高三数学上学期9月月考试卷文.pdf

小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学2015-2016 学年辽宁省沈阳市翔宇中学高三（上）9 月月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12 个小题，每小题5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将选择题答案涂在答题卡上1复数（1+i）2的虚部是（）A0 B2 C 2 D2i 2己知集合M=x|2 x3N=x|lgx 0，则M N=（）A（2，+）B1，3）C（2，1 D（2，3）3若命题p：?xR，2x2 10，则该命题的否定是（）A?xR，2x210 B?xR，2x210 C?xR，2x210 D?xR，2x2 10 4抛物线y2=4x 的准线方程是（）Ax=1 By=1 Cx=1 Dy=1 5已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x0 时 f（x）=xcosx，则 f（1）=（）A 1+cos1 B 1 cos1 C 1 cos1 D1+cos1 6函数 f（x）=sin（x+）（0）相邻两个对称中心的距离为，以下哪个区间是函数f（x）的单调减区间（）A，0 B0，C，D，7已知向量，满足+=（5，10），=（3，6），则，夹角的余弦值为（）AB CD8执行如图所示的程序框图若输出S=15，则框图中处可以填入（）小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学An 4 Bn8 Cn16 Dn16 9已知正数a，b 满足：三数a，1，b 的倒数成等差数列，则a+b 的最小值为（）A1 B2 CD4 10等比数列 an中，a1+a2+an=2n 1，则 a12+a22+an2=（）A（2n1）2BC4n1 D11函数，给出下列结论：f（x）的最小正周期为f（x）的一条对称轴为x=f（x）的一个对称中心为是奇函数其中正确结论的个数是（）A1 B2 C3 D4 小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学12已知函数f（x）满足 f（x）=f（x），且当 x（，0）时，f（x）+xf（x）0 成立，若 a=（20.1）?f（20.1），b=（ln2）?f（ln2），c=（log2）?f（log2），则 a，b，c 的大小关系是（）Aa bc Bc ba Cacb D cab 二、填空题（每题5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知函数f（x）=，则 ff（）=14从 1，2，3，4，5，6 这六个数中，随机抽取2 个不同的数，则这2 个数的和为偶数的概率是15若实数x，y 满足，则 z=2xy 的最小值为16数列 an 的首项 a1=1，数列 bn为等比数列且bn=，若 b10b11=2015，则 a21=三、解答题（第17 到 21 题为必做题，从第22、23、24 三个小题中选做一题，满分60 分）17设函数f（x）=sinx+cosx，g（x）=f（x）?f（x）+f（x）2（1）求 g（x）的周期和对称中心；（2）求 g（x）在 ，上值域18已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，S5=35，a5和 a7的等差中项为13（）求an及 Sn；小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学（）令（n N），求数列 bn的前 n 项和 Tn19已知函数f（x）=x2（2a+1）x+alnx（1）当 a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）当 a0，且，求函数f（x）的单调区间20已知定义域为R的函数是奇函数（）求a，b 的值；（）若对任意的t R，不等式f（t2 2t）+f（2t2k）0恒成立，求k 的取值范围21已知函数f（x）=（1x）ex1（）求函数f（x）的最大值；（）设，x 1 且 x0，证明：g（x）1【选修 4-1：几何证明选讲】22已知 ABC中，AB=AC，以点 B为圆心，以BC为半径的圆分别交AB，AC于 D，E两点，且EF为该圆的直径（1）求证：A=2 F；（2）若 AE=EC=1，求 BC的长小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学【选修 4-4：坐标系与参数方程】23已知曲线C的参数方程为（为参数），直线l 的极坐标方程为sin（+）=2（1）写出曲线C的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设点 P为曲线 C上的动点，求点P到直线 l 距离的最大值【选修 4-5：不等式选讲】24已知函数f（x）=|x a|+|x 5|（1）若不等式f（x）3 恒成立，求a 的取值范围；（2）当 a=2时，求不等式f（x）x28x+15 的解集小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学2015-2016 