高中数学第1章导数及其应用1.1导数学案新人教B版选修2-2.pdf

小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学1.1 导数1理解函数在某点的平均变化率的概念，并会求此平均变化率2理解运动物体在某时刻的瞬时变化率(瞬时速度)3理解导数的几何意义，并会求曲线在某点处的切线方程1函数的平均变化率一般地，已知函数yf(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记xx1x0，yy1y0f(x1)f(x0)f(x0 x)f(x0)，则当 x0 时，商 _称作函数yf(x)在区间 x0，x0 x(或x0 x，x0)的平均变化率x，y的值可正、可负，但x的值不能为0，y的值可以为0.若函数f(x)为常数函数，则y0.【做一做 11】已知函数yf(x)x2 1，则在x2，x0.1 时，y的值为()A0.40 B0.41 C0.43 D0.44【做一做 12】在x1 附近，取 x0.3，在四个函数：yx；yx2；yx3；y1x中，平均变化率最大的是()A B C D2瞬时变化率与导数(1)设函数yf(x)在x0及其附近有定义，当自变量在xx0附近改变量为x时，函数值相应地改变yf(x0 x)f(x0)如果当 x趋近于 0 时，平均变化率yxf(x0 x)f(x0)x趋近于一个常数l，那么常数l称为函数f(x)在点x0的_(2)“当 x趋近于 0 时，f(x0 x)f(x0)x趋近于常数l”可以用符号“”记作“当x0 时，f(x0 x)f(x0)xl”，或记作“0limxf(x0 x)f(x0)xl”，符号“”读作“趋近于”函数yf(x)在点x0的瞬时变化率，通常称为f(x)在点x0处的 _，并记作f(x0)这时又称f(x)在点x0处是可导的于是上述变化过程，可以记作“当x0 时，f(x0 x)f(x0)x_”或“0limxf(x0 x)f(x0)x_”(3)如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x都是可导的，则称f(x)在区间(a，b)_ 这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f(x)于是，在区间(a，b)内，f(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数yf(x)的_，记为f(x)或y(或yx)导函数通常简称为_(1)x是自变量x在x0处的改变量，x0，而 y是函数值的改变量，可以是零(2)对于导函数的定义的几种形式表示如下：y0limxf(xx)f(x)x；小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学y0limxf(x)f(xx)x；y0limxf(xx)f(x)x；y0limxf(x)f(x0)xx0.【做一做 21】若质点按规律s3t2运动，则在t3 时的瞬时速度为()A6 B18 C54 D81【做一做 22】已知函数f(x)在xx0处可导，则 limx0f(x0 x)f(x0)x()A与 x，x0都有关B仅与x0有关而与x无关C仅与 x有关而与x0无关D与x0，x均无关3导数的几何意义设函数y=f(x)的图象如图所示AB是过点A(x0，f(x0)与点B(x0+x，f(x0+x)的一条割线由此割线的斜率是00fxxfxyxx，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的最终位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线在点A的切线于是，当x0 时，割线AB的斜率趋近于在点A的切线AD的斜率，即0limxf(x0 x)f(x0)x切线AD的斜率由导数意义可知，曲线yf(x)在点(x0，f(x0)的切线的斜率等于_【做一做 31】曲线y 3x22 在点(0,2)处的切线的斜率为()A 6 B6 C0 D不存在【做一做 32】下面说法正确的是()A若f(x0)不存在，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处没有切线B若曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处有切线，则f(x0)必存在C若f(x0)不存在，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线斜率不存在D若曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处没有切线，则f(x0)有可能存在1“函数f(x)在点xx0处的导数”“导函数”“导数”三者有何关系？