2019版高考数学二轮复习 专题二 函数与导数 专题对点练8 导数与函数的零点及参数范围 文.doc

1专题对点练专题对点练 8 8 导数与函数的零点及参数范围导数与函数的零点及参数范围 1 1.(2018 全国,文 21)已知函数f(x)= x3-a(x2+x+1). (1)若a=3,求f(x)的单调区间; (2)证明:f(x)只有一个零点.2 2.已知函数f(x)=ax+x2-xln a-b(a,bR R,a>1),e 是自然对数的底数. (1)当a=e, b=4 时,求函数f(x)零点个数; (2)若b=1,求f(x)在-1,1上的最大值.3 3.已知函数f(x)=xln x,g(x)=-x2+ax-2(e 为自然对数的底数,aR R). (1)判断曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与曲线y=g(x)的公共点个数;(2)当x时,若函数y=f(x)-g(x)有两个零点,求a的取值范围.1 ,4 4.(2018 天津,文 20)设函数f(x)=(x-t1)(x-t2)(x-t3),其中t1,t2,t3R R,且t1,t2,t3是公差为d的 等差数列. (1)若t2=0,d=1,求曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程; (2)若d=3,求f(x)的极值; (3)若曲线y=f(x)与直线y=-(x-t2)-6有三个互异的公共点,求d的取值范围.32专题对点练 8 8 答案 1 1.解 (1)当a=3 时,f(x)= x3-3x2-3x-3,f'(x)=x2-6x-3. 令f'(x)=0,解得x=3-2或x=3+2.33当x(-,3-2)(3+2,+)时,f'(x)>0;33当x(3-2,3+2)时,f'(x)0,所以f(x)=0 等价于-3a=0.32+ + 1设g(x)=-3a,则g'(x)=0,仅当x=0 时g'(x)=0,所以g(x)在(-,+)32+ + 12(2+ 2 + 3)(2+ + 1)2单调递增,故g(x)至多有一个零点,从而f(x)至多有一个零点.又f(3a-1)=-6a2+2a-=-60,故f(x)有一个零点.( -1 6)21 6 综上,f(x)只有一个零点. 2 2.解 (1)由题意f(x)=ex+x2-x-4, f'(x)=ex+2x-1,f'(0)=0, 当x>0 时, ex>1,f'(x)>0,故f(x)是(0,+)上的增函数; 当x0,存在x1(1,2)是f(x)在(0,+)上的唯一零点;f(-2)=+2>0,f(-1)= -20 时,由a>1,可知ax-1>0,ln a>0,f'(x)>0; 当x1,可知ax-10,f'(x)0).g'(x)=1+0(当且仅当x=1 时等号成立),122 =(1- 1)2g(x)在(0,+)上单调递增,而g(1)=0, 当x>1 时,g(x)>0,即当a>1 时,a-2ln a>0, f(1)>f(-1). f(x)max=f(1)=a+1-ln a-1=a-ln a. 3 3.解 (1) f'(x)=ln x+1,所以切线斜率k=f'(1)=1. 又f(1)=0, 所以曲线在点(1,0)处的切线方程为y=x-1.由得x2+(1-a)x+1=0. = - 2+ - 2, = - 1,?由=(1-a)2-4=a2-2a-3=(a+1)(a-3),可知: 当>0,即a3 时,有两个公共点; 当=0,即a=-1 或a=3 时,有一个公共点; 当h(e),所以,结合函数图象可得,(1 )当 31 时,令g'(x)=0,解得x1=-,x2=.2- 132- 13 易得,g(x)在(-,x1)上单调递增,在x1,x2上单调递减,在(x2,+)上单调递增.g(x)的极大值g(x1)=g+6>0.(-2- 13)=2 3(2- 1)3 293g(x)的极小值g(x2)=g=-+6.(2- 13)2 3(2- 1)3 293 若g(x2)0,由g(x)的单调性可知函数y=g(x)至多有两个零点,不合题意.若g(x2)27,也就是|d|>,此时|d|>x2,g(|d|)=|d|+6>0,且-2|d|<x1,g(-2|d|)=-)3 2103 6|d|3-2|d|+6<-62+6<0,从而由g(x)的单调性,可知函数y=g(x)在区间(-2|d|,x1),(x1,x2),3103(x2,|d|)内各有一个零点,符合题意. 所以,d的取值范围是(-,-)(,+).1010