高三数学上学期期中模拟试卷.pdf

小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学2015-2016 学年江苏省南京市金陵中学河西分校高三（上）期中数学模拟试卷（一）一、填空题：.1若集合A=0，1，集合 B=0，1，则 AB=2命题“若ab，则 2a2b”的否命题为3若幂函数f（x）=xa（aQ）的图象过点（2，），则 a=4若，均为单位向量，且（2），则，的夹角大小为5若函数f（x）=是奇函数，则m=6已知点P是函数 f（x）=cosx（0 x）图象上一点，则曲线y=f（x）在点 P处的切线斜率的最小值为7在等差数列an中，Sn是其前 n 项和，若S7=S5+4，则 S9S3=8在 ABC中，a，b，c 分别为角A，B，C的对边，若a=4，b=3，A=2B，则 sinB=9已知函数y=sin x（0）在区间 0，上为增函数，且图象关于点（3，0）对称，则 的取值集合为10如图：梯形ABCD 中，AB CD，AB=6，AD=DC=2，若?=12，则?=小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学11如图，在等腰 ABC 中，AB=AC，M为 BC中点，点D、E分别在边AB、AC上，且 AD=DB，AE=3EC，若DME=90，则cosA=12若函数f（x）=x2+a|x 2|在（0，+）上单调递增，则实数a 的取值范围是13在四边形ABCD 中，=（1，1），则四边形ABCD 的面积是14已知函数f（x）=，若命题“?t R，且 t 0，使得 f（t）kt”是假命题，则正实数k 的取值范围是二、解答题（共6 小题，满分90 分）15已知函数f（x）=sin x+acosx 满足 f（0）=，且 f（x）图象的相邻两条对称轴间的距离为（1）求 a 与 的值；（2）若 f（a）=1，a（，），求 cos（a）的值16设函数y=lg（x2+4x3）的定义域为A，函数 y=，x（0，m）的值域为B（1）当 m=2时，求 AB；（2）若“xA”是“xB”的必要不充分条件，求实数m的取值范围17设 ABC的面积为S，且 2S+?=0（1）求角 A的大小；（2）若|=，且角 B不是最小角，求S的取值范围小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学18如图是一块镀锌铁皮的边角料ABCD，其中 AB、CD、DA都是线段，曲线段BC是抛物线的一部分，且点B是该抛物线的顶点，BA所在直线是该抛物线的对称轴，经测量，AB=2米，AD=3米，AB AD，点 C到 AD、AB的距离 CH、CR的长均为1 米，现要用这块边角料截一个矩形AEFG（其中点F 在曲线段BC或线段 CD上，点 E在线段 AD上，点 G在线段 AB上）设BG的长为 x 米，矩形AEFG 的面积为S平方米（1）将 S表示为 x 的函数；（2）当 x 为多少米时，S取得最大值，最大值是多少？19已知奇函数f（x）的定义域为 1，1，当 x 1，0）时，f（x）=（1）求函数f（x）在 0，1 上的值域；（2）若 x（0，1，f2（x）f（x）+1 的最小值为 2，求实数 的值20已知函数f（x）=ex，g（x）=x m，m R（1）若曲线y=f（x）与直线y=g（x）相切，求实数m的值；（2）记 h（x）=f（x）?g（x），求 h（x）在 0，1 上的最大值；（3）当 m=0时，试比较ef（x2）与 g（x）的大小小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学2015-2016 学年江苏省南京市金陵中学河西分校高三（上）期中数学模拟试卷（一）参考答案与试题解析一、填空题：.1若集合A=0，1，集合 B=0，1，则 AB=1，0，1【考点】并集及其运算【专题】计算题；集合【分析】AB=x|x A或 x B【解答】解：AB=1，0，1 故答案为：1，0，1【点评】本题考查了集合的运算，属于基础题2命题“若ab，则 2a2b”的否命题为若 ab，则 2a2b【考点】四种命题【专题】综合题【分析】根据原命题与否命题的关系，可知若原命题为：若p，则 q，否命题为：若p，则q，易得答案【解答】解：根据否命题的定义：若原命题为：若p，则 q，否命题为：若p，则q原命题为“若ab，则 2a2b”否命题为：若ab，则 2a2b故答案为：若ab，则 2a2b【点评】本题考查的知识点是四种命题，解题的关键是掌握四种命题之间的关系若原命题为：若p，则q，逆命题为：若q，则 