学年辽宁省沈阳市翔宇中学高三（上）9 月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12 个小题，每小题5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将选择题答案涂在答题卡上1复数（1+i）2的虚部是（）A0 B2 C 2 D2i【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念【专题】计算题【分析】直接展开两数和的平方运算，化简后求得复数（1+i）2的虚部【解答】解：由（1+i）2=1+2i+i2=1+2i 1=2i，复数（1+i）2的虚部为2故选：B【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题2己知集合M=x|2 x3N=x|lgx 0，则M N=（）A（2，+）B1，3）C（2，1 D（2，3）【考点】交集及其运算【专题】集合【分析】求出 N中不等式的解集确定出N，找出 M与 N的交集即可【解答】解：由 N中 lgx 0，即 lgx lg1，得到x1，即 N=1，+），M=（2，3），M N=1，3），故选：B【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键3若命题p：?xR，2x2 10，则该命题的否定是（）A?xR，2x210 B?xR，2x210 C?xR，2x210 D?xR，2x2 10【考点】命题的否定小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学【专题】计算题【分析】根据命题否定的定义进行求解，注意对关键词“任意”的否定；【解答】解：命题p：?xR，2x2 10，则其否命题为：?xR，2x210，故选 C；【点评】此题主要考查命题否定的定义，是一道基础题；4抛物线y2=4x 的准线方程是（）Ax=1 By=1 Cx=1 Dy=1【考点】抛物线的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用抛物线y2=2px 的准线方程为x=即可得出【解答】解：抛物线y2=4x，得=1，其准线方程为x=1故选 C【点评】熟练正确抛物线的直线方程即可得出5已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x0 时 f（x）=xcosx，则 f（1）=（）A 1+cos1 B 1 cos1 C 1 cos1 D1+cos1【考点】函数奇偶性的性质；函数的值【专题】函数的性质及应用【分析】利用函数的奇偶性将f（1）转化为f（1）=f（1），然后直接代入解析式即可【解答】解：函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）=f（1），即 f（1）=f（1），当 x0 时 f（x）=x cosx，f（1）=f（1）=1cos（1）=1+cos1 故选 D【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，利用函数的奇偶性将f（1）转化到已知条件上是解决本题的关键小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学6函数 f（x）=sin（x+）（0）相邻两个对称中心的距离为，以下哪个区间是函数f（x）的单调减区间（）A，0 B0，C，D，【考点】正弦函数的对称性【专题】三角函数的图像与性质【分析】由周期求得，再根据正弦函数的减区间求得函数f（x）的单调减区间【解答】解：根据f（x）=sin（x+）（0）相邻两个对称中心的距离为，可得=，=2，f（x）=sin（2x+）令 2k+2x+2k+，求得 k+xk+，kZ，故选：C【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，正弦函数的减区间，属于基础题7已知向量，满足+=（5，10），=（3，6），则，夹角的余弦值为（）AB CD【考点】数量积表示两个向量的夹角【专题】方程思想；平面向量及应用【分析】设出、的坐标，利用+与列出方程，求出、的坐标，再求，夹角的余弦值【解答】解：设=（x1，y1），=（x2，y2），+=（5，10），=（3，6），且，解得 x1=4，x2=1，y1=2，y1=8，=（4，2），=（1，8）；，夹角的余弦值为cos，=故选：D小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学【点评】本题考查了平面向量的坐标表示以及求向量夹角的应用问题，是基础题目8执行如图所示的程序框图若输出S=15，则框图中处可以填入（）An 4 Bn8 Cn16 Dn16【考点】程序框图【专题】图表型【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加变量 k 的平方到S并输出 S，模拟程序的执行过程，分析出进行循环的条件，可得答案【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环 S n 循环前/0 1 第一圈是 1 2 第二圈是 3 4 第三圈是 7 8 第四圈是 15 