课标通用2018年高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形4.7正弦定理和余弦定理学案理.pdf

小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学4.7正弦定理和余弦定理考纲展示?1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题2能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量、几何计算有关的实际问题考点 1 利用正、余弦定理解三角形正、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理公式asin A_2R a2 _；b2 _；c2 _ 续表定理正弦定理余弦定理常见变形(1)a 2Rsin A，b_，c_；(2)sin Aa2R，sin B_，sin Cc2R；(3)abc_；(4)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin A cos A_；cos B_；cos C_ 答案：bsin Bcsin Cb2c2 2bccos Ac2a22cacos Ba2b22abcos C2Rsin B2Rsin Cb2Rsin Asin Bsin Cb2c2a22bcc2a2b22ac小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学a2b2c22ab(1)教材习题改编 在ABC中，已知a5，b7，c 8，则AC()A90 B120 C135 D150答案：B(2)教材习题改编 在ABC中，已知A60，B75，c20，则a_.答案：106 解三角形的一般类型：已知两边及一角；已知两角及一边；已知三边(1)在ABC中，已知a5，b23，C30，则c_.答案：7 解析：由余弦定理，得c2a2b22abcos C 52(23)22523cos 30 7，所以c7.(2)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B3，sin A35，b3，则a_.答案：65解析：由正弦定理asin Absin B，得a3353265.(3)在ABC中，已知abc24 3，则 cos C_.答案：1116解析：设a2k，b4k，c3k(k0)，则 cos Ca2b2c22ab1116.典题 1 2017山师大附中一模 设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学bsin A3acos B.(1)求角B的大小；(2)若b3，sin C2sin A，求a，c的值 解(1)bsin A3acos B，由正弦定理得sin Bsin A3sin Acos B.在ABC中，sin A0，即得 tan B3，B3.(2)sin C2sin A，由正弦定理得c2a，由余弦定理b2a2c22accos B，即 9a24a22a2acos 3，解得a3，c2a23.点石成金 1.解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到2三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ac6，b2，cos B79.(1)求a，c的值；(2)求 sin(AB)的值解：(1)由余弦定理，得cos Ba2c2b22aca2c242ac79，即a2c2 4149ac.(ac)22ac4149ac，ac9.由ac6，ac9，得ac3.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学(2)在ABC中，cos B79，sin B1cos2B1792429.由正弦定理，得asin Absin B，sin Aasin Bb34292223.又AC，0A2，cos A1sin2A13，sin(AB)sin Acos Bcos Asin B223791342910227.考点 2 利用正弦、余弦定理判定三角形的形状三角形中的角的关系判断误区：角的大小比较的误区；角的个数的误区(1)在ABC中，若 sin Asin B，则A与B的大小关系是_答案：AB解析：由正弦定理，得sin Aa2R，sin Bb2R.若 sin Asin B，则a2Rb2R，即ab，故AB.(2)在ABC中，若A60，a43，b 42，则B等于 _答案：45解析：由正弦定理，有asin Absin B，则 sin Bbsin Aa42324322.又ab，所以AB，故B45.注意挖掘题中隐含条件，以便确定满足条件的角的情况小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学判断三角形的形状利用正、余弦定理判断三角形的形状，一般都可以通过两种途径实现：(1)把角的条件转化为边，通过边的关系判断；(2)把边的条件转化为角，通过计算角的大小进行判断 典题 2(1)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 2c22a22b2ab，则ABC是()A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D等边三角形 答案 A 解析 由 2c22a22b2ab，得a2b2c212ab，所以 cos Ca2b2c22ab12ab2ab14 0，所以 90C180，即ABC为钝角三角形(2)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不确定 答案 B 解析 依据题设条件的特点，由正弦定理，得 sin Bcos Ccos Bsin Csin2A，有 sin(BC)sin2A，A(0，)，sin A0.从而 sin(BC)sin Asin2A，解得 sin A1，A2，故选 B.