九年级中考数学第三轮压轴题冲刺：圆的综合 专题复习练习 .docx

2021年中考数学第三轮压轴题冲刺：圆的综合 专题复习练习1、如图，在中，为的直径，为上一点，是的中点，过点作的垂线，交的延长线于点（1）求证：是的切线；（2）若，求的长2、如图，已知AB是的直径，直线BC与相切于点B，过点A作AD/OC交于点D，连接CD（1）求证：CD是的切线（2）若，直径，求线段BC的长3、如图，点在以为直径的上，点是半圆的中点，连接，过点作交的延长线于点（1）求证：直线是的切线；（2）若，求，的长4、如图，ABC是O的内接三角形，BAC75°，ABC45°连接AO并延长，交O于点D，连接BD过点C作O的切线，与BA的延长线相交于点E（1）求证：ADEC；（2）若AB12，求线段EC的长5、如图，AB是O的直径，C是O上一点，于点D，过点C作O 的切线，交OD的延长线于点E，连结BE（1）求证：BE是O的切线；（2）设OE交O于点F，若，求线段EF的长；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积6、如图，是的直径，点是上一点（与点，不重合），过点作直线，使得（1）求证：直线是的切线（2）过点作于点，交于点，若的半径为2，求图中阴影部分的面积7、如图，在O中，AB为直径，点C为圆上一点，延长AB到点D，使CD=CA，且（1）求证：是O的切线（2）分别过A、B两点作直线CD的垂线，垂足分别为E、F两点，过C点作AB的垂线，垂足为点G求证：8、如图，在中，点为的中点，弦、互相垂直，垂足为，分别与、相交于点、，连接、（1）求证：为的中点（2）若的半径为8，的度数为，求线段的长9、如图，在中，为边上的一点，以为直径的交于点，交于点，过点作交于点，交于点，过点的弦交于点不是直径），点为弦的中点，连结，恰好为的切线（1）求证：是的切线（2）求证：（3）若，求四边形的面积10、如图，为的直径，四边形内接于，对角线，交于点，的切线交的延长线于点，切点为，且（1）求证：；（2）若，求的值11、如图，为半圆O的直径，C为半圆O上一点，与过点C的切线垂直，垂足为D，交半圆O于点E（1）求证：平分；（2）若，试判断以为顶点的四边形的形状，并说明理由12、如图，是的外接圆，为直径，点是外一点，且，连接交于点，延长交于点 .证明：=；.若，证明：是的切线；.在的条件下，连接交于点,连接;若，求的长 13、在中，OA平分交BC于点O，以O为圆心，OC长为半径作圆交BC于点D（1）如图1，求证：AB为的切线；（2）如图2，AB与相切于点E，连接CE交OA于点F试判断线段OA与CE的关系，并说明理由若，求的值14、如图，在中，将沿直线翻折得到，连接交于点是线段上的点，连接是的外接圆与的另一个交点，连接，（1）求证：是直角三角形；（2）求证：；（3）当，时，在线段上存在点，使得和互相平分，求的值15、问题提出（1）如图1，在RtABC中，ACB90°，ACBC，ACB的平分线交AB于点D过点D分别作DEAC，DFBC垂足分别为E，F，则图1中与线段CE相等的线段是CF、DE、DF问题探究（2）如图2，AB是半圆O的直径，AB8P是AB上一点，且PB=2PA，连接AP，BPAPB的平分线交AB于点C，过点C分别作CEAP，CFBP，垂足分别为E，F，求线段CF的长问题解决（3）如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图已知O的直径AB70m，点C在O上，且CACBP为AB上一点，连接CP并延长，交O于点D连接AD，BD过点P分别作PEAD，PFBD，重足分别为E，F按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区设AP的长为x（m），阴影部分的面积为y（m2）求y与x之间的函数关系式；按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理试求当AP30m时室内活动区（四边形PEDF）的面积参考答案2021年中考数学第三轮压轴题冲刺：圆的综合 专题复习练习1、如图，在中，为的直径，为上一点，是的中点，过点作的垂线，交的延长线于点（1）求证：是的切线；（2）若，求的长【解答】（1）证明：是的中点，是的切线；（2）解：连接交于，为的直径，是的中点，四边形是矩形，2、如图，已知AB是的直径，直线BC与相切于点B，过点A作AD/OC交于点D，连接CD（1）求证：CD是的切线（2）若，直径，求线段BC的长【详解】（1）如图，连接OD，则直线BC与相切于点B在和中，又是的半径是的切线；（2）如图，连接BD由圆周角定理得：，在和中，即解得3、如图，点在以为直径的上，点是半圆的中点，连接，过点作交的延长线于点（1）求证：直线是的切线；（2）若，求，的长【解答】（1）证明：连接，为的直径，点是半圆的中点，直线是的切线；（2）解：连接，为的直径，点是半圆的中点，是等腰直角三角形，四边形是圆内接四边形，由（1）知，解得：4、如图，ABC是O的内接三角形，BAC75°，ABC45°连接AO并延长，交O于点D，连接BD过点C作O的切线，与BA的延长线相交于点E（1）求证：ADEC；（2）若AB12，求线段EC的长【解答】证明：（1）连接OC，CE与O相切于点C，OCE90°，ABC45°，AOC90°，AOC+OCE180°，ADEC（2）如图，过点A作AFEC交EC于F，BAC75°，ABC45°，ACB60°，DACB60°，sinADB=ABAD=32，AD=12×23=83，OAOC43，AFEC，OCE90°，AOC90°，四边形OAFC是矩形，又OAOC，四边形OAFC是正方形，CFAF43，BAD90°D30°，EAF180°90°30°60°，tanEAF=EFAF=3，EF=3AF12，CECF+EF12+435、如图，AB是O的直径，C是O上一点，于点D，过点C作O 