人教版数学九年级中考三轮冲刺：四边形压轴.doc

2021年人教版数学中考三轮冲刺：四边形压轴1（1）如图，点E、F分别在正方形ABCD的边AB、BC上，EDF45°，连接EF，求证：EFAE+FC（2）如图，点E，F在正方形ABCD的对角线AC上，EDF45°，猜想EF、AE、FC的数量关系，并说明理由2在ABCD中，点M为AB的中点（1）如图1，若A90°，连接DM且BMD3ADM，试探究AB与BC的数量关系；（2）如图2，若A为锐角，过点C作CEAD于点E，连接EM，BME3AEM，求证：AB2BC；若EAEC，求的值3如图，将平行四边形OABC放置在平面直角坐标系xOy内，已知A（3，0），B（0，4）（）点C的坐标是（ ， ）；（）若将平行四边形OABC绕点O逆时针旋转90°得OFDE，DF交OC于点P，交y轴于点F，求OPF的面积；（）在（）的情形下，若再将平行四边形OFDE沿y轴正方向平移，设平移的距离为d，当平移后的平行四边形O'F'D'E与平行四边形OABC重叠部分为五边形时，设其面积为S，试求出S关于d的函数关系式，并直接写出x的取值范围4如图，四边形ABCD中，ADBC，AD90°，点E是AD的中点，连接BE，将ABE沿BE折叠后得到GBE，且点G在四边形ABCD内部，延长BG交DC于点F，连接EF（1）求证：EGFEDF；（2）求证：BGCD；（3）若点F是CD的中点，BC8，求CD的长5如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE（1）发现：当正方形AEFG绕点A旋转，如图2，线段DG与BE之间的数量关系是 ；位置关系是 ；（2）探究：如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD2AB，AG2AE，猜想DG与BE的数量关系与位置关系，并说明理由；（3）应用：在（2）情况下，连接GE（点E在AB上方），若GEAB，且AB，AE1，求线段DG的长6如图，在等边ABC中，AB6cm，动点P从点A出发以1cm/s的速度沿AB匀速运动动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动设运动时间为t（s）过点P作PEAC于E，连接PQ交AC边于D以CQ、CE为边作平行四边形CQFE（1）当t为何值时，BPQ为直角三角形；（2）求DE的长；（3）取线段BC的中点M，连接PM，将BPM沿直线PM翻折，得B'PM，连接AB'，当t为何值时，AB'的值最小？并求出最小值7如图，四边形ABCD是矩形，点E在AB边上，且BCBE，连接EC、AC，过点B作BGAC，垂足为G，BG分别交EC、DC于F、H两点（1）如图1，若BC2，ECA15°，求线段EF的长（2）如图2，延长AB到M，连接MF，使得BMFFBC，求证：BF+FMAC（3）如图3，在（1）的条件下，点N是线段DC的三等分点，且DNCN，点P是线段AD的中点，连接AN，将ADN绕点D逆时针旋转°（0360）到A'DN'，连接PA'，NA'，当3NA'PA'取最大值时，请直接写出A'DH的面积8（1）如图1，正方形ABCD和正方形DEFG（其中ABDE），连接CE，AG交于点H，请直接写出线段AG与CE的数量关系 ，位置关系 ；（2）如图2，矩形ABCD和矩形DEFG，AD2DG，AB2DE，ADDE，将矩形DEFG绕点D逆时针旋转（0°360°），连接AG，CE交于点H，（1）中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段AG，CE的数量关系和位置关系，并说明理由；（3）矩形ABCD和矩形DEFG，AD2DG6，AB2DE8，将矩形DEFG绕点D逆时针旋转（0°360°），直线AG，CE交于点H，当点E与点H重合时，请直接写出线段AE的长9定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”（1）如图，四边形ABCD与四边形AEEG都是正方形，135°AEB180°，求证：四边形BEGD是“等垂四边形”；（2）如图，四边形ABCD是“等垂四边形”，ADBC，连接BD，点E，F，G分别是AD，BC，BD的中点，连接EG，FG，EF试判定EFG的形状，并证明；（3）如图，四边形ABCD是“等垂四边形”，AD4，BC6，试求边AB长的最小值10如图，正方形ABCD和正方形DEFG有公共顶点D（1）如图1，连接AG和CE，直接写出AG和CE的关系 ；（2）如图2，连接AE，M为AE中点，连接DM、CG，探究DM、CG的关系，并说明理由；（3）如图3，若AB4，DE2，直线AG与直线CE交于点P，请直接写出AP的取值范围： 11在正方形ABCD中，E为边CD上一点（不与点C、D重合），垂直于BE的一条直线MN分别交BC、BE、AD于点M、P、N，正方形ABCD的边长为6（1）如图1，当点M和点C重合时，若AN4，求线段PM的长度；（2）如图2，当点M在边BC上时，判断线段AN、MB、EC之间的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当垂足P在正方形ABCD的对角线AC上运动时，连接NB，将BPN沿着BN翻折，点P落在点P'处，AB的中点为Q，直接写出P'Q的最小值12如图，四边形ABCD为矩形，点E为边AB上一点，将ADE沿DE折叠，点A落在矩形ABCD内的点F处（1）如图，若AB8，AD6，点F恰好落在矩形的对角线BD上，求线段BF的长；（2）如图，连接BF，若BEF为等边三角形，求的值；（3）如图，已知E为AB中点，tanADE，连接BF，FC，若ADE的面积为S，求BFC的面积（结果用关于S的代数式表示）13已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OEBD交AD边于点E，连接BE（1）如图1，求证：BD平分EBC；（2）如图2，延长EO交BC于点F，当BF2AE时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有长度等于CD的线段14如图，在长方形ABCD中，已知AB20，AD12，动点P从点D出发，以每秒2个单位的速度沿线段DC向终点C运动，运动时间为t秒，连接AP，设点D关于AP的对称点为点E（1）如图，射线PE恰好经过点B，试求此时t的值（2）当射线PE与边AB交于点Q时，请直接写出AQ长的取值范围： ；是否存在这样的t的值，使得QEQB？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由15【问题提出】如图1，在四边形ABCD中，ADCD，ABC120°，ADC60°，AB2，BC1，求四边形ABCD的面积【尝试解决】旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题（1）如图2，连接BD，由于ADCD，所以可将DCB绕点D顺时针方向旋转60°，得到DAB'，则BDB的形状是 （2）在（1）的基础上，求四边形ABCD的面积【类比应用】（3）如图3，等边ABC的边长为2，BDC是顶角为BDC120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求AMN的周长参考答案1证明：（1）四边形ABCD是正方形，ABBCCDAD，BCADCDAB90°，如图：延长BA，使AMCF，连接MD，在AMD和CFD中，AMDCFD（SAS），MDACDF，MDDF，EDF45°，ADE+FDC45°，ADM+ADE45°MDE，MDEEDF，在EDF和EDM中，EDFEDM（SAS），EFEM，EMAM+AEAE+CF，EFAE+CF；（2）EF2AE2+CF2，理由如下：如图，将CDF绕点D顺时针旋转90°，可得ADN，由旋转的性质可得DNDF，ANCF，DANDCF45°，CDFADN，CANCAD+DAN90°，EN2AE2+AN2，EDF45°，CDF+ADE45°，ADE+ADN45°NDEEDF，在EDF和EDN中，EDFEDN（SAS），EFEN，EF2AE2+CF22解：（1）BCAB，理由如下：BMD3ADM，A+ADM3ADM，A2ADM，A90°，ADM45°，ADM是等腰直角三角形，ADAM，四边形ABCD是平行四边形，M是AB中点，ADBC，AMAB，BCAB；（2）取CD的中点N，连接MN并延长交CE于F，如图：四边形ABCD是平行四边形，M是AB中点，N是CD的中点，DNCNCDABAMBM，CDAB，四边形AMND、四边形BCNM是平行四边形，MNADBC，AEMEMF，CMFMCB，EFCF，CEAD于点E，MNCE，MF是CE的垂直平分线，MEMC，EMFCMF，设AEM，则EMFCMFMCB，EMC2，BME3AEM，BME3，BMCBMEEMC，BMCMCB，BCBMAB，AB2BC；如图：由知：AB2BC，CD2AD设EDx，ECy，则EAy，ADyx，CD2（yx），RtCDE中，ED2+EC2CD2，x2+y24（yx）2，化简整理得：3x28xy+3y20，解得xy或xy，DEAE，xy，即3解：（）A（3，0），B（0，4），OA3，OB4，四边形OABC是平行四边形，BCOA3，BCOA，ABOC，点C的坐标为：（3，4）；故答案为：3，4；（）由旋转的性质，可得：ODOB4，OFOA3，ODFOBA，OFDOAB，BOD90°，SDOFODOF×4×36，DF5，ABOC，OBABOC，ODFBOC，OFPDFO，OFPDFO，（）2（）2，SOPFSDOF×6；（）如图，重叠部分为五边形时，F必须位于点B上方，OF3，OB4，d1，当点C在DF上时，重叠部分不构成五边形，设此时直线DF的解析式为yx+b，将C（3，4）代入，得4×（3）+b，解得：b，直线DF的解析式为yx+，令x0，得y，F（0，），OF，FFOFOF3，d，1d；sinFOC，PFFO（d+3），同理可得：PO（d+3），SFPOPFPO×（d+3）×（d+3）（d+3）2，cosDFO，BFd1，HF（d1），sinDFO，HBHF×（d1）（d1），SHBFBFHB×（d1）×（d1）（d1）2，OOd，OGOOsinBOCd，OGOOcosBOCd，SOGOOGOG×d×dd2，SSFPOSHBFSOGO（d+3）2（d1）2d2d2+d+，Sd2+d+（1d）4（1）证明：将ABE沿BE折叠后得到GBE，ABEGBE，BGEA，AEGE，AD90°，EGFD90°，EAED，EGED，在RtEGF和RtEDF中，RtEGFRtEDF（HL）；（2）证明：由折叠性质可得，ABBG，ADBC，AD90°，四边形ABCD是矩形，ABCD，BGDC（3）解：由折叠可知ABGB，由（1）知RtEGFRtEDF，GFDF，又C90°，ABCD，FDCF，GB2GF，BF+GF3GF，BF2BC2+CF2，（3GF）264+GF2，GF2，CD2GF45解：（1）DGBE，DGBE，理由如下：四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，AEAG，ABAD，BADEAG90°，BAEDAG，ABEADG（SAS），BEDG；如图2，延长BE交AD于Q，交DG于H，ABEDAG，ABEADG，AQB+ABE90°，AQB+ADG90°，AQBDQH，DQH+ADG90°，DHB90°，BEDG，故答案为：DGBE，DGBE；（2）DG2BE，BEDG，理由如下：如图3，延长BE交AD于K，交DG于H，四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，BADEAG，BAEDAG，AD2AB，AG2AE，ABEADG，ABEADG，DG2BE，AKB+ABE90°，AKB+ADG90°，AKBDKH，DKH+ADG90°，DHB90°，BEDG；（3）如图4，（为了说明点B，E，F在同一条线上，特意画的图形）设EG与AD的交点为M，EGAB，DMEDAB90°，在RtAEG中，AE1，AG2AE2，根据勾股定理得：EG，AB，EGAB，EGAB，四边形ABEG是平行四边形，AGBE，AGEF，点B，E，F在同一条直线上，如图5，AEB90°，在RtABE中，根据勾股定理得，BE2，由（2）知，ABEADG，即，DG46解：（1）ABC是等边三角形，B60°，当BQ2BP时，BPQ90°，6+t2（6t），解得：t2，即t2s时，BPQ是直角三角形；（2）过P作PKBC交AC于K，如图1所示：ABC是等边三角形，BA60°，ACAB6cm，PKBC，APKB60°，AAPKAKP60°，APK是等边三角形，PAPK，PEAK，AEEK，APCQPK，PKDDCQ，PDKQDC，PKDQCD（AAS），DKDC，DEEK+DK（AK+CK）AC3（cm）；（3）连接AM，AB，如图2所示：BMCM3，ABAC，AMBC，AM3，ABAMMB，AB33，AB的最小值为33，此时MP平分AMB，则点P到AM、BM的距离相等，又，t（6t），解得：t93，即当t为（93）s时，AB'的值最小，最小值为337解：（1）如图1，过点F作FKBC于K，四边形ABCD是矩形，ABCBCD90°，BEBC2，BCEBEC45°，CEBC2，ECA15°，BCABCE+ECA60°，BGAC，BGC90°，CBG90°BCA30°，FKBC，CKFBKF90°，CKFKtanBCEFKtan45°FK，BKFK，CK+BKBC，FK+FK2，FK3，CFFK（3）3，EFCECF2（3）33（2）如图2，延长MF交CD于T，过点T作TPAB于P，四边形ABCD是矩形，ABCD，BADDBCD90°，BMFCTF，BMFFBC，CTFFBC，BCE45°，TCFBCDBCE90°45°45°，TCFBCE，在TCF和BCF中，TCFBCF（AAS），FTBF，BGAC，BGC90°，BCG+FBC90°，又BCG+ACD90°，FBCACD，BMFFBC，BMFACD，即TMPACD，TPAB，APTMPT90°BADD，四边形APTD是矩形，ADPT，在MTP和CAD中，MTPCAD（AAS），MTAC，即FT+FMAC，BF+FMAC（3）如图3，以D为圆心，DN、DA为半径作同心圆，四边形ABCD是矩形，ADBC，ADBC2，ADCBCD90°，由（1）得：BCA60°，CADBCA60°，CDADtanCAD2tan60°6，点N是线段DC的三等分点，且DNCN，DNCD×62，3NA'PA'（NAPA），当3NA'PA'取最大值时，NAPA的值最大，DADA2，又ADNCDA，ADNCDA，ACAN，NAPAACPAPC，当C、P、A在同一直线上时，NAPA的最大值为PC，此时3NA'PA'取最大值，作ATCD的延长线于T，则ATDP，设ATx，在RtCDP中，PC，ACx，CT2x，TDCTCD2x6，在RtADT中，AT2+TD2AD2，x2+（2x6）2（2）2，解得：x，AT，由（1）知：CBG30°，CHBCtanCBG2×tan30°2，DHCDCH624，SADHDHAT×4×8解：（1）如图1，在正方形ABCD和正方形DEFG中，ADCEDG90°，ADE+EDGADC+ADE，即ADGCDE，DGDE，DADC，GDAEDC（SAS），AGCE，GADECD，CODAOH，AHOCDO90°，AGCE，故答案为：相等，垂直；（2）不成立，CE2AG，AGCE，理由如下：如图2，由（1）知，EDCADG，AD2DG，AB2DE，ADDE，GDAEDC，即CE2AG，GDAEDC，ECDGAD，CODAOH，AHOCDO90°，AGCE；（3）当点E在线段AG上时，如图3，在RtEGD中，DG3，ED4，则EG5，过点D作DPAG于点P，DPGEDG90°，DGPEGD，DGPEGD，即，PD，PG，则AP，则AEAGGEAP+GPGE+5；当点G在线段AE上时，如图4，过点D作DPAG于点P，DPGEDG