题点发散1 若将本例条件改为“若2sin Acos Bsin C”，那么ABC一定是()A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等边三角形答案：B 小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学解析：解法一：由已知得2sin Acos Bsin Csin(AB)sin Acos B cos Asin B，即 sin(AB)0，因为 AB，所以AB.解法二：由正弦定理，得2acos Bc，再由余弦定理得2aa2c2b22acc?a2b2?ab.题点发散2 若将本例条件改为“若a2b2c2ab，且 2cos Asin Bsin C”，确定ABC的形状解：解法一：利用边的关系来判断：由正弦定理，得sin Csin Bcb，由 2cos Asin Bsin C，有 cos Asin C2sin Bc2b.又由余弦定理，得cos Ab2c2a22bc，c2bb2c2a22bc，即c2b2c2a2，a2b2，ab.又a2b2c2ab.2b2c2b2，b2c2，bc，abc.ABC为等边三角形解法二：利用角的关系来判断：ABC180，sin Csin(AB)，又 2cos Asin Bsin C，2cos Asin Bsin Acos Bcos Asin B，sin(AB)0.又A与B均为ABC的内角，所以AB，又由a2b2c2ab，由余弦定理，得cos Ca2b2c22abab2ab12，又 0C0)，由余弦定理可得cos Ca2b2c22ab25k2121k2169k22511k2231100，又C(0，)，C2，ABC为钝角三角形 题点发散4 若将本例条件改为“(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)”，试判断三角形的形状解：(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，b2sin(AB)sin(AB)a2sin(AB)sin(AB)，2sin Acos Bb22cos Asin Ba2，即a2cos Asin Bb2sin Acos B.解法一：由正弦定理知a 2Rsin A，b2Rsin B，sin2Acos Asin Bsin2Bsin Acos B，又 sin Asin B0，sin Acos Asin Bcos B，sin 2Asin 2B.在ABC中，02A2，02B 2，2A2B或 2A2B，AB或AB2.ABC为等腰三角形或直角三角形解法二：由正弦定理、余弦定理，得a2bb2c2a22bcb2aa2c2b22ac，a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)，(a2b2)(a2b2c2)0，a2b20 或a2b2c2 0.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学即ab或a2b2c2.ABC为等腰三角形或直角三角形 题点发散5 若将本例条件改为：“2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C，且 sin Bsin C1”，试判断ABC的形状解：由已知，根据正弦定理，得2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc，cos A12，sin A32，则 sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C.解得 sin Bsin C12.故BC6，所以ABC是等腰钝角三角形 点石成金 1.判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是不是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别2判断三角形形状主要有以下两种途径：(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cbcos A，则ABC为()A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D等边三角形答案：A 小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学解析：依题意得sin Csin Bcos A，sin Csin Bcos A，所以 sin(AB)sin Bcos A，即 sin Bcos Acos Bsin Asin Bcos A0，所以 cos Bsin A0，于是有 cos B0，B为钝角，ABC是钝角三角形考点 3 与三角形面积有关的问题三角形中常用的面积公式(1)S12ah(h表示边a上的高)；(2)S12bcsin A12acsin B12absin C；(3)S12r(abc)(r为三角形的内切圆半径)教材习题改编 在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2，b33，SABC92，则角C的值为 _答案：60或 120解析：由SABC12absin C12233sin C92，得 sin C32，因为C为三角形ABC的内角，所以C60或C120.三角形面积公式利用正余弦定理三角形的面积还可以写成：S2R2sin Asin Bsin C，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学Sssasbsc这里的sabc2.典题 3 2017河北衡水模拟 如图，在ABC中，sin 12ABC33，AB2，点D在线段AC上，且AD2DC，BD433.(1)求BC的长；(2)求DBC的面积 解(1)因为 sin 12ABC33，所以 cosABC121313.在ABC中，设BCa，AC3b，则由余弦定理可得，9b2a2443a，在ABD和DBC中，由余弦定理可得，cosADB4b216341633b，cosBDCb2163a2833b.因为 cosADB cosBDC，所以有4b216341633bb2163a2833b，所以 3b2a2 6.由可得，a3，b1，即BC 3.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学(2)由(1)得ABC的面积为S122322322，所以DBC的面积为223.