2019版高中数学 第二章 证明不等式的基本方法 2.3 反证法与放缩法试题 新人教A版选修4-5.doc

1三三 反证法与放缩法反证法与放缩法课后篇巩固探究巩固探究1 1.设实数a,b,c满足a+b+c=,则a,b,c中( )1 3A.至多有一个不大于1 9B.至少有一个不小于1 9C.至多有两个不小于1 9D.至少有两个不小于1 9解析假设a,b,c都小于 ,即ac>0,则.1 + 1 + + + 1 + + + 1 + + M>Q,故M>Q>N.答案 D3 3.导学号 26394038 设M=+,则( )1210+1210+ 1+1210+ 21211- 1A.M=1B.M1D.M与 1 大小关系不确定解析分母全换成 210,共有 210个单项.答案 B4 4.某同学准备用反证法证明如下一个问题:函数f(x)在0,1上有意义,且f(0)=f(1),如果对于不同的x1,x20,1,都有|f(x1)-f(x2)|0”是“P,Q,R同时大于零”的 条件. 解析必要性是显然成立的;当PQR>0 时,若P,Q,R不同时大于零,则其中两个为负,一个为正,不妨设P>0,Q0 矛盾,即充分性也成立.3答案充要6 6.设a,b是两个实数,给出下列条件:a+b>1;a+b=2;a+b>2;a2+b2>2;ab>1.其中能推出“a,b中至少有一个大于 1”的条件是 .(填序号) 解析可取a=0.5,b=0.6,故不正确;a+b=2,可取a=1,b=1,故不正确;a+b>2,则a,b中至少有一个大于 1,正确;a2+b2>2,可取a=-2,b=-1,故不正确;ab>1,可取a=-2,b=-1,故不正确.答案7 7.设f(x)=x2-x+13,a,b0,1,求证|f(a)-f(b)|a-b|.证明|f(a)-f(b)|=|a2-a-b2+b|=|(a-b)(a+b-1)|=|a-b|a+b-1|,因为 0a1,0b1,所以 0a+b2.所以-1a+b-11,所以|a+b-1|1.故|f(a)-f(b)|a-b|.8 8.已知x>0,y>0,且x+y>2,试证:中至少有一个小于 2.1 + ,1 + 证明假设都不小于 2,即1 + ,1 + 2,且2.1 + 1 + 因为x>0,y>0,所以 1+x2y,且 1+y2x.把这两个不等式相加,得 2+x+y2(x+y),从而x+y2,这与已知条件x+y>2 矛盾.因此,都不小于 2 是不可能的,即原命题成立.1 + ,1 + 49 9.导学号 26394039 已知Sn=+,求证:对于正整数m,n,当1 2+222+3232m>n时,|Sm-Sn|n时,|Sm-Sn|=|+am| + 1+ + 2|+|+|am| + 1 + 2+12 + 1+12 + 212=12 + 11 -(1 2) - 1 -1 2=.121 -(1 2) - <121010.导学号 26394040 若数列xn的通项公式为xn=,求证x1·x3·x5··x2n- + 11<.1 - 1 + 证明因为,1 - 1 + =1 - + 11 + + 1=1 2 + 15又2 - 1 2 2 - 1 2 + 1=2 - 1· 2 + 1 2=1,42- 12<42 2所以,2 - 1 2<2 - 1 2 + 1所以x1·x3·x5··x2n-1=××1 2×3 42 - 1 2<,1 3×3 5× ×2 - 1 2 + 1=1 2 + 1故x1·x3·x5··x2n-1<.1 - 1 +