第3章第2节第2课时　函数的最大(小)值—人教A版（2019）必修第一册同步新题练习.docx

同步课时新题练第2课时函数的最大(小)值刷新题夯基础题组一求函数的最大(小)值1.函数f(x)在-2,2上的图象如图所示,则此函数的最小值,最大值分别是()A.f(-2),0 B.0,2C.f(-2),2 D.f(2),22.(2021北京房山高一上期中)函数y=2x2-2x-1在区间-1,1上的最小值为()A.-12B.-1C.-32D.-23.函数y=x+3,x<1,-x+6,x1的最大值是()A.3 B.4 C.5 D.64.(2021北京丰台高一上期中)已知x>2,函数y=4x-2+x的最小值是()A.5 B.4 C.6 D.85.(2020北京石景山高一上期末)已知函数f(x)=2x-3x+1.(1)判断函数f(x)在区间0,+)上的单调性,并用定义证明;(2)求函数f(x)在区间2,9上的最大值与最小值.题组二函数最大(小)值在实际问题中的应用6.某商场经营一批进价为每件30元的商品,在市场试销中发现,该商品销售单价x(不低于进价,单位:元)与日销售量y(单位:件)之间有如下关系:x4550y2712(1)确定x与y的一个一次函数关系式y=f(x)(注明函数的定义域);(2)若日销售利润为P(单位:元),根据(1)中的关系式写出P关于x的函数关系式,并指出当销售单价为多少元时,能获得最大的日销售利润.7.(2020山东济南历城二中高一上期末)有一批材料,可以建成长为240 m的围墙.如图,如果用这批材料在一面靠墙的地方围成一块矩形的场地,中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形,怎样围才能使矩形场地的面积最大?最大面积为多少?题组三函数最大(小)值在求参中的应用8.若函数y=ax+1在1,2上的最大值与最小值的差为2,则实数a的值是() A.2 B.-2C.2或-2D.09.(2021山东淄博高一上期中)若函数f(x)=x2+(m+1)x+3在区间(3,5)内存在最小值,则m的取值范围是()A.(5,9)B.(-11,-7)C.5,9D.-11,-710.(2021江苏南通如东高一上期中)设f(x)=x2-2ax+1,x0,2,当a=3时, f(x)的最小值是,若f(x)的最小值为1,则a的取值范围为. 11.已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a.(1)若a=2,求函数f(x)在区间0,3上的最小值;(2)若函数f(x)在区间0,1上有最大值3,求实数a的值.题组四函数的最大(小)值在方程与不等式中的应用12.若x0,12,都有不等式-x+a+10成立,则a的最小值为()A.0 B.-2C.-52 D.-1213.已知函数f(x)=-x2+4x+m,若x0,1,f(x)=0,则m的取值范围是()A.-4,+)B.-3,+)C.-3,0D.-4,014.(2021天津南开学校高一上期中)若对任意x>0,xx2+3x+1a恒成立,则a的取值范围为. 15.已知函数f(x)=x-1x+2,x3,5.(1)判断函数f(x)的单调性并证明;(2)若不等式f(x)>a在3,5上恒成立,求实数a的取值范围;(3)若不等式f(x)>a在3,5上有解,求实数a的取值范围.16.(2021安徽合肥八中高一上期中)已知二次函数f(x)满足f(x)-f(x-1)=2x+1,且f(x)的图象经过点(2,-4).(1)求f(x)的解析式;(2)若x-3,2,不等式f(x)mx恒成立,求实数m的取值范围.刷新题培素养题组一求函数的最大(小)值 1.(2020天津滨海高一上期末,)给定函数f(x)=x2,g(x)=x+2,xR,用M(x)表示f(x),g(x)中的较大者,记为M(x)=maxf(x),g(x),则M(x)的最小值为()A.-1B.1 C.2 D.42.(2020河北承德一中高一上月考,)函数f(x)=2x-x+1的最小值为()A.-178B.-2C.