剖析：(1)函数在点xx0处的导数f(x0)是一个数值，不是变量(2)导函数也简称导数，所以(3)函数yf(x)在点xx0处的导数f(x0)就是导函数f(x)在点xx0处的函数值所以求函数在一点处的导数，一般是先求出函数的导函数，再计算导函数在这点的函数值2曲线的切线与曲线只有一个公共点吗？剖析：回答是否定的 这就是我们为什么要用割线的极值位置来定义切线，而不说与曲小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学线只有一个公共点的直线叫切线，其理由如下：在初中我们学习过圆的切线：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点圆是一种特殊的曲线，能不能将圆的切线的定义推广为一般曲线的切线的定义：直线和曲线有唯一公共点时，该直线叫做曲线在该点的切线，显然这种推广是不妥当的观察图中的曲线C，直线l1虽然与曲线C有唯一的公共点M，但我们不能说直线l1与曲线C相切；而直线l2尽管与曲线C有不止一个公共点，我们还是说直线l2是曲线C在点N处的切线因此，对于一般的曲线，必须重新寻求曲线切线的定义一般地，过曲线yf(x)上一点P(x0，y0)作曲线的割线PQ，当点Q沿着曲线无限趋近于点P时，若割线PQ趋近于某一确定的位置，则称这一确定位置的直线为曲线yf(x)在点P处的切线在这里，要注意，曲线yf(x)在点P处的切线：(1)与点P的位置有关；(2)要依据割线PQ是否存在极限位置来判定与求解如有极限，则在此点处有切线，且切线是唯一的；如不存在，则在此点处无切线题型一求瞬时速度【例题 1】已知物体的运动方程如下：2231 (13),233 (3)ttstt求此物体在t 1 和t3 时的瞬时速度(位移的单位：m，时间的单位：s)分析：先求平均变化率，即平均速度，再取极限(注意定义域的限制)反思：质点运动的瞬时速度不同于质点在某段时间内运动的平均速度题型二导数定义的应用【例题 2】过曲线yf(x)x3上两点P(1,1)和Q(1 x,1 y)作曲线的割线，求出当 x 0.1 时割线的斜率分析：割线PQ的斜率即为函数f(x)在x1 到x1x之间的平均变化率yx.反思：一般地，设曲线C是函数yf(x)的图象，P(x0，y0)是曲线上的定点，点Q(x0 x，y0y)是C上与点P邻近的点，有y0f(x0)，y0yf(x0 x)，yf(x0 x)f(x0)，割线PQ的斜率为tan yxf(x0 x)f(x0)x，曲线 C在点 P处的斜率为tan 0limxyx000()()limxf xxf xx.题型三求切线方程【例题 3】已知曲线C：yx3.(1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程；(2)第(1)问中的切线与曲线C是否还有其他公共点？小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学分析：求切线方程可先求出切线的斜率，再应用点斜式写出切线方程；判断直线与曲线的交点个数，可联立方程组求其解的个数反思：(1)求曲线的切线的斜率的步骤：求函数值的增量yf(x0 x)f(x0)；求割线的斜率tan yx；求极限0limxyx0limx00()()f xxf xx；若极限存在，则切线的斜率0limxykx.(2)由导数的几何意义得出求切线方程的步骤：先求出函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)；根据点斜式得切线方程为yy0f(x0)(xx0)题型四易错辨析易错点：在求曲线过某点的切线方程时，不注意判断该点是否在曲线上，而直接把点当成在曲线上求切线方程，导致方程求错，避免错误的方法是看到此类题目先判断该点是否在曲线上，然后根据不同情况求解【例题 4】试求过点M(1,1)且与曲线yx31 相切的直线方程错解：yx(xx)31x31x3x(x)23x2x(x)3x 3xx3x2(x)2，0limxyx 3x2，因此y 3x2，所以切线在x1 处的斜率k3.