90°，DGPEGD，同理得：PD，AP，由勾股定理得：PE，则AEAP+PE+；综上，AE的长为9解：（1）如图，延长BE，DG交于点H，四边形ABCD与四边形AEFG都为正方形，ABAD，AEAG，BADEAG90°BAEDAGABEADG（SAS）BEDG，ABEADGABD+ADB90°，ABE+EBD+ADBDBE+ADB+ADG90°，即EBD+BDG90°，BHD90°BEDG又BEDG，四边形BEGD是“等垂四边形”（2）EFG是等腰直角三角形理由如下：如图，延长BA，CD交于点H，四边形ABCD是“等垂四边形”，ADBC，ABCD，ABCD，HBC+HCB90°点E，F，G分别是AD，BC，BD的中点，EGAB，GFDC，BFGC，EGDHBD，EGGFEGFEGD+FGDABD+DBC+GFBABD+DBC+CHBC+HCB90°EFG是等腰直角三角形（3）延长BA，CD交于点H，分别取AD，BC的中点E，F连接HE，EF，HF，则，由（2）可知AB最小值为10解：（1）AGCE且AGCE，理由如下：四边形ABCD和四边形DEFG是正方形，ADCGDE90°，ADCD，DGDE，ADGCDE，ADGCDE（SAS），AGCE，ADCGDE90°由旋转可知：AGCE；故答案为：AGCE且AGCE；（2）DM、CG的关系是：DMCG，且DMCG，理由如下：如图2，延长AD至H，使ADDH，连接EH，GDECDH90°，GDECDECDHCDE，即CDGHDE，CDDH，GDDE，DGCDEH（SAS），CGEH，M是AE的中点，ADDH，DM是AEH的中位线，DMEH，DMEH，DMCG，GDECDH90°，DGC绕点逆时针旋转90°到DEH，CGEH，DMCG；（3）由（1）可知：直线AG直线CE，APC90°，点P在以AC为直径的圆上运动，如图3，当P与F重合时，AP最小，此时A、P、F、G共线，RtAGD中，DG2，AD4，AG2，AP22；如图4，当P与F重合时，AP最大，同理得：AP2+2，AP的取值范围是：22AP2+2故答案为：22AP2+211解：（1）四边形ABCD是正方形，ABBCCDAD6，DBCE90°，BEMN，点M和点C重合，MDBC6，DMN+BCP90°，CBE+BCP90°，DMNCBE，在DMN和CBE中，DMNCBE（AAS），MNBE，AN4，DNADAN642，由勾股定理得：MN2，BE2，PBCCBE，CPBECB90°，PBCCBE，BP，在RtBPM中，由勾股定理得：PM；（2）线段AN、MB、EC之间的数量关系为：AN+ECMB，理由如下：过点N作NFBC于N，如图2所示：则四边形ANFB为矩形，ANBF，NFABBC，MNBE，EBC+PMB90°，MNF+NMF90°，EBCMNF，在EBC和MNF中，EBCMNF（ASA），FMEC，MBBF+FMAN+EC，即AN+ECMB；（3）连接BD交AC于点O，如图3所示：则BPN的直角顶点P在AC上运动，设点P与点C重合时，则点P与点A重合；设点P与点O重合时，则点P的落点为O，AOOB，AOB90°，OABBAO45°，当点P在线段CO上运动时，过点P作PGAD于点G，过点P作PHAD交DA延长线于点H，连接PD，点P在AC上，BPPD，在BPC和DPC中，BPCDPC（SSS），CBPCDP，CDAMPB90°，PDNBMP，BCAD，BMPPND，PDNPND，PDPN，BPPN，PNB45°，PNP90°，PNH+PNG90°，PNH+NPH90°，PNG+NPG90°，NPGPNH，PNGNPH，由翻折性质得：PNPN，在PGN和NHP'中，PGNNHP'（ASA），PGNH，GNP'H，AC是正方形ABCD的对角线，PAG45°，AGP是等腰直角三角形，PGAG，GNAH，AHP'H，P'AH45°，P'AB45°，点P'在线段AO'上运动；过点Q作QKAO'，垂足为K，则当P与K重合时，P'Q最短，点Q为AD的中点，AQ3，在等腰RtAKQ中，KQAQ×3，P'Q的