-198D.-943.(多选)(2021江苏徐州六县高一上期中,)已知函数y=11-x-x(x>1),则该函数()A.最大值为-3B.最小值为1C.没有最小值D.最小值为-34.(2021山西太原高一上期中,)若函数f(x)=|x-2|-|x+1|的最大值为m,最小值为n,则m+n=. 5.(2020江西临川一中高一上月考,)已知函数f(x)=x2+2ax-1,x-1,1.(1)若a=12,求函数f(x)的最值;(2)若aR,记函数f(x)的最小值为g(a),求g(a)关于a的函数解析式.题组二函数最大(小)值的综合应用6.(2020河南洛阳一中高一上月考,)若函数y=f(x)=x2-3x-4的定义域为0,m,值域为-254,-4,则m的取值范围是()A.(0,4B.32,4 C.32,3 D.32,+7.()已知函数f(x)=-x3+2,x<0,-x+3,x0,g(x)=kx+5-2k(k>0),若对任意的x1-1,1,总存在x2-1,1使得f(x1)g(x2)成立,则实数k的取值范围为()A.(0,2 B.0,23 C.(0,3 D.(1,28.(多选)()已知函数f(x)=-2x+1(x-2,2),g(x)=x2-2x(x0,3),则下列结论正确的是()A.x-2,2, f(x)>a恒成立,则a的取值范围是(-,-3)B.x-2,2, f(x)>a,则a的取值范围是(-,-3)C.x0,3,g(x)=a,则a的取值范围是-1,3D.x-2,2,t0,3,f(x)=g(t)9.(多选)(2020山东济南高一上期末,)一般地,若函数f(x)的定义域为a,b,值域为ka,kb,则称a,b为f(x)的“k倍跟随区间”.特别地,若函数f(x)的定义域为a,b,值域也为a,b,则称a,b为f(x)的“跟随区间”.下列结论正确的是()A.若1,b为f(x)=x2-2x+2的跟随区间,则b=3B.函数f(x)=2-3x不存在跟随区间C.若函数f(x)=m-x+1存在跟随区间,则m-14,0D.二次函数f(x)=-12x2+x存在“3倍跟随区间”10.(2020天津河西高一上期末,)设f(x)=(x-a)2,x0,x+1x+a,x>0.若f(0)是f(x)的最小值,则实数a的取值范围为. 11.(2021北京房山高一上期中,)定义在实数集R上的函数f(x),如果存在函数g(x)=Ax+B(A,B为常数),使得f(x)g(x)对一切实数x都成立,那么称g(x)为函数f(x)的一个承托函数.(1)判断函数g(x)=x是不是函数f(x)=2x2的一个承托函数,并说明理由;(2)请写出函数f(x)=|x|的一个承托函数;(3)若函数g(x)=2x-a为函数f(x)=ax2的一个承托函数,求实数a的取值范围.答案全解全析刷新题夯基础1.C由题图可知,此函数的最小值是f(-2),最大值是2.2.C因为y=2x2-2x-1的图象开口向上,对称轴为直线x=12,所以在区间-1,1上,当x=12时,函数取得最小值-32.故选C.3.C当x<1时,函数y=x+3单调递增,有y<4,无最大值;当x1时,函数y=-x+6单调递减,在x=1处取得最大值5.所以该函数的最大值为5.4.C已知x>2,则x-2>0,y=4x-2+x=4x-2+(x-2)+224x-2·(x-2)+2=6,当且仅当4x-2=x-2,即x=4时等号成立,函数的最小值是6.故选C.5.解析(1)函数f(x)在区间0,+)上是增函数.证明如下:任取x1,x20,+),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=2x1-3x1+1-2x2-3x2+1=(2x1-3)(x2+1)(x1+1)(x2+1)-(2x2-3)(x1+1)(x1+1)(x2+1)=5(x1-x2)(x1+1)(x2+1).x1<x2,x1-x2<0,又x1,x20,+),(x1+1)(x2+1)>0,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).