p；否命题为：若p，则q；逆否命题为：若q，则p3若幂函数f（x）=xa（aQ）的图象过点（2，），则 a=【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【专题】函数的性质及应用【分析】由于幂函数f（x）=xa（aQ）的图象过点（2，），可得，解出即可小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学【解答】解：幂函数f（x）=xa（aQ）的图象过点（2，），=2a，a=故答案为：【点评】本题考查了幂函数的性质、指数的运算性质，属于基础题4若，均为单位向量，且（2），则，的夹角大小为【考点】数量积表示两个向量的夹角【专题】平面向量及应用【分析】先根据另个向量垂直以及其为单位向量得到cos=即可求出两个向量的夹角【解答】解：，均为单位向量，且（2），=2=0，即 1211cos=0，?cos=?=故答案为【点评】本题主要考查用数量积表示两个向量的夹角解决此类问题的根据熟练掌握两个向量的数量积运算，以及两向量的夹角公式5若函数f（x）=是奇函数，则m=2【考点】有理数指数幂的运算性质；函数奇偶性的性质【专题】函数的性质及应用【分析】利用奇函数的性质即可得出【解答】解：函数f（x）=是奇函数，f（x）+f（x）=+=0，化为（m 2）（2x1）=0，上式恒成立，m 2=0，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学解得 m=2 故答案为：2【点评】本题考查了奇函数的性质，属于基础题6已知点P是函数 f（x）=cosx（0 x）图象上一点，则曲线y=f（x）在点 P处的切线斜率的最小值为【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】计算题；导数的概念及应用；三角函数的求值【分析】求出函数的导数，求出切线的斜率，再由正弦函数的单调性，即可求得范围【解答】解：函数f（x）=cosx 的导数 f（x）=sinx，设 P（m，cosm），则曲线y=f（x）在点 P处的切线斜率为f（m）=sinm，由于 0m，则 0sinm，则sinm0，则在点 P处的切线斜率的最小值为故答案为：【点评】本题考查导数的几何意义，考查运用三角函数的性质求切线的斜率的范围，考查运算能力，属于中档题7在等差数列an中，Sn是其前 n 项和，若S7=S5+4，则 S9S3=12【考点】等差数列的前n 项和【专题】等差数列与等比数列【分析】由等差数列的性质得：S5S3，S7S5，S9S7仍然构成等差数列，然后利用等差中项的概念结合已知得答案【解答】解：在等差数列an中，由等差数列的性质得：S5S3，S7S5，S9S7仍然构成等差数列，则 S9S7+S5 S3=2（S7S5）=8，S9S3=8+（S7 S5）=8+4=12故答案为：12【点评】本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前n 项和，是基础题小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学8在 ABC中，a，b，c 分别为角A，B，C的对边，若a=4，b=3，A=2B，则 sinB=【考点】正弦定理的应用【专题】解三角形【分析】由正弦定理可得，且 sinA=sin2B=2sinBcosB，故可求sinB【解答】解：A=2B?sinA=sin2B=2sinBcosB 由正弦定理知?cosB=sinB=故答案为：【点评】本题主要考察了正弦定理的应用，属于基础题9已知函数y=sin x（0）在区间 0，上为增函数，且图象关于点（3，0）对称，则 的取值集合为，1【考点】函数 y=Asin（x+）的图象变换【专题】三角函数的图像与性质【分析】由条件可得，kZ，由此求得 的取值集合【解答】解：由题意知，即，其中 k Z，故有=、或=、或=1，故答案为：，1【点评】本题考查三角函数的图象与性质（单调性及对称性），三角函数除关注求最值外，也适当关注其图象的特征，如周期性、对称性、单调性等，属于中档题10如图：梯形ABCD 中，AB CD，AB=6，AD=DC=2，若?=12，则?=0 小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学【考点】平面向量数量积的运算【专题】平面向量及应用【分析】首先，设，为基底，然后，根据?