2019版高中数学 第二章 概率 2.5.2 离散型随机变量的方差与标准差学案 苏教版选修2-3.doc
- 1 -2.5.22.5.2 离散型随机变量的方差与标准差离散型随机变量的方差与标准差学习目标 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.3.掌握方差的性质，以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差知识点一 方差、标准差的定义及方差的性质甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为X和Y，X和Y的概率分布如下：X012P6 101 103 10Y012P5 103 102 10思考 1 试求E(X)，E(Y)思考 2 能否由E(X)与E(Y)的值比较两名工人技术水平的高低？思考 3 试想用什么指标衡量甲、乙两工人技术水平的高低？梳理 (1)离散型随机变量的方差和标准差- 2 -设离散型随机变量X的均值为，其概率分布表如下：Xx1x2xixnPp1p2pipn方差：V(X)2_，其中，pi0，i1,2，n，p1p2pn1.变形公式：V(X)pi2.n i1x 2i标准差：_.意义：方差刻画了随机变量X与其均值的_程度(2)方差的性质：V(aXb)_.知识点二 两点分布、超几何分布与二项分布的方差1两点分布：若X01 分布，则V(X)_.2超几何分布：若XH(n，M，N)，则V(X).nMNMNnN2N13二项分布：若XB(n，p)，则V(X)_.类型一 求随机变量的方差例 1 在一个不透明的纸袋里装有 5 个大小相同的小球，其中有 1 个红球和 4 个黄球，规定每次从袋中任意摸出一球，若摸出的是黄球则不再放回，直到摸出红球为止，求摸球次数X的均值和方差- 3 -反思与感悟 求离散型随机变量X的均值与方差的基本步骤(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值(2)求X取每个值的概率(3)写出X的概率分布(4)由均值的定义求E(X)(5)由方差的定义求V(X)跟踪训练 1 甲，乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为 0.6，被甲或乙解出的概率为 0.92，(1)求该题被乙独立解出的概率；(2)求解出该题的人数X的均值和方差类型二 两点分布与二项分布的方差例 2 某厂一批产品的合格率是 98%.(1)计算从中抽取一件产品为正品的数量的方差；(2)从中有放回地随机抽取 10 件产品，计算抽出的 10 件产品中正品数的方差及标准差- 4 -反思与感悟 解此类问题，首先要确定正确的离散型随机变量，然后确定它是否服从特殊分布，若它服从两点分布，则其方差为p(1p)；若其服从二项分布，则其方差为np(1p)(其中p为成功概率)跟踪训练 2 (1)已知随机变量X服从二项分布B(n，p)，若E(X)30，V(X)20，则p_.(2)设的分布列为P(k)Ck5k(k0,1,2,3,4,5)，则V(3)_.k5(1 3) (2 3)1已知随机变量X的概率分布为X101P1 21 31 6则下列式子：E(X) ；V(X)；P(X0) .其中正确式子的序号为_1 323 271 32同时抛掷两枚质地均匀的硬币 10 次，设两枚硬币同时出现反面的次数为，则V()_.3已知离散型随机变量X的概率分布如下表所示，若E(X)0，V(X)1，则a_，b_.X1012Pabc1 124.已知随机变量XB(100,0.2)，那么V(4X3)的值为_5编号为 1,2,3 的三位学生随意入座编号为 1,2,3 的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是，求E()和V()- 5 -1随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，以及随机变量取值偏离于均值的平均程度方差V(X)或标准差越小，则随机变量X偏离均VX值的平均程度越小；方差V(X)或标准差越大，表明偏离的平均程度越大，说明X的取值VX越分散2求离散型随机变量X的均值、方差的步骤(1)理解X的意义，写出X的所有可能的取值；(2)求X取每一个值的概率；(3)写出随机变量X的概率分布；(4)由均值、方差的定义求E(X)，V(X)特别地，若随机变量服从两点分布或二项分布，可根据公式直接计算E(X)和V(X)- 6 -答案精析答案精析问题导学知识点一思考 1 E(X)0×1×2×6 101 103 10，7 10E(Y)0×1×2×.5 103 102 107 10思考 2 不能，因为E(X)E(Y)思考 3 方差梳理 (1)(x1)2p1(x2)2p2(xn)2pn 平均偏离 (2)a2V(X)VX知识点二1p(1p) 3.np(1p)题型探究例 1 解 X的可能取值为 1,2,3,4,5.P(X1) ，1 5P(X2) × ，4 51 41 5P(X3) × × ，4 53 41 31 5P(X4) × × × ，4 53 42 31 21 5P(X5) × × × ×1 .4 53 42 31 21 5X的概率分布为X12345P1 51 51 51 51 5由定义知，E(X) ×(12345)3，1 5V(X) ×(2212021222)2.1 5跟踪训练 1 解 (1)记甲、乙分别解出此题的事件记为A，B.设甲独立解出此题的概率为P1，乙为P2，- 7 -则P(A)P10.6，P(B)P2，P(AB)1P( )1(1P1)·(1P2)A BP1P2P1P20.92，0.6P20.6P20.92，则 0.4P20.32，即P20.8.(2)P(X0)P( )·P( )AB0.4×0.20.08，P(X1)P(A)P( )P( )P(B)BA0.6×0.20.4×0.80.44.X的概率分布为X012P0.080.440.48E(X)0×0.081×0.442×0.480.440.961.4，V(X)(01.4)2·0.08(11.4)2·0.44(21.4)2·0.480.156 80.070 40.172 80.4.例 2 解 (1)用表示抽得的正品数，则0,1.服从两点分布，且P(0)0.02，P(1)0.98，所以V()p(1p)0.98×(10.98)0.019 6.(2)用X表示抽得的正品数，则XB(10,0.98)，所以V(X)10×0.98×0.020.196，标准差为0.44.VX跟踪训练 2 (1) (2)101 3解析 (1)由题意知，Error!解得p .1 3(2)由题意知，B，(5，1 3)则V()5× × ，1 32 310 9- 8 -所以V(3)9V()9×10.10 9当堂训练1 2. 3. 4.25615 85 121 45解 的所有可能取值为 0,1,3，0 表示三位同学全坐错了，有 2 种情况，即编号为1,2,3 的座位上分别坐了编号为 2,3,1 或 3,1,2 的学生，则P(0) ；2 A3 31 31 表示三位同学只有 1 位同学坐对了，则P(1) ；C1 3 A3 31 23 表示三位学生全坐对了，即对号入座，则P(3) .1 A3 31 6所以的概率分布为013P1 31 21 6E()0× 1× 3× 1.1 31 21 6V() ×(01)2 ×(11)2 ×(31)21.131216