函数f(x)在区间0,+)上是增函数.(2)由(1)知函数f(x)在区间2,9上是增函数,故函数f(x)在区间2,9上的最大值为f(9)=2×9-39+1=32,最小值为f(2)=2×2-32+1=13.6.解析(1)因为f(x)是一次函数,所以设f(x)=ax+b(a0).由题中表格可得45a+b=27,50a+b=12,解得a=-3,b=162,所以y=f(x)=-3x+162.又y0,所以30x54,故所求函数关系式为y=f(x)=-3x+162,x30,54.(2)由题意得,P=(x-30)y=(x-30)(162-3x)=-3x2+252x-4 860=-3(x-42)2+432,x30,54.所以当x=42时,Pmax=432,即当销售单价为42元时,能获得最大的日销售利润.7.信息提取一批材料可以建成长为240米的围墙;用这批材料在一面靠墙的地方围成一块矩形的场地;中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形.数学建模以建造矩形场地为背景构建函数模型,利用基本不等式求解问题.解析设每个小矩形与墙垂直的一边长为x m,其邻边长为y m,其中x>0,y>0,依题意可知4x+3y=240,则0<x<60.故矩形场地的面积S=3xy=x(240-4x)=4x·(60-x)4×x+60-x22=3 600,当且仅当x=30时取等号,所以当x=30时,矩形场地的面积最大,为3 600 m2.8.C由题意知a0,当a>0时,函数y=ax+1在1,2上单调递增,有(2a+1)-(a+1)=2,解得a=2;当a<0时,函数y=ax+1在1,2上单调递减,有(a+1)-(2a+1)=2,解得a=-2.综上知,a=±2.9.B由题意可得3<-m+12<5,解得-11<m<-7.故选B.10.答案-7;(-,0解析当a=3时, f(x)=x2-6x+1在x0,2上单调递减,f(x)min=f(2)=-7.由函数的解析式知f(0)=1,若f(x)的最小值为1,则f(x)在x0,2上单调递增,而f(x)=x2-2ax+1的图象开口向上,对称轴为直线x=a,a0,即a的取值范围是(-,0.11.解析(1)若a=2,则f(x)=-x2+4x-1=-(x-2)2+3,该函数的图象开口向下,图象的对称轴为直线x=2,函数f(x)在区间0,2上单调递增,在区间2,3上单调递减,又f(0)=-1, f(3)=2,f(x)min=f(0)=-1.(2)易知函数f(x)的图象开口向下,对称轴为直线x=a,当a0时,函数f(x)在区间0,1上单调递减,则f(x)max=f(0)=1-a=3,解得a=-2;当0<a<1时,函数f(x)在区间0,a上单调递增,在区间a,1上单调递减,则f(x)max=f(a)=a2-a+1=3,解得a=2或a=-1,均不符合，舍去;当a1时,函数f(x)在区间0,1上单调递增,则f(x)max=f(1)=-1+2a+1-a=3,解得a=3.综上所述,a=-2或a=3.12.D设f(x)=-x+a+1,由不等式-x+a+10对任意x0,12都成立,可得f(x)min0.因为f(x)在0,12上是减函数,所以当x0,12时, f(x)min=a+12,所以a+120,即a-12,所以amin=-12.故选D.13.C函数f(x)=-x2+4x+m的图象开口向下,对称轴方程为x=2,函数f(x)在区间0,1上单调递增,f(x)max=f(1)=3+m, f(x)min=f(0)=m,即函数f(x)的值域为m,m+3.由方程f(x)=0有解,知0m,m+3,因此m0,且m+30,解得-3m0.故选C.14.答案15,+解析x>0,xx2+3x+1>0,根据题意知a>0.x2+3x+1x1a,1ax+1x+3.x>0,x+1x+32x·1x+3=5(当且仅当x=1时取等号),1a5,a15.15.解析(1)f(x)在3,5上为增函数.