5.5.1 两角和与差的余弦 教学设计-高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册.docx

人教版必修一 5.5.1两角和与差的余弦教学设计【教学目标】1理解用向量的数量积证明两角差的余弦公式的过程，掌握用向量运算证明问题的方法，进一步体会向量方法的作用；2. 熟练掌握两角和与差的余弦公式，通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为学习其它和（差）公式打好基础.【教学重点】应用两角和与差的余弦公式求值和证明.【教学难点】两角差余弦公式的推导.【新课讲解】一、复习回顾同学们，在前面我们学习了单位圆的有关知识，下面我们一起来复习一下：1.单位圆的定义：在平面直角坐标系中，坐标满足的点组成的集合称为单位圆. 圆心为坐标原点，半径为1.2.单位圆与角终边交点的坐标:此时，所以的坐标为即：角的余弦和正弦分别等于角终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标.在前几节课我们还学习了向量数量积定义及坐标运算，下面我们一起复习一下：3.向量数量积的定义：一般地，当与都是非零向量时，称为向量与的数量积（也称为内积）记作，即.向量数量积的坐标表示：设，则.二、两角差的余弦公式探究【问题】我们已经知道了，的正弦、余弦值，那么能否根据这些值求出的值呢？因为，所以，因此大家可能会猜想但这显然是不对的：一定大于，但上式右边小于.在上面我们通过一个具体的例子发现，那么的值与，的哪些三角函数值有关呢？我们通过几个特殊的角来找一找？令，则；令，则；令，则；令，则.发现：公式的结构形式应该与，均有关系.下面利用单位圆以及向量的数量积来进行探究.证明：如图所示，在平面直角坐标系中，设，的终边与单位圆的交点分别是，则，因此，.从而有.另一方面，由上图可知，存在，使得或，因此，又因为，所以.故.这就是两角差的余弦公式，通常简记为.利用可知，.当然，的值也可借助与来求，即.【小结】我们证明了两角差的余弦公式：.公式的特点：（1）此公式对，取任意角都成立；（2）公式中右边有两项，中间符号与左边两角间符号相反.三、实例应用【例1】利用证明以下诱导公式.（1）；（2）.证明：（1）由可知.（2）由可知.借助以及诱导公式可以得到两角和的余弦公式.因为，所以.即：.类似的，利用可以证明.由此，我们得到了两角和与差的余弦公式：【小结】总结一下这两个公式的特点：（1）此公式对，取任意角都成立；（2）公式中右边有两项，中间符号与左边两角间符号相反，两项排列顺序是，可以用口诀“余余正正，加减相反”来辅助记忆公式.（3）和（差）角公式可以看成诱导公式的推广，诱导公式可以看成和（差）角公式的特例. 当，中有一个角是的整数倍时，用诱导公式更为方便.【例2】求和的值.解：；.【小结】例2是两角和与差的余弦公式的直接应用，一个角可以有多种组合，比如除了表示成，还可以表示成，但是在实际计算时建议大家利用常用的三角函数值.本题中在先计算出的值时，还可以利用诱导公式来计算的值.【例3】已知，其中，求，.解：因为且，所以.因此；.【小结】在由求时，要注意角的范围，避免出现增解.【例4】求的值.解：.【变式1】求的值.解：.【变式2】求的值.解：.【小结】上面两个题都是两角和与差的余弦公式的反用，在使用时要注意公式的结构是“余余正正”，而且公式中只出现了两个角.如果题目中出现了多个角的时候，需要用诱导公式把角变过来.四、课堂小结1.本节课我们学习了两角和与差的余弦公式：2.利用公式我们可以求一些非特殊角的三角函数值，要学会灵活运用公式.6