=12，得到 BAD=60 然后根据数量积的运算求解即可【解答】解：以，为基底，则=+，=，则=48cosBAD 12=12，cosBAD=，则 BAD=60，则=44=0故答案为：0【点评】本题主要考查平面向量的数量积，体现化归转化思想另本题还可通过建立平面直角坐标系将向量“坐标化”来解决向量问题突出基底法和坐标法，但要关注基底的选择与坐标系位置选择的合理性，两种方法之间的选择11如图，在等腰 ABC 中，AB=AC，M为 BC中点，点D、E分别在边AB、AC上，且 AD=DB，AE=3EC，若DME=90，则cosA=【考点】余弦定理的应用【专题】综合题；平面向量及应用【分析】建立如图所示的坐标系，设C（a，0），A（0，b），确定 a，b 的关系，再利用向量的夹角公式，即可求得结论小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学【解答】解：建立如图所示的坐标系，设C（a，0），A（0，b），则 D（，），E（，b），=（，），=（，b），DME=90，?=0，（，）?（，b）=0，+=0=（，），=（，b），cosA=故答案为：【点评】本题考查向量的夹角公式，考查坐标化的运用，考查学生的计算能力，属于中档题12若函数f（x）=x2+a|x 2|在（0，+）上单调递增，则实数a 的取值范围是 4，0【考点】二次函数的性质【专题】函数的性质及应用【分析】先通过讨论x 的范围，将f（x）写出分段函数的形式，结合二次函数的性质，得到不等式组，解出即可【解答】解：解：f（x）=x2+a|x 2|=，要使 f（x）在 0，+）上单调递增，则：，解得 4a0；小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学实数 a 的取值范围是 4，0 故答案为：4，0【点评】本题考查了二次函数的性质，考查了分段函数问题，是一道中档题13 在四边形 ABCD 中，=（1，1），则四边形ABCD 的面积是【考点】向量的线性运算性质及几何意义【专题】平面向量及应用【分析】根据题意知四边形ABCD 是菱形，其边长为，且对角线BD等于边长的倍，再由向量数量积运算的应用可得和，最终可得四边形ABCD 的面积【解答】解：由题，可知平行四边形ABCD 的角平分线BD平分 ABC，四边形 ABCD是菱形，其边长为，且对角线BD等于边长的倍，所以 cosBAD=，故 sin BAD=，SABCD=（）2=故答案为：【点评】本小题考查向量的几何运算，基础题14已知函数f（x）=，若命题“?t R，且 t 0，使得 f（t）kt”是假命题，则正实数k 的取值范围是（，1【考点】命题的真假判断与应用【专题】函数的性质及应用【分析】由 x1 时函数的单调性，画出函数f（x）的图象，把命题“存在t R，且 t 0，使得f（t）kt”是假命题转化为“任意t R，且 t 0，使得 f（t）kt 恒成立”，作出直线y=kx，设直线与 y=lnx（x1）图象相切于点（m，lnm），求出切点和斜率，设直线与y=x（x1）2（x0）图象相切于点（0，0），得切线斜率k=1，由图象观察得出k 的取值范围【解答】解：当 x1 时，f（x）=|x32x2+x|=|x（x1）2|=，当 x0，f（x）=（x 1）（3x1）0，f（x）是增函数；小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学当 0 x 1，f（x）=（x1）（3x 1），f（x）在区间（0，）上是减函数，在（，1）上是增函数；画出函数y=f（x）在 R上的图象，如图所示；命题“存在t R，且 t 0，使得f（t）kt“是假命题，即为任意tR，且 t 0 时，使得f（t）kt 恒成立；作出直线y=kx，设直线与y=lnx（x1）图象相切于点（m，lnm），则由（lnx）=，得 k=，即 lnm=km，解得 m=e，k=；设直线与y=x（x1）2（x0）的图象相切于点（0，0），y=x（x1）2=（x1）（3x1），则有k=1，由图象可得，当直线绕着原点旋转时，转到与y=lnx（x1）图象相切，以及与 y=x（x1）2（x0）图象相切时，直线恒在上方，即f（t）kt 恒成立，k的取值范围是（，1 故答案为：（，1【点评】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了存在性命题与全称性命题的互相转化问题以及不等式恒成立的问题，是较难的题目二、解答题（共6 小题，满分90 分）15已知函数f（x）=sin x+acosx 满足 f（0）=，且 f（x）图象的相邻两条对称轴间的距离为（1）求 a 与 的值；小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学（2）若 