证明:任取x1,x23,5,且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=x1-1x1+2-x2-1x2+2=3(x1-x2)(x1+2)(x2+2).3x1<x25,x1-x2<0,(x1+2)(x2+2)>0,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),f(x)在3,5上为增函数.(2)由不等式f(x)>a在3,5上恒成立,知f(x)min>a.由(1)知f(x)在3,5上为增函数,f(x)min=f(3)=25,25>a,即a<25,故实数a的取值范围是-,25.(3)由不等式f(x)>a在3,5上有解,知f(x)max>a.由(1)知f(x)在3,5上为增函数,f(x)max=f(5)=47,47>a,即a<47,故实数a的取值范围是-,47.16.解析(1)设f(x)=ax2+bx+c(a0),则f(x-1)=a(x-1)2+b(x-1)+c=ax2+(-2a+b)x+a-b+c,所以f(x)-f(x-1)=2ax-a+b,又因为f(x)-f(x-1)=2x+1,所以2a=2,-a+b=1,解得a=1,b=2,所以f(x)=x2+2x+c.因为f(x)的图象过点(2,-4),所以-4=22+2×2+c,解得c=-12,所以f(x)=x2+2x-12.(2)由题意知,x2+2x-12mx,x-3,2,所以x2+(2-m)x-120,x-3,2.记g(x)=x2+(2-m)x-12,x-3,2.则g(x)max0,由g(x)的图象开口向上,知函数g(x)的最大值是g(2)或g(-3),所以g(2)0,g(-3)0,即-4-2m0,-9+3m0,解得-2m3,所以m-2,3.刷新题培素养1.B在同一直角坐标系中,作出函数f(x)=x2,g(x)=x+2的图象,由M(x)的定义知,函数M(x)的图象如图中实线部分所示.由图象知,当x=-1时,M(x)取得最小值1.故选B.2.A设t=x+1(t0),则x=t2-1(t0),所以g(t)=2(t2-1)-t=2t2-t-2(t0).易知函数g(t)=2t2-t-2在0,14上单调递减,在14,+上单调递增,f(x)min=g(t)min=g14=-178,故选A.3.ACx>1,y=11-x-x=-1x-1+x-1-1-21x-1·(x-1)-1=-2-1=-3,当且仅当1x-1=x-1,即x=2时取等号,函数的最大值为-3,无最小值,故选AC.4.答案0解析当x<-1时, f(x)=-x+2+x+1=3,当-1x2时, f(x)=-x+2-x-1=-2x+1,此时f(x)min=f(2)=-3, f(x)max=f(-1)=3,当x>2时, f(x)=x-2-x-1=-3.综上, f(x)的最大值m=3,最小值n=-3,所以m+n=0,故答案为0.5.解析(1)当a=12时,f(x)=x2+x-1,x-1,1,其图象开口向上,且对称轴方程为x=-12,函数y=f(x)在-1,-12上单调递减,在-12,1上单调递增,f(x)的最小值为f-12=-54,又f(-1)=-1, f(1)=1,f(x)的最大值为f(1)=1,最小值为f-12=-54.(2)函数f(x)=x2+2ax-1的图象开口向上,且对称轴方程为x=-a,当-a-1,即a1时,y=f(x)在-1,1上单调递增,f(x)min=f(-1)=-2a;当-1<-a<1,即-1<a<1时,y=f(x)在-1,-a上单调递减,在-a,1上单调递增,f(x)min=f(-a)=-a2-1;当-a1,即a-1时,y=f(x)在-1,1上单调递减,f(x)min=f(1)=2a.综上可得,g(a)=-2a,a1,-a2-1,-1<a<1,2a,a-1.6.Cy=f(x)=x2-3x-4=x-322-254,f32=-254,且f(0)=f(3)=-4,由已知及二次函数的图象可知,m的值最小为32,最大为3,即m的取值范围是32,3,故选C.7.A在函数f(x)中,当x-1,0)时, f(x)是减函数,因此, f(x)(2,3;当x0,1时, f(x)也是减函数,因此, f(x)2,3.