 2故原不等式成立.
