人教版数学九年级中考三轮冲刺：三角形压轴 .doc

2021年人教版数学中考三轮冲刺：三角形压轴1【阅读材料】小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若BACDAE，ABAC，ADAE，则ABDACE【材料理解】（1）在图1中证明小明的发现【深入探究】（2）如图2，ABC和AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，连接AO，下列结论：BDEC；BOC60°；AOE60°；EOCO，其中正确的有 （将所有正确的序号填在横线上）【延伸应用】（3）如图3，ABBC，ABCBDC60°，试探究A与C的数量关系2（1）如图1，等腰ABC和等腰ADE中，BACDAE90°，B，E，D三点在同一直线上，求证：BDC90°；（2）如图2，等腰ABC中，ABAC，BAC90°，D是ABC外一点，且BDC90°，求证：ADB45°；（3）如图3，等边ABC中，D是ABC外一点，且BDC60°，ADB的度数；DA，DB，DC之间的关系3如图，在ABC中，ABAC，BAC90°，BC14，过点A作ADBC于点D，E为腰AC上一动点，连接DE，以DE为斜边向左上方作等腰直角DEF，连接AF（1）如图1，当点F落在线段AD上时，求证：AFEF；（2）如图2，当点F落在线段AD左侧时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）在点E的运动过程中，若AF，求线段CE的长4定义：如果一个直角三角形的两条直角边的比为2：1，那么这个三角形叫做“倍直角三角形”（1）如图1，下列三角形中是“倍直角三角形”的是 ；（2）已知“倍直角三角形”的一条直角边的长度为2，则另一条直角边的长度为 ；（3）如图2，正方形网格中，已知格点A、B、C、D，找出格点E，使ABE、CDE都是“倍直角三角形”，这样的点E共有 个；（4）如图3，正方形网格中，已知格点A、B，找出格点C，使ABC是“倍直角三角形”，请画出所有满足条件的点C5如图1，已知RtABC中，BAC90°，点D是AB上一点，且AC8，DCA45°，AEBC于点E，交CD于点F（1）如图1，若AB2AC，求AE的长；（2）如图2，若B30°，求CEF的面积；（3）如图3，点P是BA延长线上一点，且APBD，连接PF，求证：PF+AFBC6如图，ABC是等腰直角三角形，点D是BC的中点，FDED（1）如图1，若点E在线段AB上，点F在线段AC上请探究出线段AE，AF，AB的数量关系，并加以证明；（2）如图2，若点E在线段AB的延长线上，点F在线段CA的延长线上请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请探究出此时线段AE，AF，AB的数量关系，并加以证明7如图1，在长方形ABCD中，ABCD6cm，BC10cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒，且t5（1）PC cm（用含t的代数式表示）（2）如图2，当点P从点B开始运动的同时，点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在这样的v值，使得以A、B、P为顶点的三角形与以P、Q、C为顶点的三角形全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由8如图所示，正方形ABCD的边长是4，点E是边BC上的一个动点且AEF90°，EF交DC于点G，交正方形外角平分线CF于点F，点M是AB的中点，连接EM（1）求证：BAEFEC；（2）若E为BC的中点，求证：AEEF；（3）点E在何位置时线段DG最短，并求出此时DG的值9已知，在ABC中，ACBC，分别过A，B点作互相平行的直线AM、BN，过点C的直线分别交直线AM、BN于点D、E（1）如图1，若AMAB，求证：CDCE；（2）如图2，ABCDEB60°，求证：AD+DCBE10（1）问题提出：如图1，已知等边ABC的边长为2，D为BC的中点，P是AD上一动点，则BP+AP的最小值为 （2）问题探究：如图2，在RtABC中，BAC90°，ABC30°，AC，在三角形内有一点P满足APBBPC120°，求PA+PB+PC的值（3）问题解决：如图3，某地在脱贫攻坚乡村振兴中因地制宜建造了3个特色农产品种植基地A，B，C现需根据产品中转点P修建通往种植基地A，B，C的道路PA，PB，PC，方便农产品的储藏运输，根据地质设计，PB路段每米造价是PA的倍，PC路段每米造价是PA的2倍已知ABBC2000米，ABC30°，要使修建3条道路费用最小，即求PA+PB+2PC的最小值11如图，ABC中，BAC120°，ABAC，点D为BC边上一点（1）如图1，若ADAM，DAM120°求证：BDCM；若CMD90°，求的值；（2）如图2，点E为线段CD上一点，且CE1，AB2，DAE60°，求DE的长12已知：线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB（1）如图1，求证：A+DB+C；（2）如图2，ADC和ABC的平分线DE和BE相交于点E，并且与AB、CD分别相交于点M、N，A28°，C32°，求E的度数；（3）如图3，ADC和ABC的三等分线DE和BE相交于点E，并且与AB、CD分别相交于点M、N，CDEADC，CBEABC，试探究A、C、E三者之间存在的数量关系，并说明理由13如图在平面直角坐标系中，点A（0，a）、B（2，0）、C（b，0）且（a+b7）2+0（1）求点A、C的坐标；（2）求ABC的面积SABC；（3）当点P的坐标是（m，4）且SABPSABC时，求m的值14如图，已知ABCD，1+390°，BC、CF分别平分ABF和BFE，试说明ABEF的理由解：ABCD（已知），12（ ）1+390°（已知），2+390°（ ）即BCF90° 180°（三角形内角和等于180°）， 90°（等式性质）BC、CF分别平分ABF和BFE（已知）， （ ）ABF+BFE180°（ ）ABFE（ ）参考答案1（1）证明：BACDAE，BAC+CADDAE+CAD，BADCAE，在ABD和ACE中，ABDACE；（2）如图2，ABC和ADE是等边三角形，ABAC，ADAE，BACDAE60°，BADCAE，在ABD和ACE中，ABDACE，BDCE，正确，ADBAEC，记AD与CE的交点为G，AGEDGO，180°ADBDGO180°AECAGE，DOEDAE60°，BOC60°，正确，在OB上取一点F，使OFOC，连接CF，OCF是等边三角形，CFOC，OFCOCF60°ACB，BCFACO，ABAC，BCFACO（SAS），AOCBFC180°OFC120°，AOE180°AOC60°，正确，连接AF，要使OCOE，则有OCCE，BDCE，CFOFBD，OFBF+OD，BFCF，OBCBCF，OBC+BCFOFC60°，OBC30°，而没办法判断OBC大于30度，所以，不一定正确，即：正确的有，故答案为；（3）如图3，延长DC至P，使DPDB，BDC60°，BDP是等边三角形，BDBP，DBP60°，ABC60°DBP，ABDCBP，ABCB，ABDCBP（SAS），BCPA，BCD+BCP180°，A+BCD180°2（1）证明：如图1，设BD与AC交于点F，BACDAE90°，BAECAD，在ABE和ACD中，ABEACD（SAS），ABEACD，ABE+AFB90°，AFBCFD，ACD+CFD90°，BDC90°；（2）如图2，过A作AEAD交BD于E，BACDAE90°，BAECAD，BACBDC90°，AFBCFD，ABEACD，在ABE和ACD中，ABEACD（ASA），AEAD，ADEAED45°；（3）如图3，在形内作DAE60°，AE交BD于E点，与（2）同理ABEACD，AEDA，ADE是等边三角形，ADE60°；BEDC，DBBE+DEDA+DC3（1）证明：ABAC，BAC90°，ADBC，CAD45°，EFD是等腰直角三角形，EFDAFE90°，AEF180°CADAFE45°，EAFAEF，AFEF；（2）解：当点F落在线段AD左侧时，（1）中结论AFEF仍然成立，理由如下：如图2，取AC的中点G，连接DG，FG，在RtADC中，DGCGAG，GDCC45°，DGC90°，DGC是等腰直角三角形，DFE是等腰直角三角形，FDGFDE+EDG45°+EDG，EDCGDC+EDG45°+EDG，FDGEDC，FDGEDC，FGDECD45°，FGA45°，在FGA和FGD中，FGAFGD（SAS），AFDF，DFEF，AFEF；（3）在RtABC中，BC14，D是BC中点，AD