16，因为输出：S=15所以判断框内可填写“n8”，故选：B【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学9已知正数a，b 满足：三数a，1，b 的倒数成等差数列，则a+b 的最小值为（）A1 B2 CD4【考点】等差数列的性质【专题】等差数列与等比数列【分析】由三数 a，1，b的倒数成等差数列，列式得到，把 a+b 化为展开后利用基本不等式求最值【解答】解：三数a，1，b 的倒数成等差数列，则a+b 的最小值为2故选：B【点评】本题考查了等差数列的性质，考查了利用基本不等式求最值，是基础的计算题10等比数列 an中，a1+a2+an=2n 1，则 a12+a22+an2=（）A（2n1）2BC4n1 D【考点】数列的求和；等比数列的通项公式【专题】计算题【分析】首先根据a1+a2+an=2n1，求出 a1+a2+an1=2n11，两式相减即可求出数列an的关系式，然后求出数列an2的递推式，最后根据等比数列求和公式进行解答【解答】解：a1+a2+an=2n1a1+a2+an1=2n11，得an=2n1，an2=22n2，数列 an2 是以 1 为首项，4 为公比的等比数列，=，故选：D小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学【点评】本题主要考查数列求和和求数列递推式的知识点，解答本题的关键是求出数列an的通项公式，本题难度一般11函数，给出下列结论：f（x）的最小正周期为f（x）的一条对称轴为x=f（x）的一个对称中心为是奇函数其中正确结论的个数是（）A1 B2 C3 D4【考点】命题的真假判断与应用【专题】函数思想；函数的性质及应用；三角函数的求值；三角函数的图像与性质；简易逻辑【分析】函数=，逐一分析四个结论的真假，可得答案【解答】解：函数=，=2，故 f（x）的最小正周期为，故正确；当 x=时，f（x）取最大值，故f（x）的一条对称轴为x=，故正确，错误；=，函数图象关于原点对称，是奇函数，故正确，故正确的结论有3 个，故选：C【点评】本题考查的知识点是三角函数的周期性，对称性，奇偶性，难度中档12已知函数f（x）满足 f（x）=f（x），且当 x（，0）时，f（x）+xf（x）0 成立，若 a=（20.1）?f（20.1），b=（ln2）?f（ln2），c=（log2）?f（log2），则 a，b，c 的大小关系是（）Aa bc Bc ba Cacb D cab【考点】利用导数研究函数的单调性；不等式比较大小【专题】导数的综合应用小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学【分析】构造函数h（x）=xf（x），由 y=f（x）是 R上的偶函数，y=x 是 R上的奇函数，得h（x）=xf（x）是 R上的奇函数，h（x）在（，0）递减，在（0，+）递增，得320.11，0ln21，|log2|20.2ln2 推出结果【解答】解：构造函数h（x）=xf（x），由 y=f（x）是 R上的偶函数，y=x 是 R上的奇函数，得 h（x）=xf（x）是 R上的奇函数，又 x（，0）时，h（x）=f（x）+xf（x）0 成立，h（x）在（，0）递减，在（0，+）递增，3 20.11，0ln2 1，|log2|=3 20.1ln2，a=（20.1）?f（20.1），b=（ln2）?f（ln2），c=（log2）?f（log2）即 bac，故选：D【点评】本题考查了函数的单调性，导数的应用，函数的奇偶性，是一道综合题二、填空题（每题5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知函数f（x）=，则 ff（）=【考点】函数的值【专题】函数的性质及应用【分析】根据分段函数的表达式，直接代入进行求解即可【解答】解：由分段函数可知，f（）=log，f（1）=，故答案为：【点评】本题主要考查函数值的计算，利用分段函数的表达式直接代入即可，比较基础14从 1，2，3，4，5，6 这六个数中，随机抽取2 个不同的数，则这2 个数的和为偶数的概率是【考点】古典概型及其概率计算公式小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学【专题】概率与统计【分析】利用分类计数原理计算2 数之和为偶数的情况种数，再计算从6 个数中任取2 个数的情况种数，代入古典概型的概率公式计算【解答】解：其中偶数有2，4，6；奇数有1，3，5，2 数之和为偶数有两种情况，一、2 数都为奇数，有=3 个，二、2 数都为偶数，有=3 个，从 6个数中任取2 个有=15 个，2个数的和为偶数的概率为=故答案为：【点评】本题考查了排列、组合的应用及古典概型的概率计算，熟练掌握分类计数原理及组合数公式是解答本题的关键15若实数x，y 满足，则 z=2xy 的最小值为1【考点】简单线性规划【专题】计算题；对应思想；数形结合法；不等式的解法及应用【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=2xy 为 y=2xz，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学由图可知，当直线y=2xz 过 A（0，1）时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值为 