f（a）=1，a（，），求 cos（a）的值【考点】由 y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；运用诱导公式化简求值【专题】三角函数的图像与性质【分析】（1）由 f（0）=，即可解得a=，f（x）=2sin（）且 T=2=，故可解得=1；（2）先求出 的值，代入即可求出cos（）的值【解答】解：（1）f（0）=，sin0+acos0=，解得 a=，f（x）=sin x+cosx=2sin（），f（x）图象的相邻两条对称轴间的距离为T=2=，=1（2）f（）=1，sin（）=，（，），（，），=，即有，cos（）=cos=cos（）=coscossinsin=【点评】本题主要考察了由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式，考察了运用诱导公式化简求值，属于中档题16设函数y=lg（x2+4x3）的定义域为A，函数 y=，x（0，m）的值域为B（1）当 m=2时，求 AB；（2）若“xA”是“xB”的必要不充分条件，求实数m的取值范围【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；对数函数的定义域【专题】简易逻辑【分析】（1）先求出 A=（1，3），再求出B=（，2），取交集即可；（2）根据：“xA”是“xB”的必要不充分条件，得不等式解出即可【解答】解：（1）由 x2+4x30，解得：1x3，A=（1，3），又函数 y=在区间（0，m）上单调递减，y（，2），即 B=（，2），当 m=2时，B=（，2），AB=（1，2）；小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学（2）首先要求m 0，而“xA”是“xB”的必要不充分条件，B?A，即（，2）?（1，3），从而1，解得：0m 1【点评】本题考查了充分必要条件，是一道基础题17设 ABC的面积为S，且 2S+?=0（1）求角 A的大小；（2）若|=，且角 B不是最小角，求S的取值范围【考点】余弦定理的应用【专题】解三角形【分析】（1）化简可得sinA+cosA=0，从而有tanA=，即可求角A的大小；（2）由已知和正弦定理得b=2sinB，c=2sinC，故 S=sin（2B+），又 2B+（，）即可求得 S（0，）【解答】解：（1）设 ABC中角 A，B，C所对的边分别为a，b，c 由 2S+，得 2，即有 sinA+cosA=0，所以 tanA=，又 A（0，），所以A=（2）因为|=，所以 a=，由正弦定理，得，所以 b=2sinB，c=2sinC，从而 S=bcsinA=sinBsinC=sinBsin（）=sinB（cosBsinB）=（sin2B）=sin（2B+）又 B（，），2B+（，），所以S（0，）【点评】本题主要考察了余弦定理的综合应用，属于中档题18如图是一块镀锌铁皮的边角料ABCD，其中 AB、CD、DA都是线段，曲线段BC是抛物线的一部分，且点B是该抛物线的顶点，BA所在直线是该抛物线的对称轴，经测量，AB=2米，AD=3米，AB AD，点 C到 AD、小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学AB的距离 CH、CR的长均为1 米，现要用这块边角料截一个矩形AEFG（其中点F 在曲线段BC或线段 CD上，点 E在线段 AD上，点 G在线段 AB上）设BG的长为 x 米，矩形AEFG 的面积为S平方米（1）将 S表示为 x 的函数；（2）当 x 为多少米时，S取得最大值，最大值是多少？【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用【分析】（1）由题意先根据已知条件建立平面直角坐标系，设出抛物线标准方程，然后将C点坐标给出来，代入方程求出p 的值，然后分两段表示出S的值（2）按照分段函数求最值的方法，在两段上分别求出其最大值，然后大中取大，注意前一段利用导数研究单调性后求最值后一段是二次函数的最值问题【解答】解：（1）以点 B为坐标原点，BA所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，设曲线段BC所在抛物线方程为y2=2px（p0）将点 C（1，1）代入，得2p=1所以曲线段BC的方程为y=（0 x1）又由点 C（1，1），D（2，3）得线段CD的方程为y=2x1（1x2），而 GA=2 x，所以，（2）当 0 x1 时，因为，所以，令 S=0 得当时，S 0，所以此时S递增；当时，S 