的切线，交OD的延长线于点E，连结BE（1）求证：BE是O的切线；（2）设OE交O于点F，若，求线段EF的长；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积【详解】（1）证明：连接OC，如图，ODBC，CD=BD，OE为BC的垂直平分线，EB=EC，EBC=ECB，OB=OC，OBC=OCB，OBC+EBC=OCB+ECB，即OBE=OCE，CE为O的切线，OCCE，OCE=90°，OBE=90°，OBBE，BE与O相切（2）设O的半径为R，则OD=R-DF=R-2，OB=R，在RtOBD中，BD=BC=OD2+BD2=OB2，解得R=4，OD=2，OB=4，OBD=30°，BOD=60°，在RtOBE中，BEO=30º，OE=2OB=8，EF=OE-OF=8-4=4，即EF=4；（3）由OCD=OBD=30º和ODBC知：COD=BOD=60º，BOC=120º，又BC=，OE=8，=, 6、如图，是的直径，点是上一点（与点，不重合），过点作直线，使得（1）求证：直线是的切线（2）过点作于点，交于点，若的半径为2，求图中阴影部分的面积【解答】解：（1）证明：如图，连接，是的直径，即，直线是的切线（2）连接，又，为等边三角形，图中阴影部分的面积为7、如图，在O中，AB为直径，点C为圆上一点，延长AB到点D，使CD=CA，且（1）求证：是O的切线（2）分别过A、B两点作直线CD的垂线，垂足分别为E、F两点，过C点作AB的垂线，垂足为点G求证：【详解】解：(1)连接OC，如下图所示：CA=CD，且D=30°， CAD=D=30°， OA=OC， CAD=ACO=30°，COD=CAD+ACO=30°+30°=60°，OCD=180°-D-COD=180°-30°-60°=90°， OCCD， CD是O的切线(2)连接BC，如下图所示：COB=60°，且OC=OB，OCB为等边三角形，CBG=60°，又CGAD，CGB=90°，GCB=CGB-CBG=30°，又GCD=60°，CB是GCD的角平分线，且BFCD，BGCG，BF=BG，又BC=BC，BCGBCF，CF=CG.D=30°，AEED，E=90°，EAD=60°，又CAD=30°，AC是EAG角平分线，且CEAE，CGABCE=CG，E=BFC=90°，EAC=30°=BCF，AECCFB，即，又，8、如图，在中，点为的中点，弦、互相垂直，垂足为，分别与、相交于点、，连接、（1）求证：为的中点（2）若的半径为8，的度数为，求线段的长【解答】（1）证明：，点为的中点，为的中点；（2）解：连接，的度数为，由（1）同理得：，是的中位线，9、如图，在中，为边上的一点，以为直径的交于点，交于点，过点作交于点，交于点，过点的弦交于点不是直径），点为弦的中点，连结，恰好为的切线（1）求证：是的切线（2）求证：（3）若，求四边形的面积【解答】（1）证明：连接，点为弦的中点，垂直平分，为的切线，是的切线（2）解：，（3）解：为的直径，点为弦的中点，四边形是平行四边形，四边形是菱形，解得：，四边形的面积10、如图，为的直径，四边形内接于，对角线，交于点，的切线交的延长线于点，切点为，且（1）求证：；（2）若，求的值【解答】解：（1）证明：，又，；（2）是的切线，是的直径，11、如图，为半圆O的直径，C为半圆O上一点，与过点C的切线垂直，垂足为D，交半圆O于点E（1）求证：平分；（2）若，试判断以为顶点的四边形的形状，并说明理由【详解】解：(1)证明：连接OC，如下图所示：CD为圆O的切线，OCD=90°，D+OCD=180°，OCAD，DAC=ACO，又OC=OA，ACO=OAC，DAC=OAC， AC平分DAB(2) 四边形EAOC为菱形，理由如下：连接EC、BC、EO，过C点作CHAB于H点，如下图所示，由圆内接四边形对角互补可知，B+AEC=180°，又AEC+DEC=180°，DEC=B，又B+CAB=90°，DEC+DCE=90°，CAB=DCE，又CAB=CAE，DCE=CAE，且D=D，DCEDAC，设DE=x，则AE=2x，AD=AE+DE=3x，在RtACD中，DAC=30°，DAO=2DAC=60°，且OA=OE，OAE为等边三角形，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知：EOC=2EAC=60°，EOC为等边三角形，EA=AO=OE=EC=CO，即EA=AO=OC=CE，四边形EAOC为菱形12、如图，是的外接圆，为直径，点是外一点，且，连接交于点，延长交于点 .