故切线方程为y13(x1)，即 3xy20.1 一质点运动的方程为s5 3t2，则在时间 1,1 t内的平均速度为()A3t6 B 3t6 C3t6 D 3t6 2 设函数f(x)ax32，若f(1)3，则a()A 1 B12 C1 D133 设 f(x)为可导函数且满足0(1)(12)lim=12xffxx,则过曲线yf(x)上的点(1，f(1)的切线的斜率为()A2 B 1 C1 D 2 4 一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s(m)与时间t(s)之间的函数关系为s18t2，则t2 s 时，此木块在水平方向的瞬时速度为_ m/s.5 已知函数f(x)x1x，则它与x 轴交点处的切线方程为_答案：基础知识梳理【做一做1 1】B x2，x0.1，yf(x x)f(x)f(2.1)f(2)0.41.【做一做1 2】B 根据平均变化率的定义可求得四个函数的平均变化率依次为1,2.3,3.99，1013.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学2(1)瞬时变化率(2)导数f(x0)f(x0)(3)可导导函数导数【做一做21】B 瞬时速度v limt0stlimt0s3 ts3t limt0(3 t18)18.【做 一 做2 2】B由 导 数 的 定 义，对 给 定 的 可 导 函 数f(x)有0limxfx0 xfx0 xf(x0)显然，f(x0)仅与x0有关而与 x无关3f(x0)【做一做31】C f(0)0limxx22x0limx(3x)0.【做一做 32】C 函数f(x)在一点xx0处的导数f(x0)的几何意义是yf(x)在这一点处切线的斜率，但f(x0)不存在，并不能说明这一点处不存在切线，而是说明在这一点处的切线的斜率不存在，即若在这一点处的切线的斜率不存在，曲线在该点处也可能有切线所以函数f(x)在某点可导，是相应曲线上过该点存在切线的充分不必要条件典型例题领悟【例题 1】解：当t 1 时，s3t21，v0limtst0limtsttstt0limtt213121t0limt6tt2t6(m/s)当t3 时，s23(t3)2，v0limtsttstt0limt2t222t0limtt2t0limt3t0(m/s)物体在t1 和t3 时的瞬时速度分别为6 m/s 和 0 m/s.【例题 2】解：yf(1 x)f(1)(1 x)313x3(x)2(x)3.割线PQ的斜率yxx3x23xx(x)23x3.当 x0.1 时，设割线PQ的斜率为k，则kyx(0.1)230.1 33.31.【例题 3】解：(1)将x1 代入曲线C的方程，得y1，所以切点为P(1,1)因为y0limxyx0limxxx3x3x0limx3x2x 3xx2x3x0limx3x23xx(x)2 3x2，所以1|3xy.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学所以过点P的切线方程为y13(x1)，即 3xy 20.(2)由y1x，yx3，可得(x1)2(x2)0，解得x1x21，x3 2.从而求得公共点为P(1,1)或P(2，8)，说明切线与曲线C有除切点外的公共点【例题 4】错因分析：错解中将点M(1,1)当成了曲线yx31 上的点因此在求过某点的切线时，一定要先判断点是否在曲线上，再根据不同情况求解正解：由错解可知y3x2，因为点M(1,1)不在曲线yx21 上，所以设过点M(1,1)的切线与yx31 相切于点P(x0，x301)，依据导数的几何意义，函数在点P处的切线的斜率为k 3x20，过点M(1,1)的切线的斜率kx301 1x01，由得，3x20 x30 x01，解之得x00 或x032，所以k0 或k274，因此曲线yx31 过点M(1,1)的切线方程有两条，分别为y1274(x1)和y1，即 27x4y 230 和y1.随堂练习巩固1D v5t2312t 3t6.2C f(1)0limxf1xf1x0limxa(x)23ax3a 3a 3，a1.3B0limxf1f12x2x0limxf12xf12x20limxf1 2x f12xf(1)1.412t2 s 时瞬时速度为limt 018t21822tlimt 018(4 t)12.52xy20 和 2xy20 令x1x0，得x1，曲线与x轴的交点坐标为(1,0)，又f(x)11x2，f(1)2，所求切线方程为y 2(x1)，即 2xy20.