0，所以此时S递减，所以当时，当 1x 2 时，因为所以当 x=时，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学综上，因为，所以当米时，答：当 x 取值为米时，矩形AEFG的面积最大为【点评】本题充分考查了分段函数的应用性问题，要注意抓住题目中的等量关系列出函数表达式，然后分两段研究其最值19已知奇函数f（x）的定义域为 1，1，当 x 1，0）时，f（x）=（1）求函数f（x）在 0，1 上的值域；（2）若 x（0，1，f2（x）f（x）+1 的最小值为 2，求实数 的值【考点】指数函数单调性的应用；函数的值域；二次函数在闭区间上的最值【专题】函数的性质及应用【分析】（1）利用函数的奇偶性、指数函数的单调性求出函数f（x）在 0，1 上的值域（2）根据 f（x）的范围，利用条件以及二次函数的性质，分类讨论求得实数 的值【解答】解：（1）设 x（0，1，则 x 1，0）时，所以f（x）=2x又因为 f（x）为奇函数，所以有f（x）=f（x），所以当 x（0，1 时，f（x）=f（x）=2x，所以 f（x）（1，2，又 f（0）=0所以，当x0，1 时函数 f（x）的值域为（1，2 0（2）由（1）知当 x（0，1 时，f（x）（1，2，所以f（x）（，1 令 t=f（x），则t 1，g（t）=f2（x）f（x）+1=t2t+1=+1，当，即 1 时，g（t）g（），无最小值，当1，即 1 2时，g（t）min=g（）=1=2，解得=2（舍去）当 1，即 2 时，g（t）min=g（1）=2，解得 =4，综上所述，=4小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学【点评】本题主要考查指数函数的单调性，求二次函数在闭区间上的最值，体现了分类讨论、转化的数学思想，属于中档题20已知函数f（x）=ex，g（x）=x m，m R（1）若曲线y=f（x）与直线y=g（x）相切，求实数m的值；（2）记 h（x）=f（x）?g（x），求 h（x）在 0，1 上的最大值；（3）当 m=0时，试比较ef（x2）与 g（x）的大小【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用【专题】函数的性质及应用；导数的概念及应用；导数的综合应用【分析】（1）研究函数的切线主要是利用切点作为突破口求解；（2）通过讨论函数在定义域内的单调性确定最值，要注意对字母m的讨论；（3）比较两个函数的大小主要是转化为判断两个函数的差函数的符号，然后转化为研究差函数的单调性研究其最值【解答】解：（1）设曲线f（x）=ex与 g（x）=xm相切于点P（x0，y0），由 f（x）=ex，知 e=1解得 x0=0又可求得P为（0，1），所以代入g（x）=x m，解得 m=1（2）因为 h（x）=（xm）ex，所以 h（x）=ex+（xm）ex=（x（m 1）ex，x0，1 当 m 10，即 m 1 时，h（x）0，此时h（x）在 0，1 上单调递增，所以h（x）max=h（1）=（1m）e；当 0m 11，即 1m 2 时，当 x（0，m 1）时，h（x）0，h（x）单调递减，当 x（m 1，1）时，h（x）0，h（x）单调递增，h（0）=m，h（1）=（1m）e（i）当 m（1m）e，即时，h（x）max=h（0）=m（ii）当 m（1m）e，即时，h（x）max=h（1）=（1m）e当 m 11，即 m 2 时，h（x）0，此时h（x）在 0，1 上单调递减，所以h（x）max=h（0）=m 综上，当m时，h（x）max=（1m）e；当 m时，h（x）max=m（3）当 m=0时，g（x）=x当 x0 时，显然ef（x2）g（x）；当 x0 时，=ex2lng（x）=lnx 小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学记函数，则=，可知 （x）在（0，+）上递增，又由（1）0，（2）0 知：（x）=0 在（0，+）上有唯一实根x0，且 1 x0 2，则，即，当 x（0，x0）时（x）0，（x）递减；当x（x0，+）时，（x）0，（x）单调递增所以，结合（*）式，知 x02=lnx0，所以=，则（x）=ex2lnx 0，即 ex2lnx，所以，综上 ef（x 2）g（x）【点评】本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、最值基本思路，当比较两个函数大小的时候，就转化为两个函数的差的单调性，进一步确定最值确定符号比较大小