当x-1,1时, f(x)2,3,即f(x)max=3.在函数g(x)中,由k>0知,g(x)在-1,1上单调递增,g(x)max=g(1)=k+5-2k=5-k.若x1-1,1,总存在x2-1,1使得f(x1)g(x2),则35-k,解得k2,又k>0,0<k2.故选A.8.AC在A中,因为f(x)=-2x+1(x-2,2)是减函数,所以当x=2时,函数取得最小值,最小值为-3,因此a<-3,A正确;在B中,因为f(x)=-2x+1(x-2,2)是减函数,所以当x=-2时,函数取得最大值,最大值为5,因此a<5,B错误;在C中,g(x)=x2-2x=(x-1)2-1(x0,3),当x=1时,函数取得最小值,最小值为-1,当x=3时,函数取得最大值,最大值为3,故函数的值域为-1,3,由g(x)=a有解,知a-1,3,C正确;在D中,x-2,2,t0,3, f(x)=g(t)等价于f(x)的值域是g(t)的值域的子集,而f(x)的值域是-3,5,g(t)的值域是-1,3,故D错误.故选AC.解题模板不等式恒成立(有解)等问题的求解,常将问题转化为最大(小)值问题,记住下列转化有利于解题:f(x)>a恒成立f(x)min>a;f(x)<a恒成立f(x)max<a;f(x)>a有解f(x)max>a; f(x)<a有解f(x)min<a.9.BCD对于A,因为f(x)=x2-2x+2在区间1,b上为增函数,故其值域为1,b2-2b+2,若1,b为f(x)=x2-2x+2的跟随区间,则b2-2b+2=b,解得b=1或b=2,因为b>1,所以b=2.故A错误.对于B,因为函数f(x)=2-3x在区间(-,0)与(0,+)上均为增函数,所以若f(x)=2-3x存在跟随区间a,b,则有a=2-3a,b=2-3b,即a,b为2-3x=x的两根.因为x2-2x+3=0无解,所以函数f(x)=2-3x不存在跟随区间.故B正确.对于C, 因为f(x)=m-x+1为减函数,所以若函数f(x)=m-x+1存在跟随区间a,b,则b=m-a+1,a=m-b+1,则a-b=a+1-b+1,a<b,所以(a-b)(a+1+b+1)=(a+1)-(b+1)=a-b,因为ab,所以a+1+b+1=1.易得0a+1<b+11.所以a=m-b+1=m-(1-a+1),令t=a+1,则t2-t-m=0,同理t=b+1也满足t2-t-m=0,即t2-t-m=0在区间0,1上有两个不相等的实数根,故1+4m>0,-m0,解得m-14,0,故C正确.对于D,若f(x)=-12x2+x存在“3倍跟随区间”,则可设定义域为a,b,值域为3a,3b.当a<b1时,易得f(x)=-12x2+x在区间a,b上单调递增,此时易得a,b为方程-12x2+x=3x的两根,解得x=0或x=-4.故存在定义域为-4,0,使得值域为-12,0.故D正确.故选BCD.10.答案0,2解析当x>0时, f(x)=x+1x+a2·x·1x+a=2+a,当且仅当x=1x,即x=1时,等号成立,此时f(x)有最小值2+a.因为f(0)是f(x)的最小值,所以当x0时, f(x)=(x-a)2单调递减,故a0,此时最小值f(0)=a2,故2+aa2,解得-1a2,又a0,所以0a2.故实数a的取值范围为0,2.11.解析(1)函数g(x)=x不是函数f(x)=2x2的一个承托函数,当x=14时,g(x)=14, f(x)=18,此时f(x)<g(x),不满足承托函数的定义,故函数g(x)=x不是函数f(x)=2x2的承托函数.(2)根据承托函数的定义可得函数f(x)=|x|的一个承托函数是g(x)=12x.(答案不唯一)(3)若函数g(x)=2x-a为函数f(x)=ax2的一个承托函数,则ax22x-a对一切实数x都成立,即ax2-2x+a0对一切实数x都成立,当a=0时,g(x)=2x, f(x)=0,此时g(x)不是f(x)的承托函数,当a0时,要满足题意,则有a>0,4-4a20,解得a1,故实数a的取值范围为1,+).刷新题 练高分