证明：=；.若，证明：是的切线；.在的条件下，连接交于点,连接;若，求的长 【详解】解：（1）证明：如图，连接CO，在PCO和PAO中，PCOPAO（SSS），CPO=APO，即PO为APC的角平分线，PA=PC，CD=AD，PFAC，AC为O的弦，PF过圆心O，F为优弧中点，=，（2）证明：AB是O的直径，且弦AB所对圆周角为ACB，ACB=90°，tanABC=，sinABC=，cosABC=，设O的半径为r，则AB=2r，BC=ABcosABC=，AC=ABsinABC=，PA=PC=AB，PA=PC=，PO=PD+OD=3r，即PAOA，又OA是O半径，PA是O的切线；（3）由（2）可得，在RtPBA中，连接AE，可得AEB=90°，PEA=PAB=90°，又APE=APB，PEAPAB，过E作ENPD于N，过B作BHPF于H，如图所示，BCD=CDF=BHD=90°，四边形BCDH是矩形，BH=CD=，在RtBPH中，sinBPH=，在RtPEN中，sinBPH=，ND=PD-PN=，在RtNED中，DE=，DE=13、在中，OA平分交BC于点O，以O为圆心，OC长为半径作圆交BC于点D（1）如图1，求证：AB为的切线；（2）如图2，AB与相切于点E，连接CE交OA于点F试判断线段OA与CE的关系，并说明理由若，求的值【详解】解：（1）如图，过点O作OGAB，垂足为G，OA平分交BC于点O，OG=OC，点G在上，即AB与相切；（2）OA垂直平分CE，理由是：连接OE，AB与相切于点E，AC与相切于点C，AE=AC，OE=OC，OA垂直平分CE；，则FC=2OF，在OCF中，解得：OF=，则CF=，由得：OACE，则OCF+COF=90°，又OCF+ACF=90°，COF=ACF，而CFO=ACO=90°，OCFOAC，即，解得：AC=6，AB与圆O切于点E，BEO=90°，AC=AE=6，而B=B，BEOBCA，设BO=x，BE=y，则，可得：，解得：，即BO=5，BE=4，tanB=.14、如图，在中，将沿直线翻折得到，连接交于点是线段上的点，连接是的外接圆与的另一个交点，连接，（1）求证：是直角三角形；（2）求证：；（3）当，时，在线段上存在点，使得和互相平分，求的值【解答】（1）证明：，是直角三角形（2）证明：，（3）解：设交于连接与互相平分，四边形是平行四边形，即，即，解得（负根已经舍弃）15、问题提出（1）如图1，在RtABC中，ACB90°，ACBC，ACB的平分线交AB于点D过点D分别作DEAC，DFBC垂足分别为E，F，则图1中与线段CE相等的线段是CF、DE、DF问题探究（2）如图2，AB是半圆O的直径，AB8P是AB上一点，且PB=2PA，连接AP，BPAPB的平分线交AB于点C，过点C分别作CEAP，CFBP，垂足分别为E，F，求线段CF的长问题解决（3）如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图已知O的直径AB70m，点C在O上，且CACBP为AB上一点，连接CP并延长，交O于点D连接AD，BD过点P分别作PEAD，PFBD，重足分别为E，F按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区设AP的长为x（m），阴影部分的面积为y（m2）求y与x之间的函数关系式；按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理试求当AP30m时室内活动区（四边形PEDF）的面积【解答】解：（1）ACB90°，DEAC，DFBC，四边形CEDF是矩形，CD平分ACB，DEAC，DFBC，DEDF，四边形CEDF是正方形，CECFDEDF，故答案为：CF、DE、DF；（2）连接OP，如图2所示：AB是半圆O的直径，PB=2PA，APB90°，AOP=13×180°60°，ABP30°，同（1）得：四边形PECF是正方形，PFCF，在RtAPB中，PBABcosABP8×cos30°8×32=43，在RtCFB中，BF=CFtanABC=CFtan30°=CF33=3CF，PBPF+BF，PBCF+BF，即：43=CF+3CF，解得：CF623；（3）AB为O的直径，ACBADB90°，CACB，ADCBDC，同（1）得：四边形DEPF是正方形，PEPF，APE+BPF90°，PEAPFB90°，将APE绕点P逆时针旋转90°，得到APF，PAPA，如图3所示：则A、F、B三点共线，APEAPF，APF+BPF90°，即APB90°，SPAE+SPBFSPAB=12PAPB=12x（70x），在RtACB中，ACBC=22AB=22×70352，SACB=12AC2=12×（352）21225，ySPAB+SACB=12x（70x）+1225=12x2+35x+1225；当AP30时，AP30，PBABAP703040，在RtAPB中，由勾股定理得：AB=A'P2+PB2=302+402=50，SAPB=12ABPF=12PBAP，12×50×PF=12×40×30，解得：PF24，S四边形PEDFPF2242576（m2），当AP30m时室内活动区（四边形PEDF）的面积为576m2