7，取AC的中点G，连接DG，FG，设直线FG与AD相交于点P，由（2）可知FGD45°GDC，FGDC，GPAD且APDPPGAD，在RtAPF中，AP，AF，PF，如图2，当点F落在线段AD左侧时，FG4，FDGEDC，EC4；如图3，当点F落在线段AD的右侧时，FGPGPFDPPF3.50.53，同理得FDGEDC，EC3综上，EC的长是4或34解：（1）如图1中，AB，BC，AC3，AB2+BC2AC2，ABC不是倍直角三角形，DF2，DE4，EF2，DF2+DE2EF2，FDE90°，DE2DF，DEF是倍直角三角形，GHI90°，GH5，HL3，GH2HI，GHI不是倍直角三角形，故答案为：DEF（2）“倍直角三角形”的一条直角边的长度为2，另一条直角边的长度为1或4，故答案为：1或4（3）如图2中，满足条件的点E共有4个，故答案为：4（4）如图3中，满足条件的点C共有5个5（1）解：如图1中，AB2AC，AC8，AB16，BAC90°，BC8，AEBC，SABCBCAEACAB，AE（2）解：如图2中，在CE上取一点T，使得FJCJ，连接FJBAC90°，B30°，ACE90°30°60°，AEBC，AC8，CEACcos60°4，DCA45°，FCEACEACD15°，JFJC，JFCJCF15°，EJFJFC+JCF30°，设EFm，则FJJC2m，EJm，m+2m4，m4（2），EF4（2），SECF×4×4（2）8（2）（3）证明：如图3中，过A点作AMCD于点M，与BC交于点N，连接DNBAC90°，ACAD，AMCD，AMDMCM，DAMCAMADMACD45°，DNCN，NDMNCM，AEBC，ECF+EFCMAF+AFM90°，AFMEFC，MAFECF，MAFMDN，AMFAMN，AMFDMN（ASA），AFDNCN，BAC90°，ACAD，DAMCAMADMACD45°，NAPCDB135°，MAFMDN，PAFBDN，APDB，APFDBN（SAS），PFBN，AFCN，PF+AFCN+BN，即PF+AFBC6解：（1）AE+AFAB，理由如下：连接AD，如图1所示：ABC是等腰直角三角形，点D是BC的中点，BC45°，ADBC，DAFBAC45°，ADBCBD，BDAF，ADB90°，又FDED，EDF90°，BDEADF，在BDE和ADF中，BDEADF（ASA），BEAF，AE+BEAB，AE+AFAB；（2）AB+AFAE，理由如下：连接AD，如图2所示：同得：BDEADF，ADBD，ABDCAD45°，DBEDAF135°，在BDE和ADF中，BDEADF（ASA），BEAF，AB+BEAE，AB+AFAE7解：（1）BP2t，则PC102t；故答案为（102t）；（2）存在分两种情况讨论：当BPCQ，ABPC时，ABPPCQ因为AB6，所以PC6所以BP1064，即2t4解得t2因为CQBP4，v×24，所以v2当BACQ，PBPC时，ABPQCP因为PBPC，所以BPPCBC5，即2t5解得t2.5因为CQBA6，即v×2.56，解得v2.4综上所述，当v2.4或2时，ABP与PQC全等8解：（1）正方形ABCD，B90°，AEB+BAE90°，AEF90°，AEB+CEF90°，BAECEF，（2）证明：正方形ABCD，ABBC，BBCDDCG90°，E为BC的中点，AMECBE，BMEBEM45°，AME135°，CF平分DCG，DCGFCG45°，ECF180°FCG135°，AMEECF，AEF90°，AEB+CEF90°，又AEB+MAE90°，MAECEF，AMEECF（ASA），AEEF，（3）设BEx，CE4x，由（1）知，BAEGEC，BECG90°，ABEGEC，GC，DG4x2x+4（x2）2+3，当x2即E为BC中点时，线段DG最短，DG的最小值为39证明：（1）如图1，延长AC交BN于点F，ACBC，CABCBA，又ABAM，BAM90°，又AMBN，BAM+ABN180°，ABN90°，BAF+AFB90°，ABC+CBF90°，CBFAFB，BCCF，ACFC，又AMBN，DAFAFB，在ADC和FEC中，ADCFEC（ASA），DCEC；（2）如图2，在EB上截取EHEC，连CH，ACBC，ABC60°，ABC为等边三角形，DEB60°，CHE是等边三角形，CHE60°，HCE60°，BHC120°，AMBN，ADC+BEC180°，ADC120°，DAC+DCA60°，又DCA+ACB+BCH+HCE180°，DCA+BCH60°，DACBCH，在DAC与HCB中，DACHCB（AAS），ADCH，DCBH，又CHCEHE，BEBH+HEDC+AD10解：（1）如图1，过点P作PMAC于M，ABC是等边三角形，D是BC的中点，DACBAC30°，PMPA，PB+PAPB+PM，当B，P，M三点共线时，PB+PA的值最小，此时，BMAC，AB2，BAC60°，BM，故答案为：；（2）如图2，把BPC绕点B顺时针旋转60°得到BEF，连接PE，由旋转得：PBBE，CBFPBE60°，BPCBEF120°，PCEF，PBE是等边三角形，BPEBEP60°，PBPE，ABFABC+CBF30°+60°90°，APBBPC120°，APB+BPEBEF+BEP120°+60°180°，A，P，E，F四点共线，在RtABC中，ABC30°，AC，BCBF2，ABAC，在RtABF中，AF7，PA+PB+PCPA+PE+FEAF7；（3）如图3，把BPC绕点B顺时针旋转60°并扩大2倍得到BED，连接AD，取BE的中点F，连接PF，PE，由旋转得：PBECBD60°，BE2PB，DE2PC，BD2BC4000，ABDABC+CBD30°+60°90°，BFBP，BPF是等边三角形，BFEFPF，BPE90°，PEPB，PA+PB+2PCPA+PE+DEAD（当点A，P，E，D共线时取等号），在RtABD中，AD2000（米）；PA+PB+2PC的最小值是2000米11（1）证明：如图1，BACDAM120°，BACDACDAMDAC，即BADCAM，ABAC，ADAM，ABDACM（SAS），BDCM；解：BAC120°，ABAC，BACD30°，由知：ABDACM，ACMB30°，DCM60°，CMD90°，CDM30°，CMCD，BDCM，；（2）解：解法一：如图2，过点E作EGAC于G，过A作AFBC于F，RtCEG中，C30°，CE1，EGCE，CG，ACAB2，AGACCG2，AFBC，AFC90°，AFAC，DAEFAC60°，DAFEAG，AFDAGE90°，ADFAEG，即，DF，由勾股定理得：AE2AF2+EF2AG2+EG2，解得：EF2或2（舍），DEDF+EF+2；解法二：如图3，线段AD绕点A逆时针旋转120°到AM，连接CM，EM，过M作MQBC于Q，由（1）同理得ABDACM，ACMB30°ACB，BADCAM，MCQ60°，RtQMC中，CQCM，设CQx，则CM2x，QMx，EQx1，DAE60°，BAC120°，BAD+EACEAC+CAM60°，DAEEAM，ADAM，AEAE，ADEAME（SAS），EMDE52x，由勾股定理得：EM2EQ2+QE2，（x）2+（x1）2（52x）2，解得：x，DE52x12（1）证明：A+D+AODC+B+BOC180°，AODBOC，A+DC+B；（2）解：ADC和ABC的平分线DE和BE相交于点E，ADECDE，ABECBE，由（1）可得A+ADEE+ABE，C+CBEE+CDE，A+C2E，A28°，C32°，E30°；（3）解：A+2C3E理由：CDEADC，CBEABC，ADE2CDE，ABE2CBE，由（1）可得A+ADEE+ABE，C+CBEE+CDE，2C+2CBE2E+2CDE，A+2C+ADE+2CBE3E+ABE+2CDE，即A+2C3E13解：（1）（a+b7）2+0，解得，A（0，3），C（4，0）；（2）A（0，3）、B（2，0）、C（4，0），BC6，OA3，SABC9；（3）当P点在第一象限，则PCAB，如图，作PMx轴于M，PCAB，ABOPCM，AOBPMC，AOBPMC，即，CM，OMOC+CM，m，当P点在第二象限，同理求得，综上，m的值为或14解：ABCD（已知），12（两直线平行，内错角相等）1+390°（已知），2+390°（等量代换）即BCF90°BCF+4+5180°（三角形内角和等于180°），4+590°（等式性质）BC、CF分别平分ABF和BFE（已知），ABF25，BFE24（角平分线的定义）ABF+BFE180°（等式的性质）ABFE（同旁内角互补，两直线平行）故答案为两直线平行，内错角相等；等量代换；BCF+4+5；4+5；ABF25，BFE24；角平分线的定义；等式的性质；同旁内角互补，两直线平行