1故答案为：1【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题16数列 an 的首项 a1=1，数列 bn 为等比数列且bn=，若 b10b11=2015，则 a21=2015【考点】数列递推式【专题】等差数列与等比数列【分析】由已知结合bn=，得到 a21=b1b2b20，结合 b10b11=2015及等比数列的性质求得a21【解答】解：由 bn=，且 a1=1，得 b1=b2=，a3=a2b2=b1b2b3=，a4=a3b3=b1b2b3an=b1b2bn1a21=b1b2b20数列 bn 为等比数列，=2015故答案为：2015【点评】本题考查了数列递推式，考查了等比数列的性质，是中档题三、解答题（第17 到 21 题为必做题，从第22、23、24 三个小题中选做一题，满分60 分）17设函数f（x）=sinx+cosx，g（x）=f（x）?f（x）+f（x）2（1）求 g（x）的周期和对称中心；（2）求 g（x）在 ，上值域小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学【考点】导数的加法与减法法则；三角函数中的恒等变换应用；复合三角函数的单调性【专题】导数的概念及应用【分析】求出函数的导数利用三角函数的周期公式和对称中心的性质分别进行求解即可【解答】解：（1）f（x）=cosxsinx，所以 g（x）=f（x）?f（x）+f（x）2=（sinx+cosx）（cosx sinx）+（cosx+sinx）2=cos2x+sin2x+1=，所以函数g（x）的周期T=由得所以 g（x）的对称中心为（2）因为 x，所以，所以 g（x）【点评】本题主要考查导数的基本运算，考查三角函数的图象和性质，考查学生的基本运算能力18已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，S5=35，a5和 a7的等差中项为13（）求an及 Sn；（）令（n N），求数列 bn的前 n 项和 Tn【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n 项和；数列的求和【专题】计算题；等差数列与等比数列【分析】（）设等差数列 an的公差为 d，由已知S5=5a3=35，a5+a7=26，结合等差数列的通项公式及求和公式可求a1，d，进而可求an，Sn，（）由（）可求bn=，利用裂项即可求和【解答】解：（）设等差数列 an 的公差为d，因为 S5=5a3=35，a5+a7=26，所以，解得 a1=3，d=2，所以 an=3+2（n1）=2n+1；小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学Sn=3n+2=n2+2n（）由（）知an=2n+1，所以 bn=，所以 Tn=【点评】本题主要考查了的等差数列的通项公式及求和公式的应用，数列的裂项相消求和方法的应用，属于数列知识的简单综合19已知函数f（x）=x2（2a+1）x+alnx（1）当 a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）当 a0，且，求函数f（x）的单调区间【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】导数的综合应用【分析】（1）当 a=2 时，求出 f（x）的解析式与导函数，计算f（1）的值，即 y=f（x）在点（1，f（1）处的切线斜率；（2）求 f（x）的导函数f（x），讨论a 的取值，对应f（x）的值是否大于0？小于 0？从而确定 f（x）的单调区间【解答】解：（1）当 a=2 时，f（x）=x2（2a+1）x+aln x=x25x+2ln x，f（x）=2x5+，f（1）=1，又 f（1）=4，y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为：x 1=y（4），即 x+y+3=0（2）f（x）=x2（2a+1）x+alnx，f（x）=2x（2a+1）+=（x0），小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学令 f（x）=0，可得 x1=，x2=a当 a时，由 f（x）0?xa 或 x，f（x）在（0，），（a，+）上单调递增由 f（x）0?xaf（x）在（，a）上单调递减当 0 a时，由 f（x）0 可得 f（x）在（0，a），（，+）上单调递增由 f（x）0 可得 f（x）在（a，）上单调递减【点评】本题考查了利用导函数来求函数在某一点处的斜率以及研究函数的单调性问题，是较难的题目20已知定义域为R的函数是奇函数（）求a，b 的值；（）若对任意的t R，不等式f（t2 2t）+f（2t2k）0恒成立，求k 的取值范围【考点】指数函数单调性的应用；奇函数【专题】压轴题【分析】（）利用奇函数定义，在f（x）=f（x）中的运用特殊值求a，b 的值；（）首先确定函数f（x）的单调性，然后结合奇函数的性质把不等式f（t22t）+f（2t2k）0 转化为关于t 的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知识求出k 