最小值为12解：（1）如图中，四边形ABCD是矩形，A90°，BD10，由翻折的性质可知，DADF6，BFBDDF1064（2）如图中，EBF是等边三角形，EBEF，BEF60°，由翻折的性质可知，EAEF，AEDFED，AEDFED60°，设AEEFBEm，则ADAEm，AB2m，（3）如图中，过点F作FTAB于T设BTa由翻折的性质可知，DEAF，AEEF，四边形ABCD是矩形，EAD90°，BAF+DAF90°，DAF+ADE90°，BAFADE，同法可证BAFBFT，tanBFTtanBAFtanADE，FT3a，AT9a，AB10a，AEBE5a，AD3AE15a，SADE×15a×5aS，a2S，SBCF×15a×aa2S解法二：三角形ADF和三角形BCF加起来等于矩形面积的一半，四边形ADFE面积好求，先求出AEF的面积，AEF面积是ABF的一半13证明：（1）四边形ABCD是矩形，ADBC，BODO又OEBE，BEDEEBDEDBADBC，EDBCBD即BD平分EBC（2）解：长度等于CD的线段有：AE、EO、FO、CF理由：由（1）知：EBOFBO，在BEO和BFO中，BEOBFO（ASA）OEOF，BEBFBF2AE，BE2AE在RtABE中，sinABE，ABE30°，tanABE，AEABtan30°AB四边形ABCD是矩形，ABCD，OAOBOCODAECDEBF90°BAE60°，BEF为等边三角形EBF60°，EBOFBOEBF30°ABOABE+EBO60°，ABO为等边三角形BAOAOB60°，EAOEOA30°，AEOEADBC，OCFOAE30°FOCEOA30°，OCFFOCOFFCOFFCOEAECD14解：（1）如图1，ABCD，DPAPAB，由轴对称得：DPAEPA，EPAPAB，BPAB20，在RtPCB中，由勾股定理得：PC16，PD42t，t2；（2）解法一：如图2，过点P作PHAB于H，过点Q作QGCD于G，PHQGAD12，APQPAQ，AQPQ，PQ2PG2+QG2PG2+122144+PG2，AQ2144+PG2，AQDGDP+PG，（DP+PG）2144+PG2，PD2t，（2t+PG）2144+PG2，解得：PG，AQPD+PG2t+t+，t+（t）2+2212，AQt+12，由（1）可知：当t2时，Q与B重合，此时AQAB20，12AQ20；解法二：由（1）可知：当t2时，Q与B重合，此时AQAB20，如图2，当PQAB时，E与Q重合，此时AQAD12，12AQ20，故答案为：12AQ20；存在，分两种情况：当点E在矩形ABCD内部时，如图3，QEPQPEPQDPPQ2t，QEQB，PQAQ，QBAQ2t，AQ+BQAB20，AQ+AQ2t20，AQ10+t，由可知：AQt+，t+10+t，解得：t3.6；当点E在矩形ABCD的外部时，如图4，QEPEPQDPPQ2tPQ，QEQB，BQ2tAQ，ABAQ2tAQ，AB2t，t10（此时P与C重合），综上，存在这样的t值，使得QEQB，t的值为3.6或1015解：（1）将DCB绕点D顺时针方向旋转60°，得到DAB，BDBD，BDB60°，BDB是等边三角形；故答案为：等边三角形；（2）由（1）知，BCDBAD，四边形ABCD的面积等边三角形BDB的面积，BCAB1，BBAB+AB2+13，S四边形ABCDSBDB；（3）解：将BDM绕点D顺时针方向旋转120°，得到DCP，BDMCDP，MDPD，CPBM，MBDDCP，MDBPDC，BDC是等腰三角形，且BDC120°，BDCD，DBCDCB30°，又ABC等边三角形，ABCACB60°，MBDABC+DBC90°，同理可得NCD90°，PCDNCDMBD90°，DCN+DCP180°，N，C，P三点共线，MDN60°，MDB+NDCPDC+NDCBDCMDN60°，即MDNPDN60°，NMDNPD（SAS），MNPNNC+CPNC+BM，AMN的周长AM+AN+MNAM+AN+NC+BMAB+AC2+24故AMN的周长为4