点石成金 三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S12absin C12acsin B12bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式(2)与面积有关的问题，一般要用正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.2017湖北武汉质量预测 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a2b2c23bc0,2bsin Aa，BC边上中线AM的长为14.(1)求角A和角B的大小；(2)求ABC的面积解：(1)由a2b2c23bc0，得b2c2a23bc，cos Ab2c2a22bc32，A6，由 2bsin Aa，得ba，BA6.(2)设ACBCx，由余弦定理，得AM2x2x242xx2 12(14)2，解得x22，故SABC122 2223223.真题演练集训1 2014新课标全国卷钝角三角形ABC的面积是12，AB1，BC2，则AC()A5 B.5 C2 D1 答案：B 解析：由题意可得12ABBCsin B12，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学又AB1，BC2，所以 sin B22，所以B45或B135.当B45时，由余弦定理可得ACAB2BC22ABBCcos B 1，此时ACAB1，BC2，易得A90，与“钝角三角形”条件矛盾，舍去所以B135.由余弦定理可得ACAB2BC22ABBCcos B5.22014新课标全国卷 已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，a2，且(2 b)(sin Asin B)(cb)sin C，则ABC面积的最大值为_答案：3 解析：asin Absin Bcsin C2R，a2，又(2 b)(sin Asin B)(cb)sin C可化为(ab)(ab)(cb)c，a2b2c2bc，b2c2a2bc.b2c2a22bcbc2bc12cos A，A60.ABC中，4a2b2c22bccos 60 b2c2bc2bcbcbc(当且仅当bc时等号成立)，SABC12bcsin A124323.32016新课标全国卷 ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 cos A45，cos C513，a1，则b_.答案：2113解析：解法一：因为cos A45，cos C513，所以 sin A35，sin C1213，从而 sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C355134512136365.由正弦定理asin Absin B，得basin Bsin A2113.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学解法二：因为cos A45，cos C513，所以 sin A35，sin C1213，从而 cos B cos(AC)cos Acos Csin Asin C455133512131665.由正弦定理asin Acsin C，得casin Csin A2013.由余弦定理b2a2c22accos B，得b2113.解法三：因为cos A45，cos C513，所以 sin A35，sin C1213，由正弦定理asin Acsin C，得casin Csin A2013.从而bacos Cccos A2113.解法四：如图，作BDAC于点D，由 cos C513，aBC1，知CD513，BD1213.又 cos A45，所以 tan A34，从而AD1613.故bADDC2113.4 2016新课标全国卷 ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 2cos C(acos Bbcos A)c.(1)求C；(2)若c7，ABC的面积为332，求ABC的周长解：(1)由已知及正弦定理，得2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin C，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学2cos Csin(AB)sin C，故 2sin Ccos Csin C，C(0，)可得 cos C12，所以C3.(2)由已知，12absin C332.又C3，所以ab6.由已知及余弦定理，得a2b22abcos C7，故a2b2 13，从而(ab)225.所以ABC的周长为 57.课外拓展阅读转化与化归思想在解三角形中的应用 典例 2016新课标全国卷 ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 2cos C(acos Bbcos A)c.(1)求C；(2)若c7，ABC的面积为332，求ABC的周长 审题视角 (1)利用正弦定理进行边角互化求解；(2)利用三角形的面积公式得出ab，再结合余弦定理联立方程求出ab，进而求得ABC的面积 解(1)由已知及正弦定理得，2cos CAcos Bsin Bcos Asin C，2cos Csin(AB)sin C故 2sin Ccos Csin C.可得 cos C12，所以C3.(2)由已知，得12absin C332.又C3，所以ab6.由已知及余弦定理得，a2b2 2abcos C7.故a2b213，从而ab225.所以ABC的周长为 57.满分心得1(1)题中处不能利用正弦定理将边化为角，使已知条件中的式子转化为同类小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学(2)题中处不能结合余弦定理将(ab)视为整体进行求解而走入误区2转化与化归思想在解三角形中的应用主要体现在边角之间利用正、余弦定理统一的转化化简上，使关系式中的量达到统一性