的取值范围【解答】解：（）因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0，即又由 f（1）=f（1）知所以 a=2，b=1经检验 a=2，b=1 时，是奇函数小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学（）由（）知，易知 f（x）在（，+）上为减函数又因为 f（x）是奇函数，所以 f（t2 2t）+f（2t2k）0 等价于 f（t22t）f（2t2 k）=f（k2t2），因为 f（x）为减函数，由上式可得：t22t k2t2即对一切t R有：3t22t k0，从而判别式所以 k 的取值范围是k【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合应用；同时考查一元二次不等式恒成立问题的解决策略21已知函数f（x）=（1x）ex1（）求函数f（x）的最大值；（）设，x 1 且 x0，证明：g（x）1【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用【专题】导数的综合应用【分析】（）求函数的导数，利用函数的导数和最值之间的关系，即可求函数f（x）的最大值；（）利用函数的单调性，证明不等式【解答】解：（）f（x）=xex当 x（，0）时，f（x）0，f（x）单调递增；当 x（0，+）时，f（x）0，f（x）单调递减f（x）的最大值为f（0）=0（）由（）知，当x0 时，f（x）0，g（x）01当 1x0 时，g（x）1 等价于设 f（x）x设 h（x）=f（x）x，则 h（x）=xex 1小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学当 x（1，0）时，0 x1，ex1，则 0 xex1，从而当 x（1，0）时，h（x）0，h（x）在（1，0 单调递减当 1x0 时，h（x）h（0）=0，即 g（x）1综上，总有g（x）1【点评】本题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的最值是解决本题的关键，考查学生的计算能力【选修 4-1：几何证明选讲】22已知 ABC中，AB=AC，以点 B为圆心，以BC为半径的圆分别交AB，AC于 D，E两点，且EF为该圆的直径（1）求证：A=2 F；（2）若 AE=EC=1，求 BC的长【考点】相似三角形的判定【专题】计算题；数形结合；推理和证明【分析】（1）利用等腰三角形以及圆周角与圆心角的关系，推出A=EBC=2 F（2）通过 ABC BEC，直接求解即可【解答】解：（1）因为 AC=AB，所以 ABC=ACB，又因为 BC=BE，所以 BEC=ECB，所以 BEC=ABC，所以 A=EBC=2 F（2）由（1）可知 ABC BEC，从而，由 AE=1，EC=2，AC=3，得小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，三角形相似的证明，考查计算能力【选修 4-4：坐标系与参数方程】23已知曲线C的参数方程为（为参数），直线l 的极坐标方程为sin（+）=2（1）写出曲线C的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设点 P为曲线 C上的动点，求点P到直线 l 距离的最大值【考点】参数方程化成普通方程【专题】计算题；方程思想；转化思想；坐标系和参数方程【分析】第一问，利用平方关系消参，得到曲线C的普通方程，利用 2=x2+y2，x=cos，y=sin 转化，得到直线l 的直角坐标方程；第二问，利用点到直线的距离公式列出表达式，再利用两角和的正弦公式化简，求三角函数的最值即可得到结论【解答】解：（1）曲线 C的参数方程为（为参数），消去 可得曲线C的普通方程为，直线 l 的极坐标方程为sin（+）=2即直线 l 的直角坐标方程为x+y4=0（2）设点 P坐标为（cos，sin），点 P到直线 l 的距离 d=所以点 P到直线 l 距离的最大值为【点评】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、利用曲线的参数方程的几何意义求解曲线上点到直线的距离等内容本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求【选修 4-5：不等式选讲】24已知函数f（x）=|x a|+|x 5|（1）若不等式f（x）3 恒成立，求a 的取值范围；（2）当 a=2时，求不等式f（x）x28x+15 的解集【考点】绝对值不等式的解法小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学【专题】函数思想；综合法；不等式的解法及应用【分析】（1）问题转化为|a 5|3，解出即可；（2）将 a=2 的值代入，问题转化为关于关于x 的不等式组，解出即可【解答】解：（1）由于 f（x）=|x a|+|x 5|a 5|，所以 f（x）3?|a 5|3，解得 a2 或 a8（2），原不等式等价于，或，或解得，原不等式解集